Ecuaciones diferenciales ordinarias/Ecuaciones diferenciales de primer orden/Ecuaciones diferenciales exactas

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Recordemos que si , entonces el diferencial total de se define como


donde y son números cualesquiera llamados incremento en e incremento en respectivamente.

Ejemplo 1.6: Si , entonces


Vemos pues que si , entonces el diferencial total de está definido por una expresión de la forma

(1.15


Si bien el diferencial total de siempre viene definido por una expresión de la forma (1.15)

, el recíproco no es necesariamente cierto, es decir, una expresión diferencial de la forma (1.15)

puede no ser el diferencial total de una función  de  e .

Definición 1.7: Se dice que una expresión diferencial de la forma


es exacta si y sólo si esta define el diferencial total de una función de e .

Por el ejemplo 1.6, sabemos que la expresión diferencial


es exacta, pues esta define al diferencial total de la función dada por


Ahora bien, si igualamos a cero una expresión diferencial de la forma (1.15)

, resulta la ecuación diferencial (escrita en forma diferencial)


Se dice que esta ecuación diferencial es exacta si el miembro izquierdo de la ecuación es una expresión diferencial exacta. El teorema siguiente nos da las condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales una ecuación diferencial es exacta.

Teorema 1.8: Una ecuación diferencial


es exacta si y sólo si

(1.16


donde las funciones definidas por y , las derivadas parciales en (1.16)

y las derivadas parciales  y  existen y son continuas en una región simplemente conexa .  

Demostración: Probaremos primero la implicación. Si la ecuación diferencial


es exacta, entonces existe una función tal que


Por hipótesis, tenemos que y existen y son continuas en una región , de modo que, por el teorema de Clairaut-Schwarz,


para todo , es decir,


Probaremos ahora el recíproco. Supongamos que tenemos la ecuación diferencial , donde y y son continuas en una región . Buscamos una función que cumpla, en particular, la propiedad de que


La expresión constituye aquí el equivalente de la constante de integración, ya que está desaparece al tomar la derivada parcial con respecto a .

La otra parte que debe cumplir la función es que


de donde resulta que


La última igualdad es válida por que, por hipótesis, es continua. Puesto que , tenemos que


Así pues


luego


Tenemos entonces que la función buscada debe cumplir


Para que tal función exista sólo debe exigirse que pueda llevarse a cabo la integración, lo cual sucede si y están definidas en una región simplemente conexa y si , siendo todo esto garantizado por la hipótesis del teorema.


Notemos que la prueba del teorema anterior nos da una forma de encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta.