Ecuación cuadrática/Ecuación bicuadrática

Ecuación bicuadrada

Éstas son un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:

$a{x}^4+{b{x}^2}^{}+c=0$

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable ${x^2}^{}=u$
Con lo que nos queda: ${a{u}^2}^{}+bu+c=0$ El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

$u_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},u_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:

$x_1=+\sqrt{u_1}$

$x_2=-\sqrt{u_1}$

$x_3=+\sqrt{u_2}$

$x_4=-\sqrt{u_2}$

Ecuación bicuadrada simétrica

Una ecuación bicuadrada simétrica asume la forma:

$\alpha x^4+\beta x^2+\alpha =0$

Teorema de Cardano-Vieta

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces $x_1,x_2$, podemos construir el binomio a partir de estas con:

$(x-x_1)\cdot (x-x_2)=0$

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2=0$

$a{x}^2-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2=0$

$a{x}^2+bx+c=0$

De lo que se deduce:

Suma de raíces

Demostración: Demostración a partir de Cardano Vieta

• Partiendo de igualar los términos del mismo grado

$-a(x_1+x_2)x=bx$

• Se despeja la suma y se divide por x

$(x_1+x_2)=-\frac{b}{a}$

Producto de raíces

Demostración: Demostración a partir de Cardano Vieta

• Partiendo de igualar los términos del mismo grado

$a{x}_1{x}_2=c$

• Se despeja el producto de raíces:

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

Observación:

Demostración: Desarrollando los binomios:

$x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-(x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2)$

• Donde finalmente queda:

$4x_1{x}_2$

Relacion entre la formula general y la proporcion áurea:

solo en la solucion positiva si en la formula general el valor de las variables es el siguiente o se presenta el siguiente caso en que

$a=1,b=-1,c=b$

entonces la formula general dará como resultado el número áureo

$\frac{-(-1)+\sqrt{(-1{)}^2-4(1)(-1)}}{2(1)}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$

Fuentes

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.html

https://conlamenteabierta.wordpress.com/2009/11/20/ecuaciones-bicuadraticas/

http://arasuaro96.blogspot.mx/2013/02/ecuaciones-bicuadraticas.html