Definiciones

Enunciado de una hipótesis o suposición, y de una tesis o conclusión, que es consecuencia de la hipótesis. Axioma es una proposición evidente en sí misma y por lo tanto, no necesita demostración. Teorema es una proposición que para ser evidente necesita demostración.

TEOREMA DUAL

El principio de dualidad afirma que a partir de cualquier teorema o construcción de geometria proyectiva podemos obtener otro, conocido como teorema dual, sólo cabe intercambiar las palabras punto y recta, modificando también las relaciones entre los puntos y las rectas. Entonces, por este principio,

Un punto se convierte en una recta.
Puntos alineados se convierten en rectas que pasan por un punto.
Rectas tangentes se convierten en el punto de tangencia.
Un círculo circunscrito se convierte en un círculo inscrito.
...etc, etc.

ejemplo: El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon.

TEOREMAS ESPECIALES

TEOREMA DE FEUERBACH - La circunferencia de Euler o de los 9 puntos, es tangente a las circunferencias inscrita y exinscrita al triángulo.

TEOREMA DE GAUSS - Los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero completo están en línea recta.

TEOREMA DE EULER - En cualquier poliedro convexo, el número de caras más el número de vértices es igual al de aristas más dos. (caras + vértices = aristas + 2).

TEOREMA DE BRIANCHON - Las diagonales de un hexágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto.

TEOREMA DE PASCAL - Cualquier hexágono inscrito en una circunferencia, los puntos de intersección de los lados opuestos están en línea recta. Postulado es una proposición que se admite sin demostración, aunque sin la evidencia del axioma. Por ejemplo: Por un punto exterior a una recta sólo se puede dibujar una sola paralela a la recta. Lema es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar otras proposiciones. Corolario o consecuencia es un teorema la verdad del cual se deduce simplemente de otro ya demostrado. Escolio es una advertencia o nota que se hace a fin de aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores.

PROBLEMA

Problema es una cuestión que se propone con la finalidad y ánimo de aclararla o resolverla utilitzando una metodología determinada.

PROBLEMA DE APOLONIO - Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia tangente a las tres.

Euclides fue un gran matemático y filósofo de la antigüedad. Ideó un procedimiento para obtener el máximo común divisor (MCD) de dos números.

Dados dos números enteros A y B se divide el mayor entre el más pequeño. Si el resto R de la división es 0, el divisor B es el MCD, en caso contrario, B se convierte en dividendo y R en divisor. Volvemos a hacer la división, si el resto de esta nueva división es 0, el divisor R es el MCD, en caso contrario, el divisor se convierte en dividendo y el resto de la división en divisor, y volvemos a hacer la división. Haciendo esto sucesivamente encontraremos alguna vez resto 0, en este momento, el divisor de la división será el MCD.

El fichero de entrada contendrá los dos números enteros y el archivo de salida contendrá el MCD.

Eje Radical de dos circunferencias

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas está formado por los puntos cuya potencia es la misma respecto de las dos circunferencias.

Cuando las circunferencias no se cortan, una forma de dibujar el eje radical es dibujar dos circunferencias que corten a las dos circunferencias dadas y unir los puntos de intersección tal como se muestra en la figura.
Cuando las circunferencias son secantes, el eje radical es la recta que pasa por dos puntos de intersección.
Como caso límite de este último, si las circunferencias son tangentes, el eje radical será la perpendicular común a ambas circunferencias.

Centro radical de tres circunferencias

Dadas tres circunferencias, si dibujamos los ejes radicales de las circunferencias dos a dos, veremos que los tres ejes radicales se cortan en un punto, que se llama centro radical de las tres circunferencias.

Centro de Homotecia

Consideremos dos circunferencias no concéntricas, con centros P y Q.

Dibujamos los radios paralelos PA y QB en el mismo sentido, siendo los punto A y B pertenecientes a cada circunferencia. Trazando una recta que contenga los dos puntos A y B, y otra recta que contenga los centros P y Q. En la intersección de dichas rectas, es decir, AB y PQ obtenemos el punto K, conocido como centro de homotecia externo de las dos circunferencias.

Si tomamos radios paralelos de sentidos opuestos, Pa y QC, y realizando procedimiento análogo, es decir: Trazando una recta que contenga los dos puntos A y C, y otra recta que contenga los centros P y Q. En la intersección de dichas rectas, es decir, AC y PQ obtenemos el punto K, conocido como centro de homotecia interno de las dos circunferencias.

Circunferencia de los 9 puntos

La circunferencia de los 9 puntos de un triángulo, llamada así por JV Poncelet, queda definida por el siguiente teorema:

En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro, están en una misma circunferencia, el radio de la que es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita.

En la circunferencia de los 9 puntos se la conoce también como circunferencia de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783) o circunferencia de Feuerbach (Karl Feuerbach, 1800 a 1834).

En la siguiente figura, en la que hemos dibujado el triángulo ABC, las alturas AA ', BB' y CC 'se cortan en el ortocentro H y P, Q y R son los puntos medios de los lados AB, BC y CA. Asimismo, U, V y W son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH. La circunferencia de los 9 puntos está dibujada en rojo.

En esta figura podemos observar algunas propiedades. Por ejemplo,

El centro N de la circunferencia de los 9 puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentr H y del circuncentre O.

Recordemos que la recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo.

Circunferencia de los 9 puntos

La circunferencia de los 9 puntos de un triángulo, llamada así por JV Poncelet, queda definida por el siguiente teorema:

En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro, están en una misma circunferencia, el radio de la que es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita.

En la circunferencia de los 9 puntos se la conoce también como circunferencia de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783) o circunferencia de Feuerbach (Karl Feuerbach, 1800 a 1834).

En la siguiente figura, en la que hemos dibujado el triángulo ABC, las alturas AA ', BB' y CC 'se cortan en el ortocentro H y P, Q y R son los puntos medios de los lados AB, BC y CA. Asimismo, U, V y W son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH. La circunferencia de los 9 puntos está dibujada en rojo.

En esta figura podemos observar algunas propiedades. Por ejemplo,

El centro N de la circunferencia de los 9 puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentr H y del circuncentre O.

Recordemos que la recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo.

Árbelos

El Arbelos es una figura que se obtiene quitando a un semicírculo de diámetro AB los semicírculos de diámetros AC y CB, asiento C un punto intermedio entre A y B. El nombre de Arbelos viene del griego y quiere decir cuchillo de zapatero. Esta figura fue estudiada por Arquímedes (287-221 aC). Muchas propiedades del Arbelos aparecen en su Libro de los Lemas (Liber Assumptorum).

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Si desde un punto P trazamos una secante a una circunferencia C con centro O, que corta a la circunferencia en los puntos A y B, el producto PA · PB se mantiene constante independientemente de la secante dibujada. A este producto se le llama potencia del punto P respecto de la circunferencia C.

Llamando a la distancia del punto P al centro O ir al radio de la circunferencia, se obtiene, si P es exterior a la circunferencia, Puede (P, C) = d2 - r2 mientras que si P es interior: Puede (P, C) = r2 - d2