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Curso de relatividad general, gravitación y cosmología/Los diferentes tensores y escalares de la Relatividad General

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La derivada covariante[editar]

Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la Teoría de la Relatividad General es el de derivada covariante (también llamada conexión afín), que fue definida por primera vez por el matemático italiano Tullio Levi-Civita y que puede ser considerada tanto desde una perspectiva física como desde otra matemática.

Los cuerpos en caída libre (como las naves en órbita) son sistemas inerciales en los que la derivada covariante de su velocidad es nula (). Por ello, no experimentan ningún tipo de aceleración inercial provocada por la "fuerza gravitatoria". Sin embargo, un observador externo, como un astrónomo situado en la Tierra, puede observar cómo dicho cuerpo en caída libre se aproxima a la Tierra con una aceleración creciente (de ahí que la derivada ordinaria de la velocidad en este caso sea diferente a cero --)
Dice la leyenda apócrifa que fue la manzana de un árbol la que provocó que Newton se diera cuenta que los objetos caen y por lo tanto aceleran como consecuencia de la gravitación universal. Y es que los objetos en reposo sobre la superficie terrestre experimentan, como consecuencia de la fuerza aparente gravitatoria, una aceleración inercial de (y por lo tanto la derivada covariante de su velocidad también tiene ese valor[1]). Sin embargo, dichos objetos, puesto que están en reposo, tienen una aceleración relativa nula respecto a un observador terrestre (es decir, la derivada ordinaria de su velocidad es cero ()

Desde un punto de vista físico, la derivada ordinaria de la velocidad es la aceleración de un cuerpo medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio (por ejemplo, un astrónomo situado sobre la superficie terrestre). En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante del centro de masas, pero no así el objeto observado, que progresivamente se va aproximando al origen del campo gravitatorio.

Por el contrario, la derivada covariante de la velocidad ó [2]) es la aceleración medida por un observador comóvil, es decir, que está en reposo respecto al cuerpo en caída libre (por ejemplo, el piloto de un avión en caída libre o los tripulantes de una nave espacial con sus motores apagados).

En resumidas cuentas, la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleración ordinaria de un cuerpo, mientras que la derivada covariante es empleada para calcular su aceleración inercial. Según la mecánica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleración son idénticos, y en base a este axioma se desarrollaron nuevos principios mecánicos como el Principio de d'Alembert. Sin embargo, del principio de equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo está sometido a un campo gravitatorio, su aceleración ordinaria cambia, pero no su aceleración inercial. De ahí que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir en su teoría el concepto de derivada covariante.

Desde un punto de vista estrictamente matemático, el cálculo de la derivada covariante tiene lugar a través de un sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cómputo de la derivada parcial covariante y luego se generaliza ésta.

La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada covariante se aplica también sobre las bases del espacio vectorial:

Sobre esta ecuación procedemos a aplicar la regla del producto (o de Leibniz),

Llegados a este punto introducimos una nueva notación, los símbolos de Christoffel, que pueden ser definidos como el componente de la derivada parcial de respecto a : . De este modo:

Realizamos un intercambio de índices ( por ) en el último término del segundo miembro de la ecuación:

Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, que equivalen a la expresión entre paréntesis:

Generalizamos dichos componentes multiplicándolos por el componente de la tetravelocidad () y obtenemos con ello la derivada covariante de la velocidad:

Puesto que para un observador inercial (p.e. un cuerpo en caída libre) , esta última ecuación toma la siguiente forma:

Estas fórmulas reciben el nombre de ecuación de las líneas geodésicas, y se utilizan para calcular la aceleración gravitatoria de cualquier cuerpo.

Los principios de general covariancia y acoplamiento mínimo[editar]

El artículo principal de esta categoría es Principio de acoplamiento mínimo.

En un espacio-tiempo curvo, las leyes de la física se modifican mediante el Principio de acoplamiento mínimo, que supone que las ecuaciones matemáticas en cuya virtud se expresan aquellas experimentan las siguientes modificaciones:

  • La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante.
  • La métrica de Minkowski es sustituida por una formulación general del tensor métrico.

De este modo, la ecuación galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho principio en la ecuación relativista de las líneas geodésicas:

Ley de conservación de la energía:

Sin embargo, en virtud del principio de simetría de los símbolos de Christoffel, las leyes electromagnéticas en general no experimentan modificaciones debidas a la curvatura gravitatoria:


Alteración de las leyes físicas producida por la curvatura Derivada covariante
Objeto o ley físico-matemática Espacio-tiempo llano Espacio-tiempo curvo ¿Se produce alteración
por la curvatura?
Ley de conservación
de la energía
Tensor electromagnético No
Ecuaciones de Maxwell No
Velocidad de la luz No
Ecuación de un sistema inercial
Aceleración
Volumen
  • Ecuación líneas geodésicas

El tensor de Riemann y la curvatura de las líneas de universo[editar]

Como es sabido la relatividad general explica los campos gravitatorios como un efecto geométrico de la curvatura del espacio-tiempo. Eso significa que el espacio-tiempo en el que vivimos no es plano, y por tanto el tensor de curvatura del mismo es diferente de cero. En teoría de la relatividad general la curvatura queda completamente caracterizada por un el tensor de Riemann asociado al tensor métrico que sirve para medir las distancias, ángulos, superificies y volúmenes. La relación entre las componentes coordenadas del tensor de curvatura de Riemann y los símbolos de Christoffel directamente calculables a partir del tensor métrico es:

Como puede verse esta expresión depende de manera no lineal tanto de los símbolos de Christoffel como de la métrica asociada. Esto tiene importantes consecuencias, entre otras que las ecuaciones básicas de la relatividad general no sean lineales y por tanto sea dificil encontrar soluciones exactas de las mismas, a diferencia de lo que sucede por ejemplo con las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético.

Supongamos que:

Pero:

Entonces:

Bien:

Transporte paralelo:


Regla del producto de Leibniz:

El significado físico del tensor de Ricci[editar]

Según la teoría de la gravitación universal, una masa esférica de gas reduce su volumen (como consecuencia de la atracción recíproca de sus moléculas) con una aceleración equivalente a :

En la ilustración se reproducen los efectos del tensor de Ricci (concretamente su componente sobre un volumen tridimensional esférico: conforme aumenta el tiempo, dicho volumen se reduce. Él autor de la imagen se ha permitido la siguiente licencia: Aunque los ejes de coordenadas representan dos dimensiones espaciales y una temporal, el volumen de la esfera está definido por tres dimensiones espaciales.

Es evidente, que dicha ecuación no es compatible con la relatividad especial, por las razones reseñadas anteriormente: 1) El parámetro , que mide la densidad de masa, ha de ser sustituido por el tensor de energía-tensión , que permanece invariable ante las transformaciones de Lorentz y tiene en cuenta los efectos gravitatorios de la energía y la presión, y no sólo los de la masa. 2) Por otro lado, según la teoría de la Relatividad General, los efectos gravitatorios no son causados por ningún tipo de "fuerza misteriosa" sino por la curvatura del espacio-tiempo.

En este sentido, en un espacio-tiempo curvo, la aceleración del volumen viene cuantificada por un objeto geométrico específico, el tensor de Ricci , que puede definirse como la aceleración respecto a del hipervolumen , normal al vector unitario . De este modo, el componente expresa la aceleración temporal del volumen tridimensional:

Los tensores de energía-momentum y de Ricci permitían expresar de manera tensorial la fórmula de Poisson, y de ahí que originalmente Einstein propusiera las siguientes ecuaciones de universo:

En Relatividad General, el tensor de Ricci tiene la particularidad de representar aquellos efectos gravitatorios que desaparecen cuando el cuerpo está en caída libre. Es decir, todos menos las fuerzas de marea, que son regidas por el tensor de Weyl, como veremos más abajo.

El tensor de Ricci rige, pues, la mayor parte de los procesos astrofísicos que tienen lugar a amplias escalas: constituye una medida de la contracción de nubes moleculares que dan lugar al nacimiento de estrellas y planetas; cuantifica el colapso de las grandes cuerpos estelares y su conversión en enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros; y proporciona una medida de la expansión del universo.

Del tensor de Ricci, particularmente de la forma en que aparece en los campos gravitatorios esféricos (como las estrellas estáticas),[3] se deriva la llamada Ley de equilibrio hidrostático, que regula el equilibrio entre la presión del fluido estelar[4] (que tiende a expandir el volumen de la estrella) y la curvatura gravitatoria (que lo contrae). Este equilibrio se mantiene durante prácticamente toda la vida de la estrella, y sólo se rompe en dos ocasiones diferentes: 1) Cuando la estrella se transforma en una gigante roja, en cuyo caso los efectos de la presión de radiación [5] desbordan los del tensor de Ricci. Como resultado, el volumen de la estrella se expande hasta alcanzar una nueva situación de equilibrio. 2) Cuando la estrella agota su combustible, desciende la presión del fluido, y la estrella, bien se transforma en una enana blanca, en una estrella de neutrones, o bien colapsa definitivamente convirtiéndose en un agujero negro.

  • La aceleración del volumen producida por un campo gravitatorio newtoniano
  • Reinterpretación de acuerdo con la relatividad general ---> la reducción de volumen es causada por el tensor de Ricci
  • La enorme influencia del tensor de Ricci en el desarrollo del universo: Formación de estrellas, tensor de Ricci como contrapeso de la presión (equilibrio hidrostático), posible Big Crunch si y contracción del cosmos si existe suficiente masa en el universo.
  • Cálculo del tensor de Ricci a partir de las ecuaciones de universo de Einstein.
  • En la rama de las 3-variedades se encuentra en las ecuación de flujo de Ricci que permite demostrar la conjetura de Poincaré, entendiendo que los espacios tridimensionales son parte de las posibilidades físicas de los 3-espacios.

Las ecuaciones de Universo de Einstein[editar]

Corriente de chorro emanando del centro de una galaxia

Einstein tuvo pronto que modificar ligeramente sus ecuaciones de universo, pues estas no eran compatibles con la ley de la conservación de la energía. En efecto, la derivada covariante del tensor de energía momentum de cualquier fluido es cero:

Sin embargo, de las identidades de Bianchi se deduce que la derivada covariante del tensor de Ricci es diferente a cero:

Lo que conduce al descarte de cualquier tipo de relación de proporcionalidad entre el tensor de Ricci y el tensor de tensión energía:

Todo esto constriñó a Einstein a modificar sus ecuaciones de Universo, que adquirieron su forma definitiva tras la publicación en 1915 del artículo "Aplicación de la Teoría de la Relatividad General al campo gravitatorio":[6]

Donde es el tensor de Ricci, el tensor métrico, el escalar de Ricci, la constante de Einstein y el tensor de tensión-energía.

Donde,

Las ecuaciones de campo son las siguientes:

Las mismas se pueden deducir de la acción de Einstein-Hilbert (sin constante cosmológica):

donde R{ik} es el tensor de curvatura de Ricci, R es el escalar de curvatura de Ricci, g{ik} es el tensor métrico, Λ es la constante cosmológica, T{ik} es el tensor de energía, c es la velocidad de la luz, G es la constante gravitatoria universal y g es el determinante de la métrica, de forma similar a lo que ocurre en la gravedad newtoniana. g{ik} describe la métrica de la variedad y es un tensor simétrico 4 x 4, por lo que tiene 10 componentes independientes. Dada la libertad de elección de las cuatro coordenadas espaciotemporales, las ecuaciones independientes se reducen a seis.

Esquema de la curvatura del espacio-tiempo alrededor de una masa.

La ecuación de campo de Einstein contiene un parámetro llamado constante cosmológica Λ que, según algunos autores, fue originalmente introducida por Einstein para permitir un universo estático. Este esfuerzo no tuvo éxito por dos razones: la inestabilidad del universo resultante de tales esfuerzos teóricos, y las observaciones realizadas por Hubble una década después confirman que nuestro universo es de hecho no estático sino en expansión. Así Λ fue abandonada, pero de forma bastante reciente, técnicas astronómicas encontraron que un valor diferente de cero para Λ es necesario para poder explicar algunas observaciones. Otros autores consideran que la introducción de la constante cosmológica por parte de Einstein tiene que ver con su intento por resolver las paradojas de Mach.

El tensor de Weyl[editar]

Es importante notar que, puesto en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el tensor pleno de curvatura contiene más información que la curvatura de Ricci. Eso significa que las ecuaciones del de campo anteriores, con Λ = 0, no especifican completamente el tensor de curvatura sino una parte del mismo, el tensor de Ricci. La parte de la curvatura no especificada por las ecuaciones de Einstein, coincide precisamente con el tensor de Weyl.

La constante cosmológica[editar]

Resumen[editar]

Significado físico de los diferentes tensores de la Relatividad general
Tensor Notación Significado físico
Derivada ordinaria Aceleración medida por un observador externo en reposo
Derivada covariante Aceleración inercial medida por un observador situado en la propia línea de universo del cuerpo observado
Tensor métrico Distancia (o, en su caso, intervalo) entre dos puntos (eventos) del espacio-tiempo
Tensor de Riemann Aceleración recíproca de dos líneas de universo
Tensor de Ricci Aceleración de un volumen (3 dimensiones) o un hipervolumen (4 dimensiones)
Escalar de Ricci Aceleración de la superficie que encierra dicho volumen o hipervolumen
Tensor de Weyl Fuerzas de marea

Referencias[editar]

  1. Escogemos un sistema de coordenadas esférico, compuesto de tres grados de libertad: Latitud , longitud y distancia respecto al centro . Los componentes y de la aceleración son iguales a cero. La aceleración gravitatoria tiene lugar exclusivamente en dirección al centro de la Tierra.
  2. Ambas notaciones son alternativas.
  3. Más adelante analizaremos con profundidad este tema en el capítulo dedicado a la métrica de Schwarzschild.
  4. En las estrellas de la secuencia principal, la presión viene integrada por dos elementos diferentes: La presión molecular, que es causada por la energía cinética de los átomos e iones del fluido estelar, y que viene parametrizada por la ecuación de Boltzmann , y la presión de radiación, que es aquella originada por los fotones. Ambos tipos de presión tienden a compensarse en virtud de un proceso físico denominado Bremsstrahlung (radiación de freno). De este modo, los fotones, que en el núcleo del átomo son generados con niveles de energía correspondientes al especro de los rayos gamma, salen del sol con frecuencias del espectro ultravioleta y sobre todo, del de la luz visible.
  5. Dichos efectos se ven incrementados por el desencadenamiento de reacciones termonucleares en todas las capas de la estrella, y no sólo en su núcleo
  6. En alemán: "Anwendung der allgemeinen Relativitätstheorie auf das Gravitationsfeld"