Curso de relatividad general, gravitación y cosmología/Introducción a la matemática de la Relatividad General

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Conceptos geométricos fundamentales[editar]

Variedad[editar]

Curvatura[editar]

En la geometría euclídea, los ángulos de un triángulo suman siempre 180º.

Según su curvatura, los espacios pueden clasificarse en tres categorías diferentes: Espacios euclídeos, o de curvatura nula, elípticos, de curvatura positiva, e hiperbólicos, de curvatura negativa.

El espacio euclídeo es el espacio ordinario. Fue el matemático griego, Euclides, quien en el siglo III a.C. sistematizó en su obra Fundamentos los conocimientos geométricos de la ciencia griega: En ella se realizaba un estudio minucioso y sistemático de las figuras geométricas y se establecían 5 postulados fundamentales. De ellos, el más importante era el quinto, denominado quinto postulado de Euclides, cuyas proposiciones principales son las siguientes:

  • La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es igual a 180º (Euclides).
  • Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio).
  • Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta (Thābit ibn Qurra, h. 826-901).
La superficie de la esfera es un paradigma de geometría elíptica. Como se puede contemplar en esta imagen, los ángulos de un triángulo trazado sobre dicha superficie suman más de 180 grados.

Este esquema fue aceptado por los matemáticos de los siglos posteriores. Sin embargo, en el siglo algunos matemáticos árabes, como ibn Hurra, se dieron cuenta de que los postulados de Euclides no funcionaban en determinadas estructuras geométricas, como la superficie de una esfera. Se comenzó a desarrollar progresivamente el estudio de la llamada geometría elíptica, de curvatura positiva, cuyas características principales eran (y aún siguen siendo) las siguientes:

  • La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es superior a 180º.
  • Las rectas paralelas convergen progresivamente y terminan por cortarse entre sí.

Otros matemáticos posteriores, como János Bolyai o Nikolai Lobachevski crearon otro modelo geométrico no euclídeo que sin embargo, tenía una configuración completamente opuesta a la de la geometría elíptica: Se trataba del espacio hiperbólico, o de curvatura negativa, cuyas características principales son las siguientes:

  • La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es inferior a 180º.
  • Las rectas paralelas divergen progresivamente y nunca llegan a cortarse.
La superficie de una silla de montar tiene las propiedades de un espacio hiperbólico. Los ángulos de cualquier triángulo que se trace sobre ella suman menos de 180º. Las líneas paralelas no permanecen a una distancia constante sino que divergen progresivamente entre sí.

Ahora bien, las geometrías elíptica e hiperbólica eran contempladas como simples casos especiales que no afectaban a la estructura del espacio en sí, que se consideraba plano y euclideo. Fue Carl Friedrich Gauss el primer matemático que intuyó la posibilidad de que nuestro espacio fuese curvo. Aunque incluso realizó experimentos al efecto, el genial matemático alemán no llegó a elaborar una teoría coherente en esta materia. Dicho honor le correspondería a su discípulo, Bernhard Riemann, cuyo trabajo, "Uber die Hypothesen die der Geometrie zugrunde liegen" revolucionaría el mundo de las matemáticas y la física. Unas décadas después, el matemático francés Henri Poincaré hacía la siguiente reflexión en uno de sus estudios: Si nuestro espacio es curvo, y dicha curvatura era capaz de afectar incluso a los rayos de la luz, provocando su difracción, nosotros experimentaríamos vivir en un espacio euclideo. Nada impediría, por tanto, concebir a nuestro espacio como intrínsecamente curvo.

Todas estas ideas fueron recogidas por Albert Einstein, quien empleando las herramientas matemáticas creadas por Bernhard Riemann, Tullio Levi-Civita, Gregorio Ricci-Curbastro y Erwin Bruno Christoffel, logró construir la teoría geométrica de la gravedad que hoy en día conocemos con el nombre de Teoría de la Relatividad General.

Metricidad[editar]

Conexidad[editar]