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Aunque no podamos obtener la función de partición canónica
Z
N
(
T
,
V
,
N
)
=
∑
{
n
α
}
e
−
β
E
(
{
n
α
}
)
,
∑
n
α
=
N
{\displaystyle Z_{N}(T,V,N)=\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{-\beta E(\{n_{\alpha }\})},\qquad \sum n_{\alpha }=N}
si podemos obtener la macrocanónica.
Θ
(
z
,
V
,
μ
)
=
∑
N
=
0
∞
z
N
Z
N
(
T
,
V
,
N
)
,
∑
n
α
=
N
=
∑
N
=
0
∞
e
β
μ
N
∑
{
n
α
}
e
−
β
E
(
{
n
α
}
)
,
∑
n
α
=
N
=
∑
N
=
0
∞
∑
{
n
α
}
e
β
(
μ
N
−
E
(
{
n
α
}
)
)
,
∑
n
α
=
N
=
∑
N
=
0
∞
∑
{
n
α
}
e
β
(
μ
∑
α
n
α
−
∑
α
ϵ
α
)
,
∑
n
α
=
N
{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (z,V,\mu )&=\sum _{N=0}^{\infty }z^{N}{\mathcal {Z}}_{N}(T,V,N),\qquad \sum n_{\alpha }=N\\&=\sum _{N=0}^{\infty }e^{\beta \mu N}\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{-\beta E(\{n_{\alpha }\})},\qquad \sum n_{\alpha }=N\\&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{\beta (\mu N-E(\{n_{\alpha }\}))},\qquad \sum n_{\alpha }=N\\&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{\beta \left(\mu \sum _{\alpha }n_{\alpha }-\sum _{\alpha }\epsilon _{\alpha }\right)},\qquad \sum n_{\alpha }=N\end{aligned}}}
donde las
α
{\displaystyle \alpha }
hacen referencia a los estados energéticos.
n
α
{\displaystyle n_{\alpha }}
es el número de ocupación de un nivel energético, que dice cuántas partículas se encuentran en un determinado nivel energético y
{
n
α
}
{\displaystyle {\{n_{\alpha }\}}}
es el conjunto que contiene todos los números de ocupación (usado para hacer referencia a una dependencia genérica con los niveles de ocupación de todos los estados energéticos).
Θ
(
z
,
V
,
μ
)
=
∑
N
=
0
∞
∑
{
n
α
}
e
β
∑
α
n
α
(
μ
−
ϵ
α
)
,
∑
n
α
=
N
=
∑
N
=
0
∞
∑
{
n
α
}
δ
(
N
−
∑
α
n
α
)
e
β
∑
α
n
α
(
μ
−
ϵ
α
)
,
∑
n
α
=
N
=
∑
N
=
0
∞
∑
{
n
α
}
δ
(
N
−
∑
α
n
α
)
e
β
∑
α
n
α
(
μ
−
ϵ
α
)
=
∑
{
n
α
}
∑
N
=
0
∞
δ
(
N
−
∑
α
n
α
)
e
β
∑
a
l
p
h
a
n
α
(
μ
−
ϵ
α
)
=
∑
{
n
α
}
e
β
∑
n
α
n
α
(
μ
−
ϵ
α
)
=
∑
{
n
α
}
∏
α
e
β
n
α
(
μ
−
ϵ
α
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (z,V,\mu )&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{\beta \sum _{\alpha }n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })},\qquad \sum n_{\alpha }=N\\&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\alpha }\}}\delta \left(N-\sum _{\alpha }n_{\alpha }\right)e^{\beta \sum _{\alpha }n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })},\qquad \sum n_{\alpha }=N\\&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\alpha }\}}\delta \left(N-\sum _{\alpha }n_{\alpha }\right)e^{\beta \sum _{\alpha }n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\\&=\sum _{\{n_{\alpha }\}}\sum _{N=0}^{\infty }\delta \left(N-\sum _{\alpha }n_{\alpha }\right)e^{\beta \sum _{a}lphan_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\\&=\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{\beta \sum _{n_{\alpha }}n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\\&=\sum _{\{n_{\alpha }\}}\prod _{\alpha }e^{\beta n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\end{aligned}}}
Y obtenemos finalmente que
Θ
(
z
,
V
,
μ
)
=
∏
α
∑
{
n
α
}
e
β
n
α
(
μ
−
ϵ
α
)
{\displaystyle \Theta (z,V,\mu )=\prod _{\alpha }\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{\beta n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}}
En el caso de fermiones , los niveles de ocupación pueden valer 0 o 1 .
Θ
F
(
z
,
V
,
μ
)
=
∏
α
∑
{
n
α
=
0
,
1
}
e
β
n
α
(
μ
−
ϵ
α
)
=
∏
α
[
1
+
e
β
(
μ
−
ϵ
α
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{F}(z,V,\mu )&=\prod _{\alpha }\sum _{\{n_{\alpha }=0,1\}}e^{\beta n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\\&=\prod _{\alpha }\left[1+e^{\beta (\mu -\epsilon _{\alpha })}\right]\end{aligned}}}
En el caso de bosones , los niveles de ocupación pueden tomar cualquier valor. Podemos calcular la sumatoria con la serie geométrica si
e
β
(
μ
−
ϵ
α
)
<
1
{\displaystyle e^{\beta (\mu -\epsilon _{\alpha })}<1}
:
Θ
B
(
z
,
V
,
μ
)
=
∏
α
∑
n
α
=
0
∞
e
β
n
α
(
μ
−
ϵ
α
)
=
∏
α
[
1
1
−
e
β
(
μ
−
ϵ
α
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{B}(z,V,\mu )&=\prod _{\alpha }\sum _{n_{\alpha }=0}^{\infty }e^{\beta n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\\&=\prod _{\alpha }\left[{\frac {1}{1-e^{\beta (\mu -\epsilon _{\alpha })}}}\right].\end{aligned}}}
Podemos reunir los resultados en la forma compacta
Θ
F
/
B
(
z
,
V
,
μ
)
=
∏
α
[
1
±
e
β
(
μ
−
ϵ
α
)
]
±
1
{\displaystyle \Theta _{F/B}(z,V,\mu )=\prod _{\alpha }\left[1\pm e^{\beta (\mu -\epsilon _{\alpha })}\right]^{\pm 1}}