Curso de física estadística/Colectividad macrocanónica/Formalismo

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Definición de la colectividad macrocanónica[editar]

Consideremos ahora muchos sistemas macroscópicos que intercambian entre sí energía y materia, aunque conservan sus volúmenes fijos. Centrémonos en un sistema que llamaremos , y al conjunto de todos los sistemas restantes lo llamaremos .

Ya que consideramos el sistema total aislado (aunque no sus subsistemas), sabemos decir que

siendo V y N el volúmen y el número de partículas del sistema total y los subíndices hacen referencia a los respectivos sistemas definidos anteriormente. Advertencia: Recuerda que y no son fijos y pueden variar continuamente, pero sí es cierto que la suma de ambos es una constante.

Además, suponemos que el sistema es mucho más pequeño que , aunque ambos son macroscópicos. Lo indicamos así

Cálculo de medias de funciones dinámicas[editar]

Estamos interesados ahora en calcular la media de alguna función dinámica que solo es función de coordenadas generalizadas que involucran al sistema . En principio, suponiendo partículas indistinguibles, podríamos decir que esta media viene dada por

Sin embargo, se obtendrá un promedio diverso dependiendo de cuántas partículas contenga el sistema . Hemos notado la media como para indicar dicha dependencia. Dado que en la colectividad macrocanónica no se impone qué partículas deben definir , basta que el sistema tenga un volúmen , cualesquiera partículas del sistema total podrían ser las que se encuentran en nuestro sistema. Para calcular la media total tendremos que hacer un nuevo promedio de estas medias dependientes de , cada una contribuyendo de manera adecuada.

Sabemos por la matemática combinatoria que, para un número de partículas existen formas de escoger subsistemas formados por partículas

Por ejemplo, si por alguna razón supiéramos que, temporalmente, el sistema tiene partículas, podrían definirse (sub)sistemas. Dicho más apropiadamente, dado un fijo, habrá microestados posibles que serán compatibles con . Este valor será el que utilizaremos para saber cuánto contribuye cada media a la media total .

Vemos que los promedios (el valor obtenido con las integrales) se hacen a constante, son entonces multiplicados por sus respectivos pesos, y finalmente son sumados entre sí.

Es inmediato definir el número total de microestados compatibles como

aunque en nuestro caso no hemos hecho esta suma ya que cada sumando ha sido multiplicado por una media.

Suponiendo que la energía de interacción entre el sistema y es pequeña, podemos aproximar la función Hamiltoniana como separable (nota que debe depender del número de partículas de cada sistema)

Reordenándo los términos obtenemos

donde

Ya que

obtenemos

Haciendo un desarrollo de Taylor de obtenemos

Donde

Ahora que hemos llegado a este resultado, no estámos más interesados en los sistemas externos a , por lo que dejamos caer el índice 1 ya que las magnitudes sin ínidices harán referencia a nuestro sistema de interés

La función de partición macrocanónica[editar]

Definimos la función de partición macrocanónica como

Para que tenga sentido, definimos

Y se obtiene que