Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 160c

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Geschichte der Mathematik (Teil 60)

Das alles soll uns aber nicht hindern, auf solider Grundlage eine Vereinfachung dieser babylonischen Verwirrung zu erstreben. Und so wollen wir festhalten, daß wohl der Zahlbegriff stets die Grundlage aller Mathematik bleiben wird und bleiben muß. Wir haben gerade auf diesem Gebiete im neunzehnten Jahrhundert durch die Ausbildung der Theorie der komplexen Zahlen ungeheuer viel Terrain gewonnen, und auch die Gleichungstheorie tat ihr übriges, um den Zahlbegriff zu festigen und zu erweitern, da sie ja mit Wurzeln, Irrationalitaten und komplexen Zahlen aufs innigste zusammenhangt. Dann hat uns das neunzehnte Jahrhundert endgültige Erkenntnisse über die Unauflösbarkeit der Gleichungen, die den vierten Grad überschreiten, und über die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises gebracht (Lindemann 1882). Weiters gewannen wir in den Determinanten, Mengen und Gruppen gleichsam neue „Überzahlen“, mit denen wir bereits ohne viel Schwierigkeit operieren. Und schließlich hat es die darstellende, die projektive und die nichteuklidische Geometrie verstanden, einen neuen bedeutenden Aufstieg der Geometrie einzuleiten, der Weit über alles Vorhergegangene hinaufreicht.

Nach all dem, Was mathematisch, physikalisch und philosophisch in diesem neunzehnten Jahrhundert vorging, war es klar, daß in mehr als einem Kopf und Gemüt der Wunsch erwachte, das riesige Chaos der genialen Entdeckungen und Verallgemeinerungen zu bändigen. Und man war bestrebt, gleichsam die Wurzeln all dieses üppigen Wachstums bloßzulegen. In geometrischen Dingen hatte man für diese Bemühung ein leuchtendes Vorbild, nämlich Euklid, an dessen Sturz durch die nichteuklidischen Geometrien Wohl nur neuerungssüchtige Progressisten glaubten, denen die Auflösung und Relativierung aller Wahrheit irgendwie am Herzen lag.

Nun gelang es David Hilbert (geb. 1862, zuletzt Professor in Göttingen) in einer fast endgültigen Art, die ganzen Fragenkomplexe über die Grundlagen der Geometrie zu klären, und sein Axiomensystem ist eine der großen Leistungen des neunzehnten Jahrhunderts. Diese Axiomatik erlaubt es nämlich, sämtliche Typen von Geometrien in ihrem Aufbau und in ihrer Bedingtheit klarzustellen. Durch bloße Weglassung gewisser Axiome gewinnen wir mühelos die nichteuklidischen, die nichtarchimedischen und andere Geometrien und können dadurch begreifen, warum Geometrien wíderspruchsfrei möglich sind, die unserem am vollständigen euklidischen Axiomensystem geschulten Empfinden auf den ersten Blick wie Wahnsinn erscheinen. Hilbert leistete in seinen „Grundlagen der Geometrie“ jedoch noch weit mehr. Vor allem zeigte er, daß die Verschwisterung von Geometrie und Arithmetik, also von Größe und Zahl, nur dann aufrechterhalten werden kann, wenn sämtliche Rechnungsregeln reeller Zahlen vollständig identisch auch für die sogenannte Streckenrechnung, also für eine Rechnung mit Größen gelten. Ist eine solche Identität zu erweisen, dann dürfen, gleichsam gruppentheoretisch, Größe und Zahl oder Zahl und Größe mutatis mutandis miteinander vertauscht werden. Diese Möglichkeit, die als stillschweigende Voraussetzung jeder analytischen und jeder Maßgeometrie überhaupt zugrunde liegt, ist das unerläßliche Fundament der logischen Berechtigung der Maßgeometrie. Wie Hilbert zeigt, ist diese Verschwisterung von Größe und Zahl durchaus nicht selbstverständlich, sondern muß auf Grund der projektiven Geometrie, insbesondere der Sätze von Pascal und Desargues, sorgfältig nachgeprüft und nachgewiesen werden.

Wir wollen nicht verschweigen, daß auch die Geometriker Pasch und Schur, Zermelo und andere an der axiomatischen Grundlagenforschung in vieler Beziehung beteiligt sind. Sie ist überhaupt seit mindestens fünfzig Jahren auf der „Tagesordnung“, und noch niemals hat ein so heißes Bemühen stattgefunden, den erworbenen Geistesbesitz zu sichern.

Die Gründe für solche Bemühungen liegen sehr tief und sind in verschiedener Richtung zu suchen. Rein historisch betrachtet, handelt es sich um die Rezeption Euklids im faustischen Kulturkreis. Aber auch nur zum Teil. Denn es steckt ebensogut der Geist des Ramon Lullus hinter all diesen Bestrebungen. Wissenschaftspsychologisch kommt man einfach vom Traum der „Denkmaschine“, der „allgemeinen Charakteristik“, der „ars inveniendi“ nicht los und will es mit der Logisierung der Mathematik versuchen, wenn es im Algorithmus und Kalkül selbst nicht mehr weitergeht. Dabei ergeht es der Logik aber genau so wie der Geometrie. Wir haben früher schon die Tragikomödie erwähnt, daß die projektive Geometrie aus dem Wunsch heraus geschaffen wurde, dem sieghaften Algorithmus der Algebra ein Paroli zu bieten. Der Schluß war eine vollständige Algebraisierung der Geometrie, wobei sich projektive Geometrie und Algebra fast unlösbar amalgamierten, und aus der revolutionierenden Geometrie erst recht eine Algebra der Formen, Invarianzen und anderer Beziehungen wurde. Die Algebra scheint ein Licht zu sein, in das die Schmetterlinge der anderen Geisteszonen nicht ungestraft ﬂiegen dürfen. Denn wenn auch die Logik sich plötzlich als Übermathematik zu gebarden begann, sich als Überwissenschaft konstituierte und mit allen Mitteln der Symbolik zu operieren anhub, so stellte es sich gleichwohl sehr bald heraus, daß sie nichts anderes getan hatte, als sich in aller Stille zu algebraisieren. Wie ein militanter Eroberer, der ein fremdes Reich unterwirft, am Ende jedoch Sprache und Sitten der unterjochten Völker annimmt, ist es der Logik und der Logistik ergangen. Und nur unter vollständiger Verwirrung aller Begriffe kann man ernstlich behaupten, daß der Gedanke des Kalküls und der Symbolschreibung eine logische und keine mathematische Kategorie sei.

Wir wollen in keiner Weise die Fruchtbarkeit dieser „Streckung der Logik“ anzweifeln, solange sie sich in vernünftigen Grenzen halt. Wenn aber behauptet wird, daß es sich plötzlich „herausgestellt“ habe, daß die Mathematik nichts sei als ein Komplex von Tautologien und Kreisschlüssen, dann muß der Historiker der Mathematik darauf hinweisen, daß eine solche Auffassung zumindest etwas einseitig ist, wenn sie auch nicht ohneweiters widerlegt werden kann. Sie kann namlich deshalb schwer widerlegt werden, weil sie Dinge postuliert, die vollständig der Willkür unterliegen. Und diese Dinge sind eben die Kompetenzgrenzen von Mathematik und Logik. Durch Jahrtausende hat sich die Mathematik der logischen Operationen des Schließens, des Beweisens und des Analysierens bedient. Sie hatte auch stets und fast zu jeder Zeit das Bestreben, dieses „negative Kriterium der Wahrheit“, wie es Kant nennt, nicht zu verletzen. Sie war aber gezwungen, nicht nur die formale, sondern auch die transzendentale Logik zu berücksichtigen. Mußte darüber hinaus stets am Rande der Metaphysik, ja sogar der Mystik operieren, da ihr sonst gerade die leuchtendsten Gipfel ihres Erfolges nicht beschieden gewesen waren. Von einem gewissen Standpunkte aus könnte man der Mathematik sogar biologische Bedingtheiten nachsagen, zumindest aber kulturmorphologische.

In solchen Bindungen und gegen solche Bindungen hat sich die Mathematik entwickelt und es ist vom Standpunkt einer Wesensschau kaum zweifelhaft, was man unter mathematischem Denken und Handeln verstehen kann und was nicht. Wenn sich also eine der Mathematik irgendwie bisher stets nebengeordnete Wissenschaft plötzlich der integrierenden Errungenschaften der Mathematik zu bedienen beginnt und aus dieser Position heraus Vorrangsansprüche stellt, ist das Wesen der Sache, vom historischen Standpunkt aus, so gut wie ins Gegenteil verkehrt.

Wir wollen an diese Stelle einige Worte Hilberts aus dessen Abhandlung über „Logik und Arithmetik“ setzen, die nach unserer Ansicht das Wesentliche sehr scharf wiedergeben. Hilbert sagt: „Man bezeichnet wohl die Arithmetik als einen Teil der Logik und setzt meist bei der Begründung der Arithmetik die hergebrachten logischen Grundbegriffe voraus. Allein bei aufmerksamer Betrachtung werden wir gewahr, daß bei der hergebrachten Darstellung der Gesetze der Logik gewisse arithmetische Grundbegriffe, z. B. der Begriff der Menge, zum Teil auch der Begriff der Zahl, insbesondere als Anzahl bereits zur Verwendung kommen. Wir geraten so in eine Zwickmühle und zur Vermeidung von Paradoxien ist daher eine teilweise gleichzeitige Entwicklung der Gesetze der Logik und der Arithmetik erforderlich.“

Wir haben absichtlich nicht einen Intuitionisten oder Mystiker der Mathematik, sondern einen der strengsten und erfolgreichsten Logiker der Mathematik zitiert. Wir sind namlich der festen Überzeugung, daß sich diese unpolare und objektive Stellungnahme gegenüber der Rangordnung der beiden Wissenschaften Logik und Mathematik deshalb durchringen muß, weil die Verwischung oder Veranderung der Grenzen keiner der beiden Wissenschaften auf die Dauer Vorteile bringen kann. Und Wir sind Weiter der Überzeugung, daß die Geschichtsschreibung einer nicht allzufernen Zeit eine „Epoche“ konstatieren Wird, die mit dem Titel „Prioritatsstreit der Logik mit der Mathematik“ überschrieben werden könnte. Wobei „Priorität“ nicht zeitlich, sondern erkenntniskritisch gemeint ist.

Noch einmal: es fällt uns nicht im geringsten ein, die Bemühungen um die logische Fundierung und Reinigung der Mathematik zu verkennen und zu verkleinern. Wer so dachte, dem lage die Wahrheit nicht am Herzen und er müßte als schlechter Mann verachtet Werden, der nicht bedenkt, was er vollbringt. Anderseits aber erscheint uns Wieder die heute sehr verbreitete Bestrebung, die Produktivität der Mathematik um jeden Preis zu verriegeln, und die Erzeugung des Wahnglaubens, es sei bereits alles „durchschaut“, als eine Versündigung am Geist, die scharfe Zurückweisung verdient. Aus solchem Sterilitatsaspekt heraus, der sich puritanisch gebärdet Wie irgendeine andere Beckmesserei der Weltgeschichte, Wird den „Meistersingern“ der Mathematik, vor allem den Stolzings, der Weg versperrt, auf dem allein nach allen Lehren der Mathematikgeschichte die Wissenschaft vorwärtskam. Es muß namlich -- und hier liegt die Gefahr--nicht jeder geniale Mathematiker durchaus a priori ein großer fachlich geschulter Logiker und Philosoph sein. Und es könnte geschehen, daß solche zukünftige Bahnbrecher gleichsam verzagt und kopfscheu Werden, wenn sie den Wust vor sich sehen, durch den sie angeblich schreiten müssen, oder aber wenn man ihnen von philosophischer Seite vorhalt, sie befanden sich in einem Zauberkreis, den sie nicht sprengen könnten.