Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 147c

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Geschichte der Mathematik (Teil 47)

Eine Kommutativität wird als Gruppeneigenschaft deshalb nicht gefordert, weil gerade die nichtkommutativen Gruppen hohes Interesse beanspruchen. Wir sagen: „wird nicht gefordert“. Wir wollen damit zum Ausdruck bringen, daß der Gruppenbegriff keine Naturgegebenheit, sondern eine definitorische Festlegung ist, die, etwa wie ein Axiomensystem, auch anders lauten könnte. Doch auf diese allerschwierigste Grundlagenfrage der Mathematik können wir vorläufig nicht näher eingehen. Wir schreiten daher zur vierten Gruppeneigenschaft, die verlangt, daß im System ein Einheitselement vorhanden ist, das die Eigentümlichkeit hat, bei der speziell vorliegenden Art der Verknüpfung jedes beliebige Element des Systems unverändert zu lassen. So ist bei den durch Multiplikation verknüpften rationalen Zahlen die Einheit 1. Denn jede rationale Zahl ergibt, mit eins multipliziert, wieder diese rationale Zahl. Bei den durch Addition verknüpften Logarithmen ist die Einheit, allgemein gesprochen, der Logarithmus der nullten Potenz der Basis, also $\log _{a}{a^{0}}$, der stets als Ergebnis $0$ liefern muß. Addiere ich zu irgendeinem Logarithmus diesen Logarithmus, dann bleibt er unverändert. Auf der Basis 10 etwa ist $10^{0}+\log n$ oder $\log 1+\log n$ stets wieder $\log n$. Schließlich verlangt die fünfte und letzte Gruppeneigenschaft, daß zu jedem Element S des Systems ein inverses Element vorhanden sein muß, das bei der vorgeschriebenen Verknüpfung aus dem Element die Einheit macht. Man nennt es auch manchmal das reziproke Element.

Bei der Multiplikation rationaler Zahlen ist dieses inverse Element nichts anderes als der reziproke Wert des Elements. Denn etwa $\textstyle 3\cdot {\frac {1}{3}}=1$, was unserer Forderung entspricht.

Bei addierten Logarithmen aber ist dieses inverse Element $(-\log _{a}n)$, denn irgendein $(\log _{a}n)$ führt bei Addition von $\log _{a}n+(-\log _{a}n)$ wieder auf die „Einheit“ $\log _{a}{a^{0}}$ oder Null.

Das sieht, oberflächlich betrachtet, wie eine müßige Spielerei oder wie ein verderblicher Kreisgang (circulus vitiosus) aus. Oder bestenfalls wie eine logische Durchforschung von Systemen. Wir verraten aber - mehr dürfen wir leider nicht -, daß auf den oben geschilderten Gruppeneigenschaften und Gruppendefinitionen ein ganzer Algorithmus aufgebaut wurde, der es gestattet, aus den Verhältnissen in einer uns bekannten und zugänglichen Gruppe auf die Zustände in einer anderen Gruppe zu schließen. Sind etwa zwei Gruppen „isomorph“, dann können die Elemente beider Gruppen so geordnet werden, daß bei gleicher Verknüpfungsart in beiden Gruppen die Verknüpfung zweier oder mehrerer Elemente der einen Gruppe ein Resultat zeitigt, das auf demselben Platz steht wie das Resultat der Verknüpfung der entsprechenden Elemente der zweiten Gruppe. Kann man aber konstatieren, daß, wie etwa in unserem Beispiel der rationalen Zahlen und der Logarithmen, die Addition in der einen Gruppe als Resultat die „analoge Stelle“ ergibt wie die Multiplikation in der anderen Gruppe oder umgekehrt, dann liegt eine Transfomation vor, und man kann überzeugt sein, daß dieses Gesetz in jeder Weise erhalten bleiben muß. Man wird einwenden, daß man die „logarithmische Eigenschaft“ ganz „allgemein“ beweisen kann und daher keine Gruppentheorie zum Beweis braucht. Das stimmt in diesem besonderen Fall, den wir bloß wegen seiner elementaren Bekanntheit als Beispiel wählten. Es stimmt aber bei vielen anderen Untersuchungen und Transformationen durchaus nicht. Etwa schon nicht bei allen Umformungen, die wir vulgo „Substitution“ nennen und von denen wir einige Proben bei den Gleichungen Diophants oder Cardanos kennengelernt haben. Denn erst durch die Gruppentheorie ist es möglich geworden, in manchen Fällen geradezu zu prophezeien, welche Transformationen der Gleichungen zum Ziele führen werden und welche nicht. Dabei ist es natürlich ungeheuer schwierig, die Gruppeneigenschaften im einzelnen Falle festzustellen. Dafür nun gibt es wieder Sätze und Methoden, die es uns gestatten, aus gewissen Eigenschaften zu schließen, daß die Gruppeneigenschaften wirklich vorliegen, obgleich diese Eigenschaften auf den ersten Blick mit unseren fünf geschilderten Eigenschaften der Gruppen nichts zu tun zu haben scheinen.

Kurz, es besteht bereits ein ganzer Algorithmus der Gruppen und nicht bloß der konkreten Gruppen. Es wurde vielmehr der Begriff der „abstrakten Gruppe“ geschaffen, die ebenfalls ihren Algorithmus hat und mittels dessen man die allgemeinste Struktur der Gruppen durchforschen kann. Die Höhe der Abstraktion, die dabei zu leisten ist, wird geradezu schwindelerregend, denn es baut sich oberhalb der Algebra oder der Geometrie zuerst ein zweites, allgemeineres Gebäude auf, das Gebiete dieser Disziplinen gruppentheoretisch erfaßt. Über dieser Übergeometrie und Überalgebra liegt aber in dritter Höhenschicht die allgemeinste abstrakte Gruppentheorie, die diese Bündel von Geometrien oder Gleichungen oder Modulsystemen nur noch so behandelt wie die niedere Algebra die konkreten Zahlen.

Wir sind aber mit unserem Zauberteppich fast bis in die jüngste Zeit vorgeflogen. Denn die angedeutete Entwicklung der Gruppentheorie erfolgte erst nach Galois und wurde durch Camille Jordan, durch Sophus Lie und Felix Klein geleistet, wenn man nur die wichtigsten Namen anführen will. Wir müssen aber jetzt zum tragischen Helden dieses Kapitels, zu Evariste Galois, zurückkehren, der in seinem erschütternden „Testament“, in jenem Brief an Chevalier, in seiner letzten irdischen Nacht die grundlegendsten Erkenntnisse über den Bau von Gruppen in harten, manchmal geheimnisvollen Worten festlegte und den Freund bat, den Inhalt des Briefes nicht bloß zu veröffentlichen, sondern speziell Gauß und Jacobi davon in Kenntnis zu setzen. Nicht, wie Galois sagt, zur Beurteilung der Wahrheit der Erkenntnisse, sondern wegen ihrer unmeßbaren Tragweite (importance).

Galois gelangte als Schüler Lagranges und Cauchys, von denen insbesondere der letztere bereits eine Art von gruppentheoretischen Betrachtungen angestellt hatte, vom Spezialgebiet der Gleichungen zu den Gruppen. Galois wußte von den Erkenntnissen Abels, wußte, daß die Hoffnung ein für allemal begraben war, Gleichungen, die den vierten Grad überschritten, durch Wurzelausziehungen zu lösen. Sonderfälle blieben natürlich lösbar, jene Fälle nämlich, in denen es gelingt, durch Kunstgriffe oder Transformationen (Substitutionen im gewöhnlichen Sinne), den Grad der Gleichung bis zum vierten Grad oder noch tiefer herunterzusetzen. Diese Möglichkeit kann man jedoch im allgemeinen einer Gleichung nicht a priori ansehen und noch weniger kann man die Unmöglichkeit einer solchen Umformung irgendwie halbwegs zuverlässig behaupten. Bei diesem Problem nun setzte Galois ein, und der Weg, den er gezeigt hat, ist ein so tiefgründiger und genialer, daß Galois' Name stets unter den ersten Mathematikern genannt werden wird. Er stellte nämlich die allgemeine Frage, wie die Koeffizienten in einer Gleichung n-ten Grades beschaffen sein müßten, damit die Gleichung durch Reduktion lösbar werde. Von den Potenzen der Unbekannten konnte die Lösbarkeit nicht abhängen, da sich bei Verschiedenheit der Koeffizienten Gleichungen mit denselben Potenzen der Unbekannten das einemal reduzieren ließen und das anderemal wieder nicht. Nun erfand Galois die gruppentheoretische Betrachtungsweise gerade dort, wo sie am allerschwierigsten ist, nämlich bei den Permutationsgruppen. Eine Permutationsgruppe ist sicherlich einmal eine endliche Gruppe, da die Möglichkeit der Permutation ein Ende nehmen muß, wenn bloß die Anzahl der zu permutierenden Elemente eine endliche Zahl ist. Die Anzahl der möglichen Permutationen ist dann $n!$ oder, wie man sagt,

n-Fakultät$=1\cdot 2\cdot 3...n$.

Unter Permutation kann man zweierlei verstehen. Erstens eine vollendete Umstellung der Elemente, wie etwa 1243 eine Permutation der Ausgangspermutation 1234. ist. Man kann aber auch die Tätigkeit des Umstellens, also „das Permutieren“, als Permutation bezeichnen, und zwar den Akt des Überganges von einer Zusammenstellung zur anderen. In diesem zweiten Sinne faßt die Gruppentheorie den Begriff Permutation auf und nennt ihn auch Substitution im weiteren Sinne des Wortes. Eine Gruppierung wird für eine andere substituiert, untergestellt, an deren Stelle gesetzt, die einzelnen Übergänge oder Permutationen oder Substitutionen, oder wie man diese Umstellungen nennen mag, werden nun als Elemente der Permutationsgruppe aufgefaßt, wobei auch identische Permutationen vorkommen können, etwa 123 geht wieder in 123 über. Nun können zwei Permutationen der nämlichen Ziffern etwa 123, das in 312 übergegangen ist, und 123, das in 132 verwandelt wurde, miteinander in gruppentheoretischem Sinne dadurch verknüpft werden, daß sie nacheinander ausgeführt werden. Die erste Permutation ersetzt 1 durch 3, die zweite 3 durch 2, die beiden, wenn man sie nacheinander ausführt, also 1 durch 2. Weiters wird 2 durch 1 und bei der zweiten 1 durch 1, also schließlich 2 durch 1 ersetzt. Schließlich 3 durch 2 und 2 durch 3, also 3 durch 3. Das Ergebnis dieser „Verknüpfung“ ist neuerlich ein Element der Gruppe, nämlich wieder eine Permutation von 123, nämlich 213. In ähnlicher Art kann man fortfahren und kann dabei noch durch eine geeignete Schreibweise den Vorgang einfacher, sicherer und durchsichtiger gestalten. Die Erörterung der Einzelheiten würde unseren Rahmen weitaus überschreiten und wir verweisen auf die in der Sammlung Göschen erschienene Darstellung der Gruppentheorie von Dr. Ludwig Baumgartner, in der man weitere Quellennachweise findet. Wir stellen nur fest, daß sich nach unseren Andeutungen auch aus Permutationen echte Gruppen bilden lassen, die sämtliche Gruppeneigenschaften besitzen. Nun untersucht Evariste Galois - und dies der Zweck dieser Ausführungen - die Permutationen der Koeffizienten von beliebigen Gleichungen und erzeugt dadurch aus einer Gleichung eine ganze Gruppe von Gleichungen. Die Gruppen von Substitutionen oder Permutationen werden weiters darauf geprüft, ob sich aus ihnen Untergruppen gewinnen lassen. Diese Überprüfung ist der Hauptzweck des ganzen Beginnens. Denn eine solche Untergruppe kann ohneweiters eine lösbare Form einer Gleichung darstellen oder beinhalten. Wenn weiters noch entdeckt werden kann, wie sich die Hauptgruppe mittels sogenannter Nebenkomplexe aus einer bestimmten Untergruppe zusammensetzen laßt, dann ist das Problem gelöst. Wir wiederholen etwas deutlicher und konkreter: Der erste Schritt ist die Bildung der Permutationsgruppe aus den Koeffizienten der vorgelegten Gleichung. Der zweite die Zerfallung in Untergruppen, von denen eine oder die andere durch Wegfall (Nullwerdung) von Koeffizienten auf eine höchstens biquadratische Gleichung führt. Der dritte Schritt ist der Versuch, aus dieser Untergruppe mittels gewisser Nebenkomplexe die Hauptgruppe zusammenzusetzen. Gelingt auch dieser, dann ist die Gleichung n-ten Grades (wobei $n>4$) resolvierbar, d. h. schließlich auf solche Gleichungen reduzierbar, die durch Wurzelausziehen lösbar sind.

Es ist für uns unvorstellbar, daß der noch nicht Einundzwanzigjahrige den vor ihm kaum noch halbwegs entwickelten Bau der Gruppen gerade von der vielleicht schwierigsten Stelle aus so vollstandig durchschaute, daß er ihn praktisch verwerten konnte. Und es ist für alle geistig Schaffenden eine unheimliche Mahnung, sich diese Leistung auszumalen, die zwischen Widrigkeiten, Politik, Gefängnis, Liebe und Duell in wenigen Monaten so weit vorgetrieben wurde, daß sie in der letzten Nacht deutlich formuliert werden konnte, wobei die Gruppentheorie dazu noch bloß den ersten Teil des Briefes füllt, wahrend der zweite Teil mindestens ebenso erstaunliche Erkenntnisse über elliptische Integrale enthält, deren eigentliche Erschließung erst Riemann und Weierstraß gelang.

Am Ende des Briefes stehen Worte, die in ihrer schlichten Größe so erschütternd sind, daß wir sie hier wiedergeben müssen. Sie lauten: „Aber ich habe keine Zeit mehr und meine Ideen über dieses unendlich große Gebiet sind noch nicht gut entwickelt. Du wirst diesen Brief in der ,Revue encyclopédique“ abdrucken lassen. Ich habe es oft in meinem Leben gewagt,Vorschläge vorprellen zu lassen, deren ich noch nicht sicher war; aber alles, was ich geschrieben habe, ist seit beinahe einem Jahr bloß in meinem Kopf, und es ist zu sehr in meinem Interesse, mich nicht geirrt zu haben, damit man mich nicht verdächtigen kann, Theoreme auszusagen, deren vollkommenen Beweis ich nicht haben würde. Du wirst Jacobi oder Gauß bitten, ihre Meinung zu sagen, nicht über die Wahrheit, sondern über die Wichtigkeit meiner Theoreme. Nach all dem, so hoffe ich, wird es Leute geben, die darin ihren Vorteil finden werden, diesen Wirrwarr zu entziffern. Ich umarme dich in hinströmender Liebe ...“

Das sind die letzten Worte, die der allzu früh Vernichtete in die Ewigkeit sprach. Sein Gesamtwerk ist in der Ausgabe von Picard ein schmales Bändchen von 61 Seiten. Seine Tat aber war ein so unermeßlicher Vorstoß zur Verallgemeinerung der Mathematik, daß Galois mit Recht neben Abel als Schöpfer der ersten Grundlagen moderner Algebra genannt werden muß.

Wir haben schon erwähnt, daß die Gruppentheorie speziell von Jordan ausgebaut wurde. Inzwischen aber setzten sich mehrere Entwicklungsreihen früherer Entdeckungen fort, die der Verallgemeinerung der Algebra neue Waffen lieferten. Eine dieser Entdeckungen haben wir ebenfalls schon erwähnt. Nämlich die Determinanten. In einem Brief an den Marquis de l'Hospital hatte Leibniz das Prinzip dieses großartigen Algorithmus klar und eindeutig ausgesprochen, wobei er sich der vollen Tragweite seiner Tat genau bewußt gewesen sein muß. Denn am Ende des Briefes schrieb er: „Man sieht hier, auf was ich schon gelegentlich hingewiesen habe, daß die Vervollkommnung der Algebra von der Kombination abhängt.“ Gleichwohl hat Leibniz entweder aus Zeitmangel oder aber weil ihm die Unendlichkeitsanalysis dringlicher und wichtiger schien, die vielversprechenden Anfänge seiner algebraisch-kombinatorischen Entdeckung nicht ausgebaut, und seine Beteiligung an diesen Gegenständen geriet so gründlich in Vergessenheit, daß Gabriel Cramer im Jahre 1750 dieselbe Entdeckung noch einmal machte und insofern mit Recht als der eigentliche Entdecker der Determinanten gilt, da alle Späteren auf seinen Grundlagen weiterbauten. Vor allem Laplace, Lagrange, Gauß und Cauchy, welch letzterer auch den Ausdruck „Determinante“ zum ersten Male gebraucht, ihn jedoch merkwürdigerweise wieder fallen läßt und mit dem Namen „fonction alternée“ vertauscht.

Erst Carl Gustav Jacob Jacobi hat in seinem im Jahre 1841 erschienenen Werk „Über die Bildung und die Eigenschaften der Determinanten“ diese mathematische Kategorie endgültig zum Gemeingut der Mathematiker gemacht.

Nun hat später ein englischer Mathematiker, Sylvester, der die Theorie der Determinanten zur Theorie der Invarianten verallgemeinerte, einmal gesagt: „Was ist im Grunde genommen die Theorie der Determinanten? Sie ist eine über der Algebra stehende Algebra, ein Rechnungsverfahren, das uns in den Stand setzt, die Ergebnisse der algebraischen Operationen zu kombinieren und dieselben vorauszusagen, ähnlich wie wir uns mit Hilfe der Algebra der Ausführung der besonderen Operationen der Arithmetik entheben können.“

Diese Worte aus derart berufenem Munde müssen uns neuerlich aufhorchen lassen, wie wir schon einmal aufhorchtenf als wir hörten, daß sich dieTheorie der Gruppen gleichsam als Algebra der Algebra entschleiert, wenn wir sie näher ins Auge fassen. Was also, so ist jeder, der unser bisheriges Ziel kennt, berechtigt zu fragen, was also sind diese rätselhaften Determinanten, von denen wir noch verraten, daß sie im Zeitraum zwischen Cramer und Jacobi gleichsam eine Art von Geheim- oder Privatwissenschaft der allerbedeutendsten Mathematiker waren?

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir ein wenig ausholen. Alle Algebraiker seit Leibniz stießen stets wieder bei ihren Rechnungen auf ein unüberwindliches Hindernis. Wollte man namlich die allgemeinen Lösungen eines Gleichungssystems angeben, das aus einer nur halbwegs höheren Anzahl von Gleichungen bestand, dann wurden diese sogenannten „Lösungssysteme“ derart verwickelt, daß sie ganze Seiten füllten, wobei noch außerdem jedem Rechenfehler Tür und Tor geöffnet war. Wollte man aber gar ein System einer beliebigen Anzahl von Gleichungen, also n-Gleichungen allgemein lösen, dann hatte man 'überhaupt keinen Algorithmus und keine Schreibweise zur Hand, die solches leisten konnte. Gerade jedoch nach derart umfassenden Lösungen suchte man aus den verschiedensten Gründen in mehreren Gebieten der Algebra und der Geometrie.