Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 136c

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Geschichte der Mathematik (Teil 36)


Nun zur Frage des Integrierens, von dem wir bisher kaum gesprochen haben. Wir deuteten bloß an, daß es diese zweite Kunst der Unendlichkeitsrechnung eigentlich nicht zu erfinden gab, da sie schon in irgendeiner Form von den alten Hellenen geübt wurde. Allerdings, wie stets wieder betont werden muß, bloß in Einzelfällen. Eine allgemeine Methode der Summation unendlich kleiner Teile oder beliebig kleiner Größen oder von Indivisibilien oder Differentialen, oder wie man sagen will, gab es nicht, noch weniger einen Algorithmus dieser Rechnungsart. Desto heißer war daher das Bemühen, diesen Algorithmus zu finden. Leider - und davon mußten sich die ersten Bahnbrecher bald überzeugen - stößt die Aufstellung eines solchen Algorithmus auf kaum überbrückbare Schwierigkeiten. Die lytische oder auflösende Operation der Subtraktion ist eindeutig, die der Division erfordert bereits ein gewisses Maß von Probieren, noch mehr die lytische Operation des Wurzelziehens, die für höhere Wurzelexponenten als 3 überhaupt nur durch allerlei sehr komplizierte Kunstgriffe geleistet werden kann. Beim Logarithmieren, das die Lysis der Exponentialfunktion ist, empfinden wir die auch dort vorliegenden sehr großen Schwierigkeiten nicht, da uns die Logarithmen tabelliert zur Verfügung stehen. Aber auf der nächsten Stufe beginnt ein wahres Kreuz, die nächsthöhere lytische Operation wäre nämlich die Differentialrechnung, die an und für sich zwar kompliziert ausfallen kann, wenn es sich um verwickeltere Funktionen handelt, jedoch keine eigentlichen prinzipiellen Hindernisse bietet. Das wäre ja sehr angenehm. Um so mehr, als auch alle thetischen Operationen (Addition, Multiplikation, Potenzierung, Exponentialfunktion) leicht zu behandelnde „Denkmaschinen“ sind. Um so enttauschter war man, als man entdeckte, daß die Integration, die ihrem Wesen nach ja thetisch ist, diese Eigenschaft aufbauender Operationen durchaus nicht teilt, vielmehr, rein algorithmisch betrachtet, sich als Lysis darstellt, und zwar als Lysis besonderer Undurchsichtigkeit. Lautet doch die Frage oder die Bedingung für die Auflösbarkeit oder Auswertbarkeit eines Integrals dahin, man solle finden, von welcher ursprünglichen Funktion die unter dem Integral stehende Funktion der Differentialquotient sei. Grob ausgedrückt, ist das eine Frage, wie etwa die Zumutung, man solle angeben, wovon 729 der Quotient oder das Produkt sei. Manchmal hat man Anhaltspunkte, diese Frage zu beantworten, manchmal wieder nicht. Manchmal muß man Kunstgriffe anwenden und allerlei Umwege einschlagen. Auf keinen Fall aber darf man die Integration rein algorithmisch als stets verwendbare Maschine ansehen. Nun ist es einleuchtend, daß es trotzdem Wege gibt, das Problem irgendwie einzuengen. So etwa weiß man von vornherein, daß , abgesehen von der willkürlich jedem Integral anzufügenden Integrationskonstanten, stets die Funktion
als Stammfunktion oder Auflösung haben muß.
Da aber weiters
gleich ist ,
so ist es klar, daß ein auch kompliziertes Integral stets dann leicht ausgewertet werden kann, wenn es gelingt, den unter dem Integral stehenden Ausdruck in eine Potenzreihe zu verwandeln. Zumindest erhält man bei einer derartigen Potenzreihe, selbst wenn sie unendlich ist, unter der Voraussetzung ihrer Konvergenz, eine beliebige Näherungslösung. Koeffizienten der Variablen spielen dabei keine Rolle, da sie als Konstante stets vor das Integral gesetzt werden dürfen.
Etwa wäre
Es stellte sich aber, schon seit Michael Stifel, heraus, daß bei allen Reihenentwicklungen die Kombinatorik eine ungeheure Rolle spielt, da etwa die Reihenentwicklung der Potenz eines Binoms ja nichts andres ist als eine vielfache Multiplikation und hierbei die einzelnen Summanden der Potenzen in kombinatorischer Art miteinander multipliziert werden müssen.
Auf jeden Fall war es, im Hinblick auf all diese Zusammenhänge, eine bahnbrechende Tat Sir Isaac Newtons, als er 1776 erkannte, daß es eine Binomial-Reihenentwicklung für alle Arten von Exponenten gab, daß also jeder Ausdruck der Form in eine Reihe entwickelt werden konnte. Im Hinblick auf die epochale Wichtigkeit dieser Entdeckung wollen wir kurz andeuten, wie sich die Binomialentwicklung auf gebrochene Exponenten, also auf Wurzeln, auswirkt. Hätten wir etwa ein Binom , wobei einen echten Bruch bedeutet, dann können wir dieses Binom weiter unformen. Wir nehmen an, daß größer sei als , was wir dürfen, da wir im umgekehrten Fall eben herausheben würden.
Wir dividieren also durch das größere Glied des Binoms, bei uns durch , und erhalten
oder
Dieses , das jetzt ebenfalls ein echter Bruch ist, da ja , nennen wir der Einfachheit halber und kümmern uns weiter nicht um . Wenigstens vorläufig. Wir stehen also jetzt vor der Aufgabe, das Binom in eine Reihe zu entwickeln. Da Newton selbst über seine Methoden gewöhnlich Dunkelheit ließ und hauptsächlich die Ergebnisse oder die Schlußformeln bekanntgab, schreiben wir alles Weitere in moderner Form. Wenn nun, so folgern wir weiter, der binomische Satz auch auf negative oder Bruchpotenzen ausgedehnt werden kann, dann muß in unserm Falle gleich sein wobei wir die Obergrenze der Summe vorläufig vorsichtshalber offen lassen.
Damit aber unser Beginnen noch durchsichtiger wird, ersetzen wir jetzt , das ja einen echten Bruch bedeuten soll, einfach durch den Bruch .
Wir haben also, da von 0, 1, 2, 3 bis zu irgendeiner noch unbestimmten natürlichen Zahl wandern soll, nur festzustellen, wie die Koeffizienten dieser , , , usw. aussehen.
Dabei ergibt sich allerdings die Schwierigkeit, daß wir Binomialkoeffizienten der Form , , , usw. zu bilden haben, die an sich sinnlos sind.
Denn das tiefste Wesen der Kombinatorik ist die Ganzzahligkeit und ist das Kombinationssymbol oder der Kombinationsoperator, bei dem die Anzahl der zu kombinierenden Elemente und die Größe der Kombinationsklasse bedeutet.
So wäre etwa die Anzahl der aus fünf Elementen gebildeten Ternen oder Dreiergruppen und ergäbe Kombinationen.
Es gilt sonach hier wieder, den Algorithmus einfach zu erweitern und auf an und für sich unvorstellbare Operationen auszudehnen. Diese Arbeit kann vielleicht in der Form von Kunstgriffen erfolgen, die uns über das zweifelhafte Gebiet in einwandfreier Art hinübertragen. Wir werden es also mit Newton versuchen, diese Schwierigkeit zu überbrücken.
Gehen wir schrittweise vor.
Wir wissen, daß konventionell denselben Wert wie , also 1 hat.
aber ist einfach .
Wir haben somit schon zwei Binomialkoeffizienten gewonnen und schreiben, da und , sofort an:



Nun müssen wir allgemein finden, wie sich darstellen läßt.
Hierzu verwenden wir die Formel, daß
Es ist also
oder nach Multiplikation jedes im Zähler stehenden Gliedes mit :
.


Schon aus dieser Formel erkennen wir, daß wir nach voller Ausrechnung eine unendliche Reihe erhalten werden, denn die Faktoren im Zähler , , , werden ihrem absoluten Wert nach stets Wachsen und nicht, wie beim binomischen Satz ganzzahliger Exponenten, endlich verschwinden, wenn die Null ergibt.
Die sind nämlich ganze Zahlen. Wir sehen diese Entwicklung noch deutlicher, wenn wir weiter umformen und die Glieder des Zählers dadurch positiv machen, daß wir herausheben, was nichts andres bedeutet, als daß wir jeden Faktor des Zählers mit multiplizieren.
Wir erhalten:
, wobei niemals Null werden kann, sondern im Gegenteil stets größer werden muß, da ja das gleichsam die Nummer des letzten behandelten Reihengliedes ist, also die natürliche Zahl, die die Anzahl der entwickelten Reihenglieder angibt.
Man kann noch weiter umformen, etwa


und erhält als Schlußformel für die Binomialreihe bei gebrochenen Exponenten, wobei kleiner sein muß als 1
[Da die Reihe sonst nicht gegen 0 strebt!],
den Ausdruck



Das sieht nun schrecklich kompliziert aus, erfordert aber zur praktischen Handhabung nicht mehr als scharfe Aufmerksamkeit.
So wäre etwa


und


Wie man sieht, sind die Reihen alternierend, d. h. sie wechseln, vom zweiten Glied an, in Plus- und Minusgliedern, ab.
Leibniz nun bildete den binomischen Lehrsatz im Wege der Kombinatorik noch weiter und gelangte zum polynomischen Lehrsatz, der eine Potenzierung von Mehrgliederausdrücken gestattet, deren Gliederanzahl 2 übersteigt. Doch darauf können wir nicht näher eingehen. Wir wollten bloß zeigen, wie sich alle Gebiete der Mathematik in der Hand der Heroen des siebzehnten Jahrhunderts zum Kosmos zu schließen und zugleich zum Kosmos auszudehnen beginnen. Die analytische Geometrie ergab die Verschwisterung von Geometrie und Algebra. Aus ihr wuchs das Tangentenproblem und da mit die Differential- und Integralrechnung mit dem Begriff der Funktion und all den anderen Zweigen, die mit der Unendlichkeitsanalysis in Verbindung standen, wie etwa die Bestimmung der Maxima und Minima, der Flächeninhalte, Volumen, Kurvenlängen und der Kurven mit bestimmten Maximal- und Minimaleigenschaften. Auf Umwegen trat aber wieder das Integral durch die Reihenentwicklungen, speziell durch die binomische Reihe, mit der Kombinatorik in Verbindung, eine Beziehung, die sich stets enger gestalten sollte und sogleich auch auf höhere Differentialquotienten übergriff. Zur selben Zeit legte das Genie Leibnizens durch eine gelegentliche Andeutung in einem Brief an Marquis de l'Hospital den Grundsockel zu einer ungeheuren Entdeckung, der Determinanten, die als rein kombinatorische Denkkategorie später zu einem der mächtigsten Instrumente der Mathematik ausgebildet werden sollten. Wir merken hier nur an, daß Leibniz ihr erster Entdecker war, da wir sie in andrem Zusammenhange genau durchleuchten werden. Damit aber noch nicht genug. Der eben erst entdeckte Logarithmus brach an unerwartetster Stelle in die Unendlichkeitsanalysis ein und konstituierte sich, wie schon erwähnt, zur Achse der höheren Mathematik.


Man stieß nämlich durch die einfache Integrationsformel
sehr rasch auf eine rätselhafte Lücke.
Während der Algorithmus für jedes positive, negative oder gebrochene n einen genauen und selbst für irrationale n einen Näherungswert lieferte, da etwa
,
,
,
usw., ergab sich für


,


oder, was dasselbe ist, für , der vollständig unmögliche Werte
, also unendlich.


Das konnte nicht stimmen. Hier versagte plötzlich der Algorithmus. Um so sicherer war man seiner Sache, als man ja die Integralfläche der Funktion vor sich sehen konnte, wenn man sie zeichnete. Es war die Fläche einer Hyperbel. Und man erkannte bald, daß es nicht nur eine Hyperbel war, sondern daß die Stammfunktion zu dieser Funktion die Funktion (Kurve) des natürlichen Logarithmus bildete, so daß man jetzt als gleich mit setzen durfte.
Der Differentialquotient von war damit als oder entlarvt. Wieder eine geradezu ungeheuer wichtige Entdeckung und ein neuer Zusammenhang zwischen entferntesten Weltteilen des mathematischen Kosmos.
Diese wenigen Beispiele sollen nur die Bewegung andeuten, die in und um Leibniz kreiste und die in wenigen Jahrzehnten all das begründete, was seither das ganze Leben der abendländisch-faustischen Welt umgestaltet hat. Wir können uns von der geistigen Trunkenheit dieser Zeit keinen Begriff machen. In den lockeren Gesellschaftszirkeln des Spätbarock und Rokoko wurde die Mathematik zum Tagesgespräch, und nicht nur der edle Marquis de l'Hospital beschäftigte sich mit Unendlichkeitsanalysis. Hospital wurde vielleicht ihr stärkster Propagator, da sein ebenso durchsichtiges wie umfassendes Lehrbuch fast ein Jahrhundert die Grundlage des Studiums dieser Rechnungsart bildete. Aber überall sprach man von der Lösung des Problems der Kettenlinie, einer Leibnizschen Tat, die endlich die Formel für eine freihängende Kette, bzw. für die durch eine solche Kette erzeugte Kurve zutage förderte. Oder von der Brachistochrone, der Florentiner Aufgabe, die wir schon erwähnt haben, oder von der Traktrixkurve, die dadurch entsteht, daß man etwa eine Uhr mit Kette auf den Tisch legt und nun das Ende der ausgespannten Kette einer Geraden entlang führt. Der Mittelpunkt der Uhr wird sich dieser „Leitgeraden“ stets mehr nähern, ohne sie zu erreichen. Diese ebenfalls durch Leibniz analysierte „Traktrix“ werden wir später bei den nichteuklidischen Geometrien des Gauß-Bolyai-Lobatschewskijschen Typus wiederfinden.
Wir können nur andeuten. Können auch nur flüchtig erwähnen, daß Leibniz bereits die „Geometrie der Lage“ durchschaute und in leuchtend klaren Worten von der Maßgeometrie abgrenzte, können nur noch einmal betonen, daß er in allem, was Schreibweise (Notation) betraf, vorbildlich wirkte. So hat er als erster das Wesen der Indices durchschaut, von denen er stets wiederholte, sie seien durchaus nicht als Zahlen aufzufassen. Ein Gedanke, der für die Kombinatorik und damit für die Determinanten bahnbrechend geworden ist, was wir später ausführen werden.
Überhaupt wird Leibnizens Schatten über der Entwicklung der folgenden Jahrhunderte liegen, und wir wissen heute noch nicht ganz genau, ob in seinem bisher noch leider zum großen Teil unveröffentlichten Nachlaß nicht irgendwelche Dinge verhüllt oder unverhüllt enthalten sind, die erst einer ferneren Zukunft die Wege weisen werden. Aber auch darüber, daß wir heute mitten in einem wogenden Chaos von erst halb entwickelten mathematischen Entdeckungen stehen, werden wir später sprechen.
Jetzt, zum Schluß dieses Kapitels, nur noch ein kleines Streiflicht auf den unseligen Prioritätsstreit zwischen Newton und Leibniz, der der Wissenschaft nur geschadet hat, indem er Leibniz unnötig Kraft kostete und den etwas schrulligen Newton aus Zorn so weit trieb, die Unendlichkeitsanalysis überhaupt zu verdammen.
Es ist, so wissen wir heute, unleugbar, daß Newton und Leibniz, unabhängig voneinander, denselben mathematischen Tatbestand entdeckten und ihn richtig handhabten. Newton faßt die Angelegenheit rein phoronomisch und dynamisch auf und verwendete seine Rechnungsart für die Physik. Er nannte sie Fluxionen und Fluenten und notierte die Fluxion durch und die Fluente durch . Weiters steht es fest, daß Newton, rein zeitlich, früher um die Infinitesimalrechnung Bescheid wußte als Leibniz, und zwar wahrscheinlich bereits im Jahre 1665. Leibniz dagegen kam auf ganz anderen Wegen, logisch und kombinatorisch und aus der Untersuchung endlicher Differenzen, zu seinem Kalkül. Er erstrebte auch nicht bloß eine persönliche Beherrschung des mathematischen Tatbestandes, sondern eine durchsichtige Algorithmisierung, also einen wirklichen Kalkül. Dieser wurde durch ihn im Wesen am 28. Oktober 1675 entdeckt und 1684 veröffentlicht, zu welcher Zeit Newton mit seiner Entdeckung noch nicht in die Offentlichkeit getreten war.
Mehr wollen wir über den Streit nicht sagen. Denn die Tatsache, daß heute die ganze Welt, einschließlich der Angelsachsen, nur und ohne Ausnahme die Schreibweise Leibnizens verwendet, hat, rein objektiv, den Kampf entschieden. Es handelte sich eben bei dieser Entdeckung gar nicht um den Gegenstand selbst. Dieser Gegenstand war zum großen Teil bekannt, als die beiden Rivalen auf den Plan traten. Es handelte sich aber sehr wesentlich oder fast einzig und allein darum, aus dem Problem und seinen Teillösungen einen auch für Durchschnittsmenschen erlernbaren und durchsichtigen Algorithmus zu schaffen, der außerdem noch in sich jede weitere Entwicklungsmöglichkeit enthielt. Diese Großtat hat von den beiden Heroen des siebzehnten Jahrhunderts auf diesem Gebiet nur Leibniz vollbracht, während der große Newton, neben seinen physikalischen Ewigkeitsleistungen, als Mathematiker eher in der Behandlung der Reihen, des Wahrscheinlichkeitskalküls und in anderen Belangen epochebildend auftrat.
Wir können die Gesamterscheinung Leibnizens in ihrer

erschütternden Größe überhaupt nicht fassen. Er war Bahnbrecher als Jurist, Theologe, Historiker, Erfinder, Physiker, Naturforscher, Geologe, Chemiker, Politiker, Sprachforscher und „daneben“ als Mathematiker. Vom Philosophen Leibniz, vom Lyriker Leibniz sprechen wir nicht, da es allzu bekannt ist, daß er „in erster Linie“ Philosoph war. Was also war er wirklich in erster Linie? Jede Geschichte fast jeder Spezialwissenschaft behauptet, man erkenne erst langsam, daß er eben auf diesem Spezialgebiet am bedeutendstenwar und als Bahnbrecher wirkte.

Wir wollen hier durchaus nicht entscheiden. Sondern nur feststellen, daß eine solche Einschätzung die Vermutung nahelegt, in seiner Person habe sich der abendländische Geist zu einem Universalgenie in des Wortes strengster Bedeutung verdichtet, wie es die Welt weder vorher noch nachher sah. Nur aus diesem vereinigten Wissen aber konnte die Konstituierung der Mathematik als Kosmos hervorgehen. Keine Fachbrille trübte seinen Blick, keine persönliche Beziehung behinderte sein Denken und Streben, das einzig das hohe Bild reiner Wissenschaft als Dogma seiner Haltung vor sich sah, und dazu ein unerschütterlicher Glaube an Gott; und ein Optimismus, der sich aus den Tiefen der Verwüstungen des Dreißigjährigen Krieges erhob und seinen Träger zum Freund und Berater Prinz Eugens, Peters des Großen, Ludwigs des Vierzehnten, der preußischen Könige und Königinnen, der deutschen Kaiser Leopold I. und Karl VI. und nicht zuletzt der Welfenherzoge machte.
Aber noch eine Tat sei hier erwähnt: Leibniz war es erst, der der Mathematik in seiner Heimat den Boden bereitete und ihr die gleiche Geltung verschaffte, die diese Königin der Wissenschaften in anderen Ländern seit langem schon besaß.
Wenn das strahlende Erbe dieses Leibnizschen Lebenswerkes in seiner engeren und weiteren Heimat die herrlichsten Früchte tragen konnte, wenn Genies wie Euler, Riemann, Weierstraß, Graßmann, vor allem aber der „Princeps Mathematicorum“, der Fürst aller Mathematiker, Carl Friedrich Gauß, der in seiner universalen mathematischen Größe nur mit Archimedes verglichen werden kann, den Wunderbau ihrer Gedanken aufrichten konnten, so verdanken sie dies irgendwie auch dem Genie Leibniz.