Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 116c

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Geschichte der Mathematik (Teil 16)


Diese einmal wieder aufgenommene Beschäftigung mit Arithmetik setzten die sogenannten „Neu-Pythagoreer“ fort, die im zweiten nachchristlichen Jahrhundert in Nikomachos von Gerasa den später sogenannten „Elementarschreiber der Mathematik“ hervorbrachten. Derselben Schule gehörte auch Theon von Smyrna (zweites nachchristliches Jahrhundert) an, der ebenfalls die Arithmetik förderte und Formeln kannte, die zur Annahme nötigen, er sei bereits der Kettenbruchentwicklung zur Ausziehung von Wurzeln kundig gewesen.
Wenn nun auch alle diese Anzeichen bereits den Anbruch einer neuen Epoche anzukündigen schienen, wollte es diesmal der Ablauf der Geschichte anders, als man es hätte voraussehen müssen. Gewiß, die Epoche trat in der Person des Diophantos ein. Aber ausschließlich in dieser einzigen Person, um dann wieder für viele Jahrhunderte, ja, für mehr als ein Jahrtausend gleichsam in die Versenkung der Weltbühne zu verschwinden.
Bevor wir uns jedoch an die eigentliche Leistung des Diophantos und an all das heranwagen können, was seinen Taten folgte und hatte folgen können, müssen wir uns in das Wesen der Arithmetik und Algebra vertiefen, womit primär die Zahlenschreibung zusammenhangt. Da die Ausdrucksform, in der uns die Zahl entgegentritt, das allererste ist, wollen wir auch damit beginnen. Und zwar werden wir bloß die griechische Zahlenschreibweise erörtern, da sämtliche andern alten Völker zum größten Teil noch schlechtere Systeme der Schreibung verwendeten als die Hellenen. Ein besseres hatte bis zu der uns eben interessierenden Zeit des Diophantos kein Volk des Altertums.
Es entwickelte sich also, etwa seit dem fünften vorchristlichen Jahrhundert, in Griechenland eine Zahlenschreibung, die die Buchstaben des Alphabets unter Hinzufügung einiger Hilfszeichen (die aus anderssprachigen Alphabeten entlehnt wurden) als Zahlzeichen verwendet.
Und zwar wird
1 mit
2 mit
usw. geschrieben (siehe Tabelle)
Alpha α 1
Beta β 2
Gamma γ 3
Delta δ 4
Epsilon ε 5
Sigma σ (= ϛ) 6
Zeta ζ 7
Eta η 8
Theta θ (= ϑ) 9
Iota ι 10
Kappa κ 20
Wie ersichtlich wurde dem als Zahlzeichen verwendeten Buchstaben rechts oben zur Unterscheidung von gewöhnlichen Buchstaben ein Akzent angefügt. Mehrstellige Zahlen in unsrem Sinne wurden additiv gebildet, wobei die Größenfolge eingehalten und wie bei unsrer Schreibung die jeweils kleineren Zahlen von links nach rechts angereiht wurden. Dabei ließ man die Akzente fort und setzte einen waagrechten Strich über die Zahl.
Da also etwa 300 mit τ' bezeichnet wurde,
mußte 345 als τμε geschrieben werden.
Eine Null war in einem derartig aufgebauten System entbehrlich, da den Zahlen mit Nullstellen ja eigene Buchstaben entsprachen. Für die Tausender verwendete man die Zahlen von 1 bis 9 und charakterisierte sie als Tausender durch einen Akzent links unten.
Also 7000 = ,ζ oder
9000 = ,ϑ.
Myriaden
[Die Myriade steht für eine Anzahl von 10.000 (altgriechisch μυριάς myrias „zehntausend“, „unzählbare Menge“). Der Plural Myriaden steht heute meist für eine unzählbare Menge.]
oder Zehntausender konnte man auch noch darstellen, doch liegt es uns fern, uns in weitere Einzelheiten zu verlieren.
Wir wollen vielmehr aus dieser Art der Ziffernschreibung jetzt prinzipielle Schlußfolgerungen ziehen. Erstens war das griechische Ziffernsystem, trotz seiner unleugbaren Vorzüge gegenüber Systemen, wie etwa dem römischen, einer gelenkigen Rechnungsmöglichkeit noch durchaus nicht voll gewachsen. Insbesondere Multiplikation und Division (vom Wurzelziehen ganz zu schweigen) waren in dieser Schreibart nur recht mühselig durchzuführen. Was aber viel schwerer wog, war der zweite Umstand, daß es einem Volk, das die konkreten Zahlen als Buchstaben schrieb, kaum einfallen konnte, allgemeine Zahlen mit Buchstaben zu bezeichnen. Dieser Umstand, besser dieser historische Zufall wurde für die ganze griechische Mathematik verhängnisvoll. Und es gibt kaum einen denkenden Menschen, der sich bei Betrachtung der Entwicklung griechischer Mathematik nicht die Frage vorgelegt hat, was aus dieser Geometrie hatte werden können, wenn sie von einer kongenialen Algebra unterstützt worden ware.
Zu dieser letzten Andeutung aber müssen wir schärfer Stellung nehmen. Denn wir hatten schon mehr als einmal Gelegenheit, über hervorragende al gebraische Leistungen der alten Griechen zu berichten. Was heißt also dieses Bedauern über eine mangelnde Algebra? Handelt es sich dabei bloß um Formsachen, um die Art des Ausdrucks, oder liegen dabei die Unterschiede doch tiefer? Sicherlich ist das zweite der Fall. Wir haben an keiner Stelle behauptet, daß die Griechen mit Buchstaben gerechnet hätten, sondern haben stets nur von ihrer „geometrischen Algebra“ gesprochen. Wir nehmen dabei auf unsrer Stufe alles das kurzweg Algebra, was das Rechnen mit allgemeinen Zahlen betrifft. Und es gibt, nach Nesselmann, dem wir uns anschließen, drei Stufen der Entwicklung dieser Algebra. Auf der ersten Stufe bedient sich die „Wortalgebra“ bloß rein sprachlicher Ausdrucksformen. Solche Möglichkeiten waren den Griechen seit Pythagoras wohl bekannt. Es würde also auf dieser Stufe etwa all das, was wir Formeln nennen, durch Worte ausgedrückt werden müssen, etwa „der Flächeninhalt eines Dreiecks sei stets gleich der Grundlinie, vervielfacht mit der halben Höhe oder der halben Grundlinie mal der Höhe oder dem Produkt aus Grundlinie und Höhe dividiert durch 2“. Oder „der Kreisumfang sei der Durchmesser, multipliziert mit einer Zahl, die zwischen und liege“, usf. In dieser Art aber können auch Gleichungen erörtert und gelöst werden. Es sei etwa die Aufgabe gestellt, zu suchen, wie groß die Zahl sei, die man zu 15 hinzufügen müsse, um das Quadrat von 6 zu gewinnen.
Wir schreiben dafür 15 + x = 36 und sagen x sei 36 - 15, somit 21. Wir haben absichtlich sehr primitive Beispiele gewählt, wissen aber aus unsren bisherigen Erörterungen, daß die Griechen nicht davor zurückscheuten, sehr verwickelte Gleichungssysteme, wie etwa das „Rinderproblem“ des Archimedes, in Worten auszudrücken. Zur Unterstützung dieser sicherlich vorhandenen Wortalgebra diente nun die geometrische Konstruktion, die Anlegung, der Schnitt von Kurven u. dgl. Diese Methode hat einen, allerdings nur einen einzigen großen Vorteil. Es ist durch Geometrie nämlich ohne weiteres möglich, irrationale Gleichungslösungen als glatte, eindeutige Strecken zu erhalten, wozu man arithmetisch nicht imstande wäre. Dem steht jedoch, abgesehen von der an sich sehr großen und oft unüberwindlichen Schwierigkeit geometrischer Gleichungslösung, die eine ganz besondere intuitive Begabung voraussetzt, noch der zweite Nachteil entgegen, daß eine Erweiterung des Zahlensystems durch negative oder gar imaginäre Größen in dieser Art der Lösung niemals gefunden oder auch nur diskutiert werden konnte. Weiters, daß schon reine Gründe der Dimension es verbieten, die geometrische Algebra auf höhere als zweitgradige Gleichungen anzuwenden, wenn man nicht Schnitte von Kegelschnitten oder gar höhere Kurven, wie Konchoide und Cissoide, einführte. Aber auch da gab es bald eine Grenze, über die man schwer hinauskam.


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