Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 107c

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Geschichte der Mathematik (Teil 7)

Wir sprechen von Büchern. Auch in dieser Beziehung ist seit den Anfängen der hellenischen Mathematik ein großer Wandel eingetreten. Während ein Thales oder ein Pythagoras keinerlei mathematische Schriften hinterließen, wimmelt es jetzt, wenige Jahrhunderte später, von solchen Aufzeichnungen. Ja, es soll sogar eine ganze Reihe von „Elementen“ der Geometrie schon vor Euklid gegeben haben. Wir besitzen aber keine einzige derartige Sammlung. Ist also alles nur ein rein antiquarisch-historischer Zufall? War Euklid nur einer von vielen, dem es ein günstiges Geschick gab, durch innerlich und sachlich gar nicht gerechtfertigte Erhaltung seiner Schriften die Ewigkeit zu erschleichen? Nein, so war dem durchaus nicht! Wieder, wie bei Pythagoras, sprang aus dem Haupt des Zeus eine Pallas Athene in voller Rüstung. Die „Elemente“ Waren so neu, so umfassend, so endgültig, so unangreifbar, daß sie, wie wir heute sagen würden, unmittelbar nach ihrem Erscheinen die größte Sensation erregten. Darum wurden sie überverhältnismäßig vervielfältigt und darum wurden sie so sehr Grundlage des Studiums und Gemeingut aller Gebildeten, daß sie nicht mehr aus dem Geistesleben verschwanden, wenn auch der Erdkreis wankte und neue Völker das Erbe des klassischen Altertums antraten. Euklids Elemente waren eben ein Hauptaktivum dieser Erbschaft.

Nun haben wir aber bisher bloß äußere Dinge berichtet: eine Biographie Euklids, die aus einer einzigen Anekdote und aus einer vagen Jahreszahl besteht. Und einen Bucherfolg, dessen innere Begründung wir zwar behaupteten, der aber durchaus nicht auf Treu und Glauben als begründet hingenommen werden muß. Daher ist es höchste Zeit, zum Kern der ganzen Angelegenheit vorzustoßen.

Nicht ohne sehr überlegte Absicht haben wir den Streit der griechischen Philosophen so stark in den Vordergrund gerückt. Die durch all diese unheimlich temperamentvollen und erbitterten Geistesfehden geklärte, gereinigte und doch wieder gewitterschwangere Kulturatmosphäre hellenischen Bereiches verlangte zu Beginn der alexandrinischen Epoche etwas anderes von der „sichersten Wissenschaft“ als gelegentliche verblüffende Problemstellungen und ebenso verblüffende Rätsellösungen. Sie verlangte aber auch eine Beseitigung des „Skandals der Mathematik“, die durch Angriffe von der Art Zenonischer Paradoxien im Ansehen der durch Komödiendichter zum Lachen gereizten Volksmassen nicht gerade gestiegen war. Dies aber um so mehr, als es sich bei der Mathematik um ein Nationalheiligtum handelte, um einen Beweis des Menschseins, der höheren Kultur und Zivilisation. Wodurch nun sollte diese Riesenaufgabe bewältigt werden? Es gab hierzu wohl nur den durch die Logik des Aristoteles vorgezeichneten Weg. Und dieser hieß: Gesamtaufbau einer echten Wissenschaft durch strengste Systematik. Nicht etwa durch die künstliche Bemühung originalitätslüsterner Sammler und Gelehrten, die Mathematik so behandeln würden wie ein Raritätenkabinett mit äußerlich aufgepfropfter Einteilung. Nein, aus den tiefsten ersten Wurzeln, aus den Sockelquadern mußte alles Schritt für Schritt sich vor dem Weisheitsliebenden aufbauen und eine Wahrheit mußte zwingend aus der anderen folgen. Zur Analysis im Sinne Platons blieb später Zeit. Zuerst mußte, rein deduktiv, die Synthesis, das stufenweise Aufeinandertürmen der mathematischen Erkenntnisse geleistet werden.

Euklid hat diese allen früheren aussichtslos scheinende Riesenaufgabe in einer Art bewältigt, daß sein Bau durch Jahrtausende aller Kritik standhielt, sofern sie nicht bloß schlechter Laune entsprang wie die Einwürfe Schopenhauers und zudem noch, wie alle solche Einwürfe, an tiefem Mißverständnis der eigentlichen mathematischen Zielsetzung krankte. Und Euklid hat diese Aufgabe derart bewältigt, daß ihn erst die geistige Entwicklung der letzten Jahrzehnte des neunzehnten Jahrhunderts erreichte und sein Werk verallgemeinern konnte, wobei sie ihn durch diese Verallgemeinerung eher rechtfertigte als angriff. Kurz, man könnte als Motto über die Elemente Euklids einen Buchtitel schreiben, den Pater Saccheri, der Vorreiter der nichteuklidischen Geometrien, allerdings in etwas anderem Sinne, seinem Buche gab: „Euclides ab omni naevo vindicatus.“ Zu deutsch: „Euk1id, von allem Makel gereinigt.“

Dabei sei nur nebenhin erwähnt, daß Euklid Gründer und erstes Schulhaupt der großen Mathematikerschule Alexandrias war; daß er noch andere großartige Werke, wie die Porismen und die Data, außerdem ein Buch über Kegelschnitte und anderes mehr verfaßte; und daß ihm unstreitig der Rang eines ganz großen Mathematikers gebührt, auch was seine höchstpersönlichen Entdeckerleistungen betrifft. Es soll nämlich durchaus nicht den Anschein haben, als ob er bloß Sammler und Systematiker gewesen Wäre, obgleich ihn auch diese Leistung allein unsterblich machen müßte, da sie die Konzeption der gesamten Mathematik betrifft.

Nun wollen wir aber doch des lebendigeren Einblicks wegen die „Elemente“ flüchtig durchblättern. Sie heißen in griechischer Sprache „Stoicheia“ und sind in dreizehn Bücher eingeteilt. An ihrer Spitze steht das weltberühmte euklidische „Axiomensystem“, die Zusammenfassung der sogenannten Erklärungen, Forderungen und Grundsätze. Man hat diese einzelnen Gruppen auch als Definitionen, Postulate und Axiome bezeichnet und viel darüber diskutiert, wodurch sie sich voneinander unterscheiden. Sicherlich sind die Axiome oder Grundsätze nichts anderes als allgemeine oder allgemeingültige oder allen Menschen gemeinsame Einsichten, die nicht bewiesen zu werden brauchen, auch gar nicht bewiesen werden können. Jeder, auch der verwickeltste Beweis muß endlich bei diesen Axiomen als letzten Beweisgründen landen, muß auf sie als letzte Instanzen stoßen. Daß das Ganze größer als sein Teil sei (Axiom 9) oder daß zwei gerade Linien niemals einen Raum (Fläche) einschließen könnten (Axiom 12), muß ebenso jeder mathematischen oder geometrischen Bemühung irgendwie zugrunde liegen Wie etwa die Forderung 2, daß man eine begrenzte gerade Linie stetig gerade verlängern könne und daß es möglich sei, aus jedem Mittelpunkt, mit welchem Radius immer, einen Kreis zu konstruieren (Postulat 3). Ebenso setzt die ganze Geometrie rein definitorisch voraus, daß ein Punkt keine Teile (Definition 1) und eine Linie nur eine Länge ohne Breite besitze (Definition 2) oder daß ein mit seinem Nebenwinkel spiegelbildlich gleicher Winkel ein rechter Winkel sei (Definition 10).

Aus diesem Minimum von 35 Definitionen, 3 Postulaten und 12 Axiomen [Nach neuester Lesart gibt es 23 Definitionen, 5 Postulate und 8 Axiome, ohne daß diese Verschiebung der Einteilung das Wesen der Sache ändert.] nun baut Euklid, wie schon erwähnt, die ganze Mathematik auf, wobei er im späteren Verlauf der Darstellung noch eine große Anzahl von Definitionen, jedoch keine Postulate und Axiome mehr hinzufügt.

Das erste Buch nun handelt von Dreiecken, Parallellinien und Parallelogrammen und schließt mit dem klassischen euklidischen Beweis des Pythagoreischen Lehrsatzes. Dazu wollen wir bemerken, daß die noch heute übliche Beweisform, bestehend aus Behauptung, Beweis und Schlußformel („was zu beweisen war“) bei Euklid erstmalig konsequent auftritt. Bei Konstruktionen heißt es am Schluß: „Was zu konstruieren war.“ Das zweite Buch wendet den „Magister Matheseos“ (wie der Lehrsatz des Pythagoras später genannt wurde) in ausgedehntester Weise an und enthalt durch seine zahlreichen Verwandlungsaufgaben eigentlich eine „geometrische Algebra“, wie wir sie bereits bei den Pythagoreern kennenlernten. Die weiteren planimetrischen Bücher ,drei und vier behandeln die Kreislehre, die Sehnen- und die Tangentenvielecke und schließen mit dem fünften Buch, das die Proportionenlehre bringt, und dem sechsten, das die Ähnlichkeit der Figuren erörtert, den ersten Teil des Werkes ab. Hervorzuheben ist die ungeheure Verallgemeinerung, die alle bisherigen Lehrsatze durch Euklid erfahren haben. Wir können uns nicht in Einzelheiten verlieren, wollen es aber doch nicht unterlassen, auf den 31. Satz des sechsten Buches zu verweisen, der ganz allgemein die Behauptung aufstellt, daß die Summe ähnlicher Gebilde über den beiden Katheten stets gleich sei einer analogen ähnlichen Figur über der Hypotenuse. Dieser ganz allgemeine, bei Euklid auf zwei Wegen bewiesene Satz ist wohl eine sehr umfassende Folgerung, die aus dem Pythagorassatz hervorgeht. Es war damit etwa bewiesen, daß die Summe zweier aus Kreisen gebildeten „Möndchen“) über den Katheten flächengleich sei dem Möndchen über der Hypotenuse.

Ist nun diese Verbreiterung des planimetrischen Wissens bei Euklid erstaunlich, so setzen uns die folgenden Bücher sieben bis zehn vielleicht in noch größere Verwunderung. Was sich da vor uns aufbaut, ist nichts weniger als eine umfassende Zahlentheorie, begonnen vom Unterschied der Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen über gemeinsames Maß und gemeinsames Vielfaches, über einen Beweis von der unendlichen Menge der Primzahlen bis zu einer durchgebildeten Theorie des Irrationalen und des Inkommensurablen. Ein neuerer Forscher, Nesselmann, erklart, daß man über das in den Elementen bezüglich höherer Irrationalitaten Erreichte durch volle achtzehnhundert Jahre nicht hinauskommen konnte, was begreiflich ist, wenn man bedenkt, daß Euklid mit Ausdrücken vom Typus

${\sqrt {{\frac {1}{2}}{\sqrt {a\pm b}}({\sqrt {a}}\pm {\sqrt {b}})}}$

allerlei Umformungen ohne eigentliche algebraische Schreibweise, also vorwiegend geometrisch, vornehmen mußte. Dieses Zeugnis Nesselmanns diene zur schlagenden Widerlegung des weitverbreiteten Irrtums, daß Spitzengeister früherer Epochen etwa naiv waren, nur weil sie einige Jahrtausende vor uns lebten oder weil sie vielleicht ganz andere Dinge wollten als wir Heutigen.

Nachdem nun Euklid die Zahlentheorie erledigt hat, begibt er sich in den Büchern elf bis dreizehn auf das Gebiet der räumlichen Geometrie und baut sie ebenfalls in synthetischer Art auf. Er hat sie allerdings nicht so erschöpfend behandelt wie die ebene Geometrie, ein Umstand, der bis in den Unterricht der Gegenwart nachwirkt. Gleichwohl sind auch auf stereometrischem Gebiet seine Leistungen erstaunlich genug, und er verwendet bei krummflächigen Gebilden, wie bei der Kugel, bereits Methoden der Rechnung mit dem Unendlichen (Infinitesimalmathematik) in Form des sogenannten Exhaustionsbeweises. Doch darüber wollen wir im nächsten Kapitel sprechen. Daß nach Ansicht einiger Kompilatoren des Altertums der Endzweck und die Krönung des Euklidischen Werkes die Untersuchung der kosmischen Körper (der regelmäßigen Polyeder) gewesen sei, mag nebenbei erwähnt werden. Tatsache ist es, daß bei Euklid schon ein zwingender Beweis dafür auftritt, daß es nur fünf reguläre Vielflache geben könne (als Anmerkung zum 18. Satz des dreizehnten Buches), was in sehr eleganter Art demonstriert wird. Nun sagt derselbe uns schon sattsam bekannte Proklos, der aus der angeblichen Zugehörigkeit Euklids zur Platonischen Philosophie auf das Endziel der Elemente (die platonischen Vielflache) geschlossen hat, an einer andern Stelle viel plausibler, daß „Elemente“ alle Dinge genannt würden, „deren Theorie hindurchdringt zum Verstehen der andern Dinge und von denen aus uns die Lösung der Schwierigkeiten dieser andern Dinge gelingen würde“. Kurz gesagt, wir sollen durch die Elemente befähigt werden, alle andern Dinge der Mathematik zu meistern. Die Elemente sind somit nicht ein „Königsweg“, wohl aber die einzige breite Heeresstraße, die über Berg und Tal zur Mathematik führt. Und es ergibt sich nach Euklid der dreistufige Aufbau der Mathematik als Axiomatik, als Untersuchung der Elementarsatze und als weitere Mathematik, deren Gebiet einleuchtenderweise weder begrenzt noch eingeengt werden kann. Somit wäre also durch Euklid der Unterbau der Mathematik für alle Ewigkeit gelegt worden und wir dürften konsequenterweise sein Werk nur ausweiten, niemals jedoch auf andere Fundamente stellen. So dachte noch ein Immanuel Kant in seiner berühmten Vorrede zur zweiten Auflage der „Kritik der reinen Vernunft“ vom Jahre 1787. Es war die Herrschaft der „euklidischen“ Welt, der „euklidischen“ Mathematik, die bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts nicht angezweifelt wurde, wenn auch eines der Axiome (je nach Lesart Axiom 11 oder Postulat 5) selbst den alten Griechen viel Kopfzerbrechen verursachte. Moderne Mathematiker hohen Ranges, die einzigen sicherlich, die sich in die Psyche Euklids voll hineindenken können, behaupten sogar, daß Euklid selbst dieses Axiom nur unter großen Gewissensbissen hingeschrieben haben dürfte. Es lautet: „Wenn eine Gerade zwei andere Gerade trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind, sollen jene beiden Geraden, ins Unendliche verlängert, auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die kleiner als zwei Rechte sind.“

Wir wissen aus der Schule, daß der größte Teil unserer Geometrie mit diesem Grundsatz steht und fallt. Denn etwa die Tatsache, daß die Winkel eines Dreiecks die Summe von 180 Graden oder zwei Rechten haben, ist ohne das Parallelenaxiom schlechterdings unbeweisbar. Und es hätten schon die alten Griechen, die mit Kugeldreiecken sehr geschickt umgingen, bemerken können, daß .tatsächlich auf der Kugel, auf der es nur einander schneidende „Gerade“ (die Größtkreise) gibt, die Winkelsumme stets von 180 Graden verschieden ist, wobei sie diese 180 Grade ausnahmslos übertrifft.

[Unter „Gerader“ auf der Kugel muß man die kürzeste Verbindung zweier Punkte, also den Größtkreis verstehen, falls man die Kugelfläche nicht verläßt. Zu solcher Verallgemeinerung sind die alten Griechen jedoch nicht vorgedrungen.]

Aber zurück in die euklidische Welt! Für unsren Standpunkt in Raum und Zeit - das Alexandria des 4. und 3. vorchristlichen Jahrhunderts - ist Mathematik zum erstenmal durch Euklid vollgültig gegen alle Gefahren philosophischer Zersetzung gesichert worden. Neugeboren steht unsre Wissenschaft vor den erstaunten Augen der Welt schlackenlos da. Der Weg unbegrenzten Aufstieges ist geebnet, der Bau wolkenhoher Türme ermöglicht, da die Fundamente tief verwurzelt sind im unentrinnbaren Urgesetz des Denkens, der Logik, und zugleich im Gesetz der reinen Anschauung, im dreidimensionalen „euklidischen“ Raum.

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