Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 086c

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Mathematik von A bis Z (Teil 23)

23

Dreiundzwanzigstes Kapitel

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Analytische Geometrie

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Das wiederholt eingestandene Ziel unseres Ehrgeizes bleibt für uns stets die Erschließung der Grundbegriffe der Unendlichkeitsanalysis; also der Disziplin, die im allgemeinen als „die höhere Mathematik“ bezeichnet wird. Und wir müssen uns bei jedem Schritt, den wir unternehmen, bewußt sein, daß wir ununterbrochen neues Vorbereitungsmaterial für diesen Zweck herbeischaffen. Wir vernachlässigen bis zu einem gewissen Grad das Einzelne, das an sich hochinteressant und wichtig wäre. Und wir bringen manches nur in gröbsten Umrissen oder in einer dem gewöhnlichen Unterricht fremden Beleuchtung. So etwa werden wir jetzt in recht lückenhafter und eigenwilliger Art „analytische“ oder Koordinatengeometrie treiben, obgleich gerade dieser Teil der Geometrie eine der Hauptvoraussetzungen der höheren Mathematik war und ist. Jetzt aber wollen wir nicht weiter ankündigen, sondern handeln.

Wir legen uns zuerst die scheinbar abwegige Frage vor, welcher Bedingung beliebig gewählte Senkrechte auf einer Geraden genügen müssen, damit ihre Endpunkte durch eine Gerade verbunden werden können und verbunden werden müssen. Oder noch besser, wir stellen uns, wie dies in der Geometrie häufig geschieht, das Problem schon als gelöst vor und suchen aus der Lösung die „Bedingungen“ des Zustandekommens (s. Fig. 35).

Fig. 35

In den Punkten A bis G der „Geraden g“ seien Senkrechte errichtet, die genau so lang sind, daß ihre Endpunkte alle in einer „Geraden g₁“ liegen. Die Senkrechten (Lote) heißen l₀ bis l₆ und sind in ganz willkürlichen Abständen voneinander errichtet. Wollte ich etwa den Punkt A als Nullpunkt der Messung annehmen und irgendein Längenmaß wählen, dann kann ein oder der andere Fußpunkt eines Lotes auch auf einer „irrationalen“ Stelle ruhen. Es ist uns vereinbarungsgemäß gleichgültig. Nun wird jeder halbwegs geometrisch Begabte die „Bedingung“ sogleich aus der Figur ablesen können: Die Strecke AB, das Lot l₁ und der Abschnitt a₁ der geforderten Geraden g₁, bilden ein Dreieck. Diesem Dreieck ist das Dreieck aus AC, l₂ und $(a_{1}+a_{2})$ ähnlich. Diesen beiden wieder das Dreieck aus AD, l₃ und $(a_{1}+a_{2}+a_{3})$ und so fort: bis das letzte ähnliche Dreieck aus AG, l₆ und $(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{6})$ gebildet ist. Es handelt sich dabei um rechtwinklige Dreiecke. Diese aber sind dann ähnlich, wenn etwa die beiden Katheten stets im gleichen Verhältnis zueinander stehen. Da nun aber die Ähnlichkeit der Dreiecke Voraussetzung für die Verbindungsmöglichkeit der Endpunkte unserer Senkrechten durch eine Gerade g₁ ist; und da weiters diese Ähnlichkeit ein fixes gleichbleibendes Verhältnis der Katheten zueinander voraussetzt, so ist die „Bedingung“für unsere Problemlösung eben dieses gleichbleibende Verhältnis.

Da nun aber schließlich die Wahl der Abstände unserer LoLc von einem angenommenen Fixpunkt willkürlich ist, so müßte ich nur ein einziges Verhältnis zwischen Lot und Abstand festlegen, um den Verlauf der ganzen Geraden g₁ zu kennen. Ich könnte schreiben

Abstand : Lot verhält sich wie m : n oder

n mal Abstand = m mal Lot oder

$Lot={\frac {\text{n mal Abstand}}{m}}$

Nun sieht unsere letzte Formulierung einer Funktion, und zwar einer ausgewickelten, zum Verwechseln ähnlich. Denn wenn ich das beliebige Lot gleich y und den beliebigen Abstand gleich x setze, so erhalte ich

$\textstyle y={\frac {n}{m}}x$.

Nun können weitere m und n, die einen Bruch bilden, durch Division auf k reduziert werden. So daß ich schließlich

$y=kx$

als allgemeine Bedingung dafür erhalte, daß alle Endpunkte jedes beliebigen, zu einem willkürlichen x gehörigen y-Wertes in einer Geraden liegen.

Da eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, wollen wir uns unsere „Gerade ₁“, der wir durch Wahl des $k=2$ einen konkreten Sinn geben, in ein rechtwinkliges Koordinatensystem hineinkonstruieren. Die zwei Punkte hätten einmal $x=3$, das andere Mal $x=-2$ (s. Fig. 36).

Da unsere Bedingung $y=kx$ (bei $k=2$) $y=2x$ lautet, ist y für $x=(+3)$ gleich $(+6)$ und für $x=(-2)$ gleich $(-4)$. Unsere Gerade geht durch den 0-Punkt des Koordinatensystems. Nun kann der Leser, am besten auf Millimeterpapier, für irgendein anderes x das zugehörige y suchen. Er wird finden, daß dessen Endpunkt stets in der Geraden liegt.

Fig. 36

Wir haben also, wie man sagt, die „analytische Gleichung“ einer Geraden als eine Funktion der Form $y=kx$ bestimmt. Beide Unbekannten stehen hier in der ersten Potenz. Weil aber die Gleichung einer Geraden stets die erste Potenz der Unbekannten verlangt, nennt man eine solche Gleichung (Funktion) eine lineare (von „linea“, die gerade Linie). Bevor wir weitergehen, noch ein Wort über den gemischten Gebrauch der Worte Funktion und Gleichung. Wir wollen das Dilemma kurz abtun. Und zwar dadurch, daß wir feststellen, jede Funktion sei eine Gleichung, weil sie formal als $y=f(x)$ geschrieben wird. Jede Gleichung ist aber durchaus nicht eine Funktion. So ist $5x^{2}+3x+9=27$ sicher eine Gleichung, keineswegs aber eine Funktion. Denn ich finde nur die eine Unbekannte x in ihr und kann weder von willkürlicher noch von zwangsläufiger Veränderlicher sprechen. Auch dieser Sprachwirrwarr macht Anfängern große Schwierigkeiten.

Nun sind wir mit der Untersuchung der „Gleichung“ unserer Geraden, die eine „Funktion“ sein muß, um analytisch darstellbar zu sein, noch durchaus nicht fertig. Denn wir behaupten, daß auch

$y=2x+3$

eine „lineare“ Funktion ist. Also eigentlich auch eine Gerade liefern müßte. Machen wir die Probe:

Fig. 37

Für $x=(+3)$ erhalten wir als y den Wert 9, für $x=(-2)$ ist $y=(-1)$. Die Gerade schneidet diesmal nicht den Nullpunkt des Koordinatensystems, sondern den Plusteil der Ordinatenachse bei (+3). Dies hätten wir auch rechnerisch feststellen können. Denn für $x=0$ erhalten wir $y=(+3)$. Wenn aber $x=0$ wird, heißt das analytisch nichts anderes, als daß ich einen Punkt der Ordinate suche, durch den unsere Gerade geht. Denn sie hat dort eben ein $x=0$. Ebenso bedeutet $y=0$ den Schnittpunkt mit der Abszisse. Also $0=2x+3$, oder $2x=-3$ oder $\textstyle x=-{\frac {3}{2}}$. Ein Blick überzeugt uns, daß tatsächlich die Gerade die x-Achse (Abszisse) im Punkt $\textstyle x=-{\frac {3}{2}}$ schneidet. Unsere neue Rechen- und Denkmaschine entpuppt sich also wieder als ein besonderes Zauberwerk, noch zauberhafter dadurch, daß sie in magischer Art Geometrie mit Arithmetik verbindet. Wir werden diesen unheimlichen Zauber noch an viel verwickelteren Beispielen bestaunen. Gleich eine Probe: Wir behaupteten, die allgemeine Form der „Geradengleichung“, abgeleitet aus Ähnlichkeitsüberlegungen, sei

$y={\frac {n}{m}}x$

wobei ${\frac {n}{m}}$ das Verhältnis des Lotes zum Abstand war. Nun sind aber Lot und Abstand „Katheten“. Folglich ist ihr Verhältnis eine der trigonometrischen Funktionen des Winkels $\alpha$.

Fig. 38

Und zwar, nach unseren schon festgelegten Definitionen, die sogenannte Tangensfunktion. Da aber der Bruch $y={\frac {n}{m}}x$ stets „ausgerechnet“ werden kann, so ist in der Gleichung

$y=kx$

der „Koeffizient“ des x nichts anderes als der Wert für den „Tangens“ von $\alpha$. Also ist stets in einer ausgewickelten linearen Funktion der Form:

$y=kx+c$ (c ist eine Konstante)

(Die additive Konstante ändert niemals die Winkelfunktion, wie man sich zeichnerisch überzeugen kann. Sie verschiebt bloß die Gerade ohne Winkeländerung im Koordinatensystem.)

das k der Wert der Tangensfunktion des Winkels $\alpha$, das heißt des Winkels, den die Gerade beim Schnitt mit der Abszissenachse bildet. Wenn uns aber der Tangens dieses Winkels bekannt ist, so ist uns auch der Winkel und damit die Neigung gegen die (durchwegs als positiv angenommene) Abszissenachse bekannt. Von diesen Überlegungen werden wir später noch Gebrauch machen.

Nun ist aber unser analytischer Ehrgeiz gestiegen und wir wollen auch die Gleichung einer krummlinigen Figur, etwa des Kreises, ausfindig machen.

Fig. 39

Wir wollen, kurz gesagt, eine Formel finden, die uns bei jedem x ein y liefert, dessen Endpunkt im Kreis liegt. Zuerst sehen wir, daß nur x-Werte sinnvoll sind, die sowohl nach der Plus- als nach der Minusseite die Größe des Halbmessers nicht übersteigen. Denn ein Lot im Punkte C wird niemals den Kreis treffen. Wie aber fassen wir unsere höchst heikle Aufgabe an? Vielleicht wieder durch ein „Verhältnis“. Denn wo wir auch immer ein x wählen, trifft das „Lot“ den Kreis an einem Punkt. Das war gefordert. Nun können wir diesen Punkt durch einen Halbmesser mit dem Kreismittelpunkt verbinden. Dadurch aber entstehen stets rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenuse in allen Fällen der Radius ist, während die Katheten stets der „Abstand“und das „Lot“ sind. Wenn ich also den Abstand wieder mit x, das Lot mit y bezeichne und dazu noch den Halbmesser kenne oder zumindest als erkennbar annehme, gilt die Beziehung

$r^{2}=x^{2}+y^{2}$ oder

$y^{2}=r^{2}-x^{2}$ oder

$y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

nach den Regeln des pythagoräischen Lehrsatzes. Daß ich dabei für y oft irrationale Werte erhalten werde, folgt aus der Lehre von den Wurzeln. Weiters errechne ich für jeden Fall eines x zwei Werte für y, nämlich einen positiven und einen negativen, die allerdings dieselbe „absolute“ Größe haben. Ich könnte also schreiben:

$|y|=|{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}|$

Alles, was wir rein arithmetisch ableiten, ist richtig. Ein Blick auf die Figur belehrt uns, daß tatsächlich zu jedem x zwei y-Werte gehören. Und zwar ein y für die obere und ein y für die untere Kreishälfte. Beide aber haben denselben „absoluten“ Wert, dieselbe Länge und sind nur im Vorzeichen und damit in ihrer Lage im Koordinatensystem verschieden. Und wir erstaunen neuerlich über die Zauberkraft der Koordinatengeometrie. Denn es ist fast unbegreiflich für uns, daß sich die (uns aus den Regeln der Befehlsverknüpfung bekannte) Tatsache der Mehrwertigkeit einer Quadratwurzel sofort im Koordinatensystem geometrisch sinnvoll abbildet. Dieser, den Anfänger höchst beunruhigende, verblüffende Zusammenhang zwischen Arithmetik und Geometrie, diese Identität zweier weltverschiedener Zweige der Mathematik, ist wohl einer der größten Triumphe menschlichen Entdeckens. Und die Aufklärung dieses Zusammenhanges ist eine Aufgabe tiefer und schwieriger mathematischer und philosophischer Erörterungen, die unseren Rahmen weit überschreiten. Wir wollen uns daher auf die einfachste Erklärung zurückziehen. Und andeuten, daß wir ja eigentlich nicht Geometrie treiben, wenn wir Koordinaten verwenden. Wir benützen vielmehr zwei aufeinander senkrechte, nach Plus und Minus festgelegte Zahlenlinien. Und operieren sodann mit Zahlenpaaren aus diesen zwei Linien. Diese nehmen aber, in Form „symbolischer Abbildung“ den Charakter von Flächenpunkten an. Und unterliegen dann innerhalb der Fläche ebenso geometrischen Bedingungen, wie die Punkte in einer Zahlenlinie (wenn auch nur längenmäßig) der Geometrie gehorchen. Dies jedoch nur zur Anregung philosophisch veranlagter Leser, die in jedem guten Buch über analytische Geometrie alle Aufklärung finden können.

Wir wollen unserer Koordinatengeometrie aber noch in anderer Art „auf den Zahn fühlen“. Und zwar dadurch, daß wir in schlauer Weise versuchen, mittels der Kreisgleichung eine quadratische Gleichung aufzulösen:

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$.

So lautete die Kreisgleichung. Nun ist es natürlich ohne weiteres möglich, daß wir den Punkt oder die Punkte des Kreises untersuchen, bei denen $y=0$ ist. Vorher quadrieren wir aber die Gleichung noch auf beiden Seiten:

$y^{2}=r^{2}-x^{2}$.

Wenn y gleich 0 sein soll, dann erhalten wir:

$0=r^{2}-x^{2}$ oder $x^{2}=r^{2}$.

Folglich ist $x=\pm {\sqrt {r^{2}}}=\pm r$.

Analytisch betrachtet sehen wir, daß bei $y=0$, also an den Stellen, an denen die Ordinatenhöhe gleich Null ist, der Kreis die Abszissenachse schneidet.

Fig. 40

Es sind dies die Punkte P und Q. Also hat auch hier wieder die analytische Geometrie sinnfällig die Mehrwertigkeit der Quadratwurzel zum Ausdruck gebracht.

Wir verraten beiläufig, daß wir mit dieser Betrachtung eine höchst wichtige Sache angeschnitten haben. Man kann nämlich jede beliebige Gleichung mit einer Unbekannten so auffassen, als ob sie gleichsam das Überbleibsel einer Funktion wäre, bei der man das y gleich Null gesetzt hat. Hätten wir etwa die Gleichung

$x^{2}-2x-15=0$

und machen aus ihr eine Funktion

$y=x^{2}-2x-15$,

dann muß sich, rein zeichnerisch, das gesuchte x dort ergeben, wo die zur Funktion gehörige Bildkurve die Abszissenachsc schneidet. Nämlich an jenen Punkten dieser Bildkurve, bei denen y gleich ist Null. Würden wir die Kurve auf Millimeterpapier in ein Koordinatensystem zeichnen, so würden wir sehen, daß sie die x-Achse in den beiden Punkten $x=+5$ und $x=-3$ schneidet. Diese „graphische“ Methode der Gleichungslösung wird zur näherungsweisen Lösung von Gleichungen verwendet, die eine arithmetische Behandlung nicht mehr zulassen. Das sind solche, bei denen das x in höherer als der vierten Potenz vorkommt. Man setzt — kurz angedeutet — in das x allerlei Werte ein, zeichnet die Kurve und sieht, wo sie sich dem Schnitt mit der Abszissenachse nähert. Dort geht man in stets kleineren Schritten im Einsetzen des x-Wertes weiter, um das x möglichst genau zu treffen, bei dem $y=0$ wird. Man kann auch gleichsam diesen Punkt überschießen und hätte dann bei einer willkürlich angenommenen Kurve etwa das Bild:

Fig. 41

Bei $x=1{\frac {1}{2}}$ befindet sich die Kurve noch unterhalb der x-Achse. Bei $x=1{\frac {5}{6}}$ schon oberhalb. Also muß das x, bei dem $y=0$ wird, zwischen $1{\frac {1}{2}}$ und $1{\frac {5}{6}}$ liegen. Man kann nun innerhalb dieses Intervalls weiterprobieren, bis man den Wert möglichst genau trifft. Diese Methode heißt die „regula falsi“, die „Regel des Falschen“ und ist eine sogenannte Annäherungsmethode. Es wird zuerst absichtlich nach beiden Seiten Falsches versucht, um zu erkennen, wo das Richtige liegen kann.

Wir dürfen auch hier nicht länger verweilen, da die Fülle des zu bewältigenden Stoffes stets größer wird, je weiter wir vordringen. Wir erwähnen nur, daß wir durch diese Art der Lösung von Gleichungen bemerken, daß es stets von der höchstvorkommenden Potenz des x abhängt, wie viele Schnittpunkte die Bildkurve mit der Abszissenachse hat. Eine „lineare“ Gleichung hat einen Schnittpunkt, eine quadratische zwei, eine kubische drei usw. Folglich hat auch jede Gleichung soviele „Lösungen“ für das x, als die höchste Potenz des x anzeigt. Daß es dabei auch „imaginäre“ und „komplexe“ Schnittpunkte bzw. Lösungen gibt, soll bloß erwähnt werden.

Aus praktischen Gründen wollen wir nur noch rasch die arithmetische Lösung der sogenannten gemischtquadratischen Gleichung nachtragen, die das x sowohl in der zweiten als in der ersten Potenz enthält. Also eine Gleichung der allgemeinen Form

$x^{2}\pm bx\pm c=0$.

Wir wissen schon, daß $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ ist. Diesen Satz wollen wir nun benützen. Wir wählen die Gleichung

$x^{2}+bx+c=0$

und schaffen zuerst das c „hinüber“. Also:

$x^{2}+bx=-c$.

Dann machen wir einen Kunstgriff. Wir ergänzen nämlich die „linke Seite“ zu einem vollständigen Quadrat. Und zwar dadurch, daß wir $\textstyle {\frac {b^{2}}{4}}$ addieren. Denn

$\textstyle (x+{\frac {b}{2}})^{2}$ muß gleich sein

$\textstyle x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4}}$.

Da wir aber auf der linken Seite $\textstyle {\frac {b^{2}}{4}}$ addiert haben, müssen wir auch die rechte Seite der „Gleichungswaage“ mit demselben Übergewicht belasten. Also:

$\textstyle x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4}}=-c+{\frac {b^{2}}{4}}$.

Dann ist

$\textstyle (x+{\frac {b}{4}})^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-c$

Wenn wir jetzt auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen, erhalten wir:

${\sqrt {(x+{\frac {b}{2}})^{2}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}}$

$x+{\frac {b}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}}$ und schließlich

$x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}}$

Durch diese höchst wichtige Formel sind wir imstande, jede gemischtquadratische Gleichung zu lösen, vorausgesetzt, daß das $x^{2}$ isoliert ohne Koeffizienten in der Gleichung steht. Ist dies nicht der Fall, so muß die „Isolierung“ zuerst vorgenommen werden. Etwa:

$4x^{2}+7x-57=0$

Zuerst wird das x vom Koeffizienten befreit. Und wir erhalten

$x^{2}+{\frac {7}{4}}x-{\frac {57}{4}}=0$

Nun haben wir eine Gleichung, bei der dem b das ${\frac {7}{4}}$ und dem c der Formel das $(-{\frac {57}{4}})$ entspricht. Wir setzen ein

$\textstyle x=-{\frac {7}{8}}\pm {\sqrt {{\frac {49}{64}}-(-{\frac {57}{4}})}}$

$\textstyle x=-{\frac {7}{8}}\pm {\sqrt {{\frac {49}{64}}+{\frac {57}{4}}}}$

$\textstyle x=-{\frac {7}{8}}\pm {\sqrt {\frac {49+912}{64}}}$

$\textstyle x=-{\frac {7}{8}}\pm {\sqrt {\frac {961}{64}}}$

$\textstyle x=-{\frac {7}{8}}\pm {\frac {31}{8}}$

x ist also entweder

$\textstyle -{\frac {7}{8}}+{\frac {31}{8}}={\frac {24}{8}}=3$ oder

$\textstyle -{\frac {7}{8}}-{\frac {31}{8}}=-{\frac {38}{8}}=-{\frac {19}{4}}=-4{\frac {3}{4}}$

Eine Kurve, die die Gleichung $y=4x^{2}+7x-57$ hätte, müßte die x-Achse in den Punkten $x=+3$ und $x=-4{\frac {3}{4}}$ schneiden, was der Leser auf Millimeterpapier nachprüfen kann.

Nun wollen wir unser Kapitel über Koordinaten, das uns wieder zu allerlei Exkursen verleitete, damit abschließen, daß wir feststellen:

Jede Funktion der allgemeinen Form

$y=f(x)$

ist als Bildkurve innerhalb eines Koordinatensystems darstellbar. Dabei ist der Ausdruck „Kurve“ so allgemein gefaßt, daß auch eine Gerade als Kurve gilt. Sie ist der „Grenzfall“ einer Kurve, ist eine Kurve ohne Krümmung. Diese Art, nicht dazugehörige Dinge zur Erhaltung eines einheitlichen Systems in den Oberbegriff einzubeziehen, ist uns von der nullten Potenz und dergleichen schon bekannt. Wir unterscheiden „Ordnungen“ der Kurven nach der Potenz des x. So ist die Gerade eine Kurve erster, der Kreis eine Kurve zweiter Ordnung. Der zweiten Ordnung gehören alle Kegelschnitte, wie Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel an. Kurven höherer Ordnung, etwa $y=x^{3}+x^{2}+5x-17$ heißen „Parabeln“ dritter Ordnung. Und höherer Ordnung, wenn das x in der vierten Potenz oder einer höheren Potenz auftritt.

$y=x^{7}+4x^{3}+7x-49$ wäre eine „Parabel“ siebenter Ordnung.

Nun gäbe es in der analytischen Geometrie viele lockende Aufgaben. Etwa Schnittpunkte zweier Kurven zu berechnen oder die Tangente an eine Kurve durch eine Gleichung auszudrücken usw. Wir müssen aber alle diese Probleme der „niederen“ analytischen Geometrie links liegen lassen, um zu den Problemen der „höheren“ Analysis aufzusteigen. Um diese Probleme aber zu erfassen, werden wir sie uns im nächsten Kapitel in aller Schärfe stellen und ihre geschichtliche Entwicklung in groben Umrissen verfolgen.

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