Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 079c

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Mathematik von A bis Z (Teil 16)

16

Sechszehntes Kapitel

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Irrationalzahlen

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Wenn wir uns die Frage vorlegen, unter welcher Bedingung, rein allgemein betrachtet, eine Wurzel 4 berechenbar ist, dann finden wir, daß etwa ${\sqrt[{4}]{a}}$ dann ein klares Ergebnis liefert, wenn a gleich ist einer Zahl $p^{4}$. Denn dann ist

$\textstyle {\sqrt[{4}]{a}}={\sqrt[{4}]{p^{4}}}=p^{\frac {4}{5}}p^{4}$.

Wir erhalten also p als Resultat und sagen p sei „die vierte Wurzel“ von a.

Nun müssen wir weiter zusehen, ob diese Möglichkeit stets gegeben ist. Nehmen wir den einfachsten Fall an und fordern wir, daß a eine ganze Zahl sei. Irgendeine beliebige ganze Zahl. Wenn wir das einmal festgestellt haben, bemerken wir sofort, daß ein großer Zufall notwendig ist, damit a wirklich die vierte Potenz einer anderen ganzen Zahl p darstellt. Denn innerhalb der ersten hundert ganzen positiven Zahlen etwa finden wir an vierten Potenzen bloß 1, 16 und 81. Das heißt, daß jeder ganzzahligc Wert für a, der nicht eben 1, 16 oder 81 wäre, keine vierte Potenz einer positiven ganzen Zahl darstellen würde. Die Zahl 25 etwa lüge zwischen 2* und 34, die Zahl 90 zwischen 3⁴ und 4⁴ usw. In der Mathematik benützt man die sogenannten „Ungleichungen“ dazu, um dieses „Dazwischenliegen“ auszudrücken. Da es sich um eine äußerst wichtige Schreibweise handelt, die besonders in der höheren Mathematik ununterbrochen angewendet wird, wollen wir etwas ausführlicher davon sprechen. Will ich etwa anmerken oder zur Bedingung stellen, daß die Zahl b zwischen 30 und 40 liegt, so schreibe ich: b ist größer als 30, aber kleiner als 40 oder

$30<b<40$.

Will ich dagegen sagen, sie liege zwischen 30 und 40, wobei sie aber auch eventuell 30 oder 40 selbst sein kann, dann notiere ich

$30\leqq b\leqq 40$.

Man nennt dieses Verfahren auch „zwischen Grenzen einschließen“ und bezeichnet hier 30 als die untere, 40 als die obere Grenze. Bei allgemeinen Zahlen weiß ich natürlich nicht von vornherein, welche Zahl die höhere oder die tiefere ist. Schreibe ich

$a<b<c$,

dann liegt b zwischen a und c. Und ich erfahre erst indirekt durch diesen Ansatz, daß a die kleinste, c die größte der drei Zahlen ist.

(Daß, wenn $a<b$ und $b<c$, auch $a<c$, ist ein Fall des sogenannten Prinzips der Transitivität. )

Um nun aus dieser Schreibweise die Nutzanwendung für unsere Wurzeln zu ziehen, können wir sagen, 25 liege zwischen 2⁴ und 3⁴ oder

$2^{4}<25<3^{4}$.

Es ist also offensichtlich, daß die vierte Wurzel 4 von 25 nicht in der Art ${\sqrt[{4}]{p^{4}}}=p$ (wobei p eine positive ganze Zahl) zu berechnen ist.

Nun besitzen wir aber doch eine zweite Art von Zahlen, die in unendlicher Mannigfaltigkeit und Abstufung zwischen den ganzen Zahlen liegen. Nämlich die sogenannten gemeinen Brüche. Wir haben schon behauptet, daß etwa die Stammbrüche

$\textstyle {\frac {1}{2}}$, $\textstyle {\frac {1}{3}}$, $\textstyle {\frac {1}{4}}$, $\textstyle {\frac {1}{5}}$ usw. bis $\textstyle {\frac {1}{{\text{fast}}\infty }}$ zwischen 0 und 1 liegen, weitere aber zudem noch alle übrigen echten Brüche wie

$\textstyle {\frac {2}{3}}$, $\textstyle {\frac {3}{4}}$, $\textstyle {\frac {4}{5}}$, $\textstyle {\frac {5}{6}}$, $\textstyle {\frac {6}{7}}$ ... bis $\textstyle {\frac {1}{{\text{fast}}\infty }}$.

(Der Einfachheit halber wird $\infty$ für $\lim \infty$ geschrieben. )

Da nun aber auch Zwischenwerte zwischen beliebigen anderen ganzen Zahlen, etwa zwischen 12 und 13 stets in der Form unechter Brüche, also $\textstyle {\frac {25}{2}}=12{\frac {1}{2}}$ oder in der Form $\textstyle 12+{\frac {1}{2}}$, $\textstyle 12+{\frac {3}{4}}$, $\textstyle 12+{\frac {7}{8}}$ usw. auszufüllen sind, haben wir berechtigte Hoffnung, daß wir unsere ${\sqrt[{4}]{25}}$, wo nicht ganzzahlig, so doch durch einen Bruch lösen können. Und wir denken, da $2^{4}=16$, $3^{4}=81$, daß diese vierte Wurzel die Form 2 plus irgendeinem komplizierten Bruch haben wird, etwa um $\textstyle 2+{\frac {1}{4}}$ herum, da $\textstyle 2{\frac {1}{4}}={\frac {9}{4}}$ zur Vierten gleich ist

$\textstyle {\frac {9}{4}}\cdot {\frac {9}{4}}\cdot {\frac {9}{4}}\cdot {\frac {9}{4}}\cdot ={\frac {6561}{256}}=25\cdot 63\dots$

Wir haben also mit unserer rohen Schätzung nicht sehr weit danebengegriffen. Nun haben wir aber Brüche in unendlicher Zahl zur Verfügung und können erwarten, daß wir mit einem Bruch, der ein wenig kleiner als $\textstyle {\frac {9}{4}}$ ist, unsere vierte Wurzel genau treffen werden. Das Ausprobieren würde große Mühe verursachen und uns zudem vielleicht nicht einmal die Sicherheit liefern, daß wir diesen Bruch auch wirklich finden. Haben wir doch, dies sei nochmals betont, unendlich viele Brüche zur Auswahl, deren Nenner auch 200 Stellen haben könnten oder 2000 oder 2.000.000 Stellen. Vielleicht fänden wir den genauen Wert für ${\sqrt[{4}]{25}}$ erst durch einen Bruch, dessen Nenner 10.000 Quintillionen Stellen hat; oder diese Zahl noch multipliziert mit einer Billion Sexlillionen. Es wäre noch immer ein gemeiner Bruch. Und die Stellenzahl des Nenners könnte stets noch weiter und weiter erhöht werden.

Wir müssen also unser Problem allgemein stellen, was nicht schwer ist. Wir wissen, daß es zwei Fälle gibt. Entweder ist bei der n-ten Wurzel von a dieses a gleich pⁿ. Dabei sollen a und p ganze positive Zahlen sein. Oder aber unser a liegt zwischen zwei n-ten Potenzen von p.

Also $p^{n}<a<(p+1)^{n}$.

Das $(p+1)$ ist die auf p nächstfolgende ganze Zahl, wie etwa auf 17 die Zahl $(17+1)=18$ folgt. Da wir weiter wissen, daß im n zweiten Fall die ${\sqrt[{n}]{a}}$ ganzzahlig nicht zu gewinnen ist, fragen wir, ob sie durch einen gemeinen Bruch ${}_{s}^{r}$ ausdrdrückbar sei. Dann müßte $\textstyle {\sqrt[{n}]{4}}$ gleich sein $\textstyle {\sqrt[{n}]{({\frac {r}{s}})^{n}}}$ da n dann auch $\textstyle ({\frac {r}{s}})^{\frac {n}{n}}$ gleich wäre $\textstyle ({\frac {r}{s}})^{1}={\frac {r}{s}}$ und damit die Wurzel als gemeiner Bruch berechnet wäre. Es ist selbstverständlich, daß r und s „teilerfremd“ sind, da wir den Bruch auf die einfachste Form gebracht haben.

Wir würden etwa nicht $\textstyle {\frac {24}{15}}$ sondern $\textstyle {\frac {8}{5}}$ als Lösung anschreiben.

Nun müßte, da $\textstyle {\sqrt[{n}]{a}}={\sqrt[{n}]{({\frac {r}{s}})^{n}}}$ ist, natürlich auch a gleich sein $\textstyle ({\frac {r}{s}})^{n}$ da sich nichts ändert, wenn ich die Gleichung $\textstyle {\sqrt[{n}]{a}}={\sqrt[{n}]{({\frac {r}{s}})^{n}}}$ mit n potenziere, also $\textstyle ({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=({\sqrt[{n}]{({\frac {r}{s}})^{n}}})^{n}$ anschreibe. Dies ergibt aber $\textstyle a=({\frac {r}{s}})^{n}$.

Zur weiteren Untersuchung muß ich mich daran erinnern, daß a eine ganze Zahl ist. Dies war ja der Ausgangspunkt unserer Untersuchung. Wenn aber a eine ganze Zahl ist, dann muß auch das, was ihr gleich ist, nämlich $\textstyle ({\frac {r}{s}})^{n}$ eine ganze Zahl sein. $\textstyle ({\frac {r}{s}})^{n}$ ist aber weiter gleich $\textstyle ({\frac {r}{s}})^{n}$ $\textstyle {\frac {r^{n}}{s^{n}}}$

Und r und s sind teilerfremd. Wenn aber Zähler und Nenner teilcrfremd sind, kann ich beide solange potenzieren als ich will und sie können nie ein gemeinsames Maß erhalten, da dadurch weder im Zähler noch im Nenner ein neuer Faktor hinzutritt. Potenziere ich etwa $\textstyle {\frac {3}{5}}$, dann erhalle ich

$\textstyle {\frac {3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\dots \dots {\text{ins Unendliche}}}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\dots \dots {\text{ins Unendliche}}}}$

Somit bleiben auch die n-ten (beliebigen) Potenzen teilerfremder Zalden zueinander teilerfremd. Und teilerfremde Zahlen, durcheinander dividiert, können niemals eine ganze Zahl ergeben, also kann unser a niemals $\textstyle ({\frac {r}{s}})^{n}$ sein, solange die Bedingung der Ganzzahligkeit von a aufrechterhalten wird.

Unser Ergebnis ist geradezu erschreckend. Denn es sagt nicht weniger, als daß ich trotz unendlicher Menge der zwischen den ganzen Zahlen liegenden Brüche keinen gemeinen Bruch finden kann, der es uns ermöglicht, etwa das Ergebnis von ${\sqrt[{4}]{25}}$ auszudrücken. Es gibt, da aber dieses ${\sqrt[{4}]{25}}$ doch irgendein Resultat liefern muß, dem wir ja mit $\textstyle 2{\frac {1}{4}}$ schon sehr nahe waren, anscheinend außer den ganzen und gebrochenen Zahlen noch einen anderen Typus von Zahlen, der sich in einer unendlichen Kleinheit zweiter, höherer (oder tieferer) Ordnung zwischen die Brüche schiebt. Dazu haben wir noch gewähnt, daß die Brüche alle Zwischenräume zwischen den ganzen Zahlen ausfüllen.

Unser Ergebnis ist, wie die Griechen seit Pythagoras sagten, „alogos“, unaussprechlich, unsinnig. Es widerspricht der Vernunft, der „ratio“.

(Die Ableitung des Irrationalen von ratio im Sinne von „richtigem Verhältnis“ wird beim Begriff des Inkommensurablen abgehandelt werden.)

Und wir nennen diese neuen mysteriösen Zahlen, von denen wir noch nicht einmal wissen, wie wir sie schreiben sollen, die „irrationalen“, die nicht rationalen Zahlen.

Wie aber drücke ich nun diese unausdrückbaren Zahlenmonstren, diese sonderbaren Zwischenzahlen aus, wenn mir sowohl ihre Schreibung als Bruch wie als ganze Zahl verwehrt ist?

Ich finde etwa für ${\sqrt[{4}]{25}}$ nach logarithmischer Ausrechnung den Wert 2,23606...

Die Punkte sollen andeuten, daß damit die Rechnung in keiner Weise abgeschlossen ist. Für eine andere „irrationale“ Zahl, die sogenannte Kreiszahl $\pi$ hat Leibniz eine Rechenregel angegeben, die besagt, daß man ${\frac {\pi }{4}}$ durch folgende Reihe finden könne:

$\textstyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+$$\textstyle {\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+$$\textstyle {\frac {1}{13}}-$$\textstyle {\frac {1}{15}}+$$\textstyle {\frac {1}{17}}-$$\textstyle {\frac {1}{19}}\dots$.

Das heißt ${\frac {\pi }{4}}$ wäre erst ausgedrückt, wenn ich diese Reihe bis ins Unendliche berechnet hätte. Ich kann also beliebig genau, niemals jedoch zu Ende rechnen.

Wir sehen schon jetzt zwei Möglichkeiten, irrationale Zahlen auszudrücken, die in Wahrheit auf ein und dasselbe hinauslaufen. Nämlich die Schreibung in Form von Dezimalbrüchen und die Schreibung in Form unendlicher Reihen, die, wie die „Leihniz-Reihe“ zeigt, auch Addition und Subtraktion mischen können, was man „alternierende“ Reihen nennt.

Nun wollen wir uns aber mit der sehr schwierigen Lehre von den Reihen noch nicht näher beschäftigen, sondern sie nur so weit durchforschen, als sie uns zur Bewahrheitung unserer Behauptung dient, daß beide Schreibweisen für Irrationalzahlen eigentlich auf demselben Prinzip, nämlich eben auf der Darstellung unendlicher Reihen, beruhen. Zur Prüfbarkeit der Leibniz-Reihe wird jetzt schon angeführt, daß die Kreiszahl $\pi$, dezimal geschrieben, 3,141 592 653 589 793... beträgt. Eine andere bekannte irrationale Zahl wäre etwa noch die Basis der natürlichen Logarithmen, genannt die „Zahl e“, die als Reihe in der Form:

$\textstyle 2=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+$$\textstyle {\frac {1}{4!}}+\dots$ und als Dezimalzahl in der Form

e = 2,718 281 828 459 045 235 36...

dargestellt wird.

Nun macht uns unser Widersacher mit Recht aufmerksam, daß wir von Dezimalbrüchen überhaupt noch nicht gesprochen haben, folglich unter der Bedingung voller Voraussctzungslosigkeit gar kein Recht besitzen, Dezimalbrüche anzuschreiben. Weiters werden uns begabtere und aufmerksamere Leser sofort einwerfen, daß es ja auch genug Fälle gebe, in denen eine gewöhnliche Division, wie man sagt, nicht „aufgehe“. Hier muß etwas nicht stimmen. Denn die Division irgendwelcher ganzer Zahlen ist ja nichts anderes als ein horizontal unter Verwendung des Doppelpunktes als Befehl angeschriebener gemeiner Bruch. Und wir haben behauptet, daß gemeine Brüche und Irrationalzahlen zueinander geradezu gegensätzlich seien; und daß die Irrationalzahlen „zwischen“ den nächstbenachbarten gemeinen Brüchen (oder Divisionen) lägen. Und wir haben weiter so getan, als ob Irrationalzahlen erst durch die lytische Operation des Wurzelziehens entstehen würden, wo man doch wisse, daß etwa 20:6 oder $\textstyle {\frac {20}{6}}$ ebenfalls solch eine Irrationalzahl, nämlich $3{,}33333333\dots$ oder $3{,}{\overline {3}}$ (drei periodisch) oder

$\textstyle 3+{\frac {3}{10}}+{\frac {3}{100}}+{\frac {3}{1.000}}+$$\textstyle {\frac {3}{10.000}}+{\frac {3}{100.000}}+{\frac {3}{1.000.000}}+$$\dots$ als Ergebnis liefern.

Wir sind für diese Einwürfe äußerst dankbar. Denn es ist eine auffallende Tatsache, daß sich selbst gute Rechner und Menscheu mit Gymnasialbildung in diesen Unterschieden nicht zurechtfinden, ja, daß sie nicht einmal darüber nachgedacht haben oder daß sie nicht entsprechend darauf hingewiesen worden sind. Daß ein gemeiner Bruch von einer Irrationalzahl verschieden ist, sieht jeder ein. Denn der gemeine Bruch ist abgeschlossen, fertig, vollendet; während die Irrationalzahl nie als Zahl, sondern stets nur als unendlicher, nie abzuschließender Prozeß, als Rechenregel, als Bildungsgesetz, als Reihe darzustellen ist. Man könnte daher auch die ganze und die gebrochene Zahl als statische Zahl, die Irrationalzahl, der Schreibung gemäß, als dynamische Zahl bezeichnen. Sie ist keine Größe, sondern eine Richtung nach einer Größe hin, wiewohl wir sie stets zum Teil unanfechtbar statisch machen können. Und dies, soweit wir wollen.

Wenn wir bei ${\sqrt[{4}]{25}}$ nur wissen wollen, wie groß diese Wurzel auf drei 4 Dezimalstellen ist, dann ist ${\sqrt[{4}]{25}}$ eben 2,236. Wollen wir aber wissen, wie groß sie überhaupt ist, dann können wir allerdings keine Antwort geben. Denn wir können nicht unendlich viel Dezimalstellen anschreiben. Das können wir aber doch auch bei 3,333333... (periodisch) nicht ausführen? Auch diese Zahl können wir nie vollenden. Gewiß! Nämlich als Dezimalbruch ist es unmöglich. Wohl ist die Vollendung aber als gemeiner Bruch in diesem Fall möglich. 3,3333... (periodisch) ist ja nichts anderes als $\textstyle {\frac {20}{6}}$ oder $\textstyle {\frac {10}{3}}$ oder $\textstyle 10\cdot {\frac {1}{3}}$.

In dieser Schreibung gibt es keinen Zweifel. Und ich kann auf der Zahlenlinie mit dem Finger auf die Stelle zeigen, wo dieses $\textstyle 10\cdot {\frac {1}{3}}$ liegt. Nämlich $\textstyle {\frac {1}{3}}$ nach 3. Denn $\textstyle {\frac {10}{3}}$ ist auch $\textstyle 3+{\frac {1}{3}}$ oder $\textstyle 3{\frac {1}{3}}$.

Die ${\sqrt[{4}]{25}}$ aber, dieses 2,236 finde ich nicht einmal mit einem überirdischen Mikroskop auf der Zahlenlinie. Selbst dann nicht, wenn ich die gemeinen Brüche wüßte, zwischen denen es liegt. Denn es liegt dort irgendwo in einer unendlichen Menge von anderen Irrationalzahlen. Das erscheint sehr mystisch. Wir haben aber leider in unserem Rahmen nicht die Möglichkeit, diese höchst aufregende Angelegenheit restlos zu klären.

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