Conjuntos numéricos/Los números algebraicos

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Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma:

Donde:

, es el grado del polinomio.
, los coeficientes del polinomio son números racionales.

Proposición[editar]

Un número algebraico ξ satisface la raíz de un polinómio mónico e irreducible único h(x) = 0 sobre ℚ. Además toda ecuación polinomia sobre ℚ satisfecha por ξ es divisible por h(x). [1].

Definiciones[editar]

  1. La ecuación mínima de un número algebraico ξ es la ecuación h(x) = 0 de la proposición anterior [2].
  2. El polinomio mínimo de ξ es h(x), ya mencionado[3].
  3. El grado' de un número algebraico es el grado de su polinomio mínimo [4].

Entero algebraico[editar]

Un número algebraico es ξ es un entero algebraico si satisface alguna ecuación polinómica del tipo:


con coeficientes enteros[5].

Las raíces quintas de la unidad, esto es, las ráices de la ecuación x5 - 1 = 0 son enteros algebraicos. Entre los números racionales, los únicos que son enteros algebraicos son los enteros 0, ±1, ±2, ±3, ...

Sistemas algebraicos[editar]

En principio si α y β son números algebraicos, lo son α + β y αβ. Si ξ y η son enteros algebraicos, lo son ξ + η y ξη.

El conjunto de todos los números algebraicos forma un campo. La clase de todos los enteros algebraicos constituye un anillo[6].


  1. Introducción a la teoría de números algebraicos (1985): Niven Zuckerman ISBN 968-18-0669-7 pg. 189
  2. Ibídem, pg. 190
  3. Ibídem
  4. Ibídem
  5. Ibídem
  6. Ibídem, pg. 192