Matemáticas/Cálculo en una variable/Límites

Introducción

Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite.

Es preferible comenzar con una función f(x) = x². Sabemos que f(2) = 4.Sin embargo seamos un poco más ingeniosos y creemos un "hueco" en x = 2. Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así

$f(x)={\frac {x^{2}(x-2)}{x-2}}$

Esta última función es igual a $x^{2}$ en toda función la parte o las partes excepto por x=2 donde no existe. Ahora, un hecho curioso es que cuando x se acerca más a 2, entonces f(x) se acerca más a 4. Esto es un hecho útil y podemos expresarlo en símbolos como

$\qquad \lim _{x\to 2}f(x)=4$

Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puede hablar acerca de cómo se comporta una función cuando se hace más y más cercana a un valor, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Ahora usando variables podemos decir que L es el límite de una función f(x) cuando a x se aproxima a c si f(x) ≈ L cuando x ≈ c.

Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo expresamos algebraicamente como sigue

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

Intuitivamente, el límite L es simplemente el número al que f(x) se hace más y más cercana cuando x se aproxima a c, pero f(c) no necesita estar definido.

Esta idea de hablar acerca de una función cuando se aproxima a algo fue un descubrimiento importante, porque permite hablar de cosas de las que antes no se hubiera podido. Por ejemplo, consideremos una función 1/x. Cuando x se hace muy grande, 1/x se hace muy pequeña, más y más cercano a cero, cuanto más grande se haga x. Sin los límites es muy difícil hablar de este hecho, porque 1/x nunca llega realmente a ser cero. Pero el lenguaje de los límites existe precisamente para permitirnos hablar acerca del comportamiento de una función cuando ésta se aproxima a algo, sin preocuparnos acerca de que nunca llegará allí. Así que podemos decir

$\qquad \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0$

Aplicación al cálculo de la velocidad instantánea

Para ver el poder del límite, vayamos atrás al ejemplo del auto en movimiento del que hablamos en la introducción. Suponga que tenemos un auto cuya posición es lineal con el tiempo. Queremos encontrar la velocidad. Esto es fácil de hacer desde el álgebra, simplemente tomamos la inclinación de la recta distancia contra tiempo para este auto y esta es nuestra velocidad.

Pero desafortunadamente (o tal vez afortunadamente si usted es un profesor de cálculo), las cosas en el mundo real no siempre viajan en agradables líneas rectas. Los carros aceleran, desaceleran, y generalmente se comportan en formas que hacen difícil calcular sus velocidades. (Figura 2).

Ahora lo que realmente queremos es encontrar la velocidad en un momento dado. (Figura 3). El problema es que para encontrar la velocidad necesitamos dos puntos, mientras que en cualquier tiempo dado, sólo tenemos un punto. Podemos, por supuesto, encontrar siempre la velocidad promedio del auto, dados dos puntos en el tiempo, pero queremos encontrar la velocidad del auto en un momento preciso.

Acá es donde el truco básico del cálculo diferencial entra. Elegimos un par de puntos en nuestra gráfica de posición contra tiempo, uno en donde queremos hallar la velocidad instantánea y otro en cualquier otro sitio y luego trazamos una línea entre ellos. Empezamos a acercar cada vez más y más este último punto al primero y a trazar sucesivas líneas, entre ellos. En la medida en que los puntos se hacen más cercanos, la pendiente de la línea se acerca a la velocidad instantánea.

Definición formal de límite

La definición formal de límite ha tenido tradición de ser algo complicada para los estudiantes que la ven por primera vez. Vamos a presentarla primero y luego veremos detalladamente qué es lo que nos dicen en forma tan sucinta.

Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L o

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que, para todo x, si 0 < |x - c| < δ, entonces |f(x) - L| < ε

Miremos en principio las normas o valores absolutos de la anterior expresión. Sobre la recta real, un valor absoluto de un número es la diferencia entre este número (ya sea positivo o negativo) y el origen. -3 está a tres unidades de distancia de cero, por tanto |-3| = 3. De modo análogo, el valor absoluto de una resta corresponde a la distancia entre los dos números involucrados en ella. Démonos cuenta que ε y δ en la definición anterior nos delimitan la distancia tanto entre los valores de f(x) y L, como entre los de c y x.

Es decir, una vez escogida una distancia entre x y c menor que δ pero mayor que cero (pues c se acerca a x pero no lo alcanza), podemos garantizar que la distancia entre f(x) y L es menor a ε Independientemente del ε elegido.

Límites laterales

Obsérvese que sobre la recta real estamos en condiciones de acercarnos a una valor particular de x bien sea por valores más grandes (a la derecha) o por valores más pequeños (a la izquierda). Debido a que existen funciones que no se comportan del mismo modo a la izquierda y a la derecha de un valor dado, el concepto de límite lateral puede ayudarnos a dilucidar este tipo de comportamiento. Consideremos por ejemplo la función parte entera de x o escalón unitario (usada frecuentemente para exponer la idea de límites laterales), denotada por E(x) y que se define de la siguiente forma

E(x) = [x], donde [x] es el mayor [[:m:w:es:N%FAmero_entero|número entero]] inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Función piso.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Consideremos ahora un valor entero particular, por ejemplo 1. En la medida en que nos acercamos a 1 por la izquierda nos damos cuenta que los sucesivos valores de E(x) son iguales a cero, y en la medida en que nos acercamos a 1 por la derecha los valores son iguales a uno. La idea de acercarnos sucesivamente a un valor es la que introduce la noción de límite lateral. A continuación introduciremos las nociones formales de los límites laterales por izquierda y por derecha.

Límite por la derecha

El límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=L$

Límite por la izquierda

El límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L$

TEOREMA Existe el límite si y solo si los dos límites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden

Nota:aunque también es válido si consideramos que el límite vale +∞ o -∞ en lugar de 1.

Teoremas fundamentales sobre límites

Sean f y g funciones con límites en c, n un número entero y k una constante. Se tiene entonces que:

• El límite de una constante es la constante:

$\lim _{x\to c}k=k$

• $\lim _{x\to c}x=c$

• El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:

$\lim _{x\to c}kf(x)=k\lim _{x\to c}f(x)$

• El límite de una suma es igual a la suma de los límites:

$\lim _{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=\lim _{x\to c}f(x)\pm \lim _{x\to c}g(x)$

• El límite de un producto es igual al producto de los límites:

$\lim _{x\to c}[f(x)\cdot g(x)]=[\lim _{x\to c}f(x)]\cdot [\lim _{x\to c}g(x)]$

• El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero.

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim _{x\to c}f(x)}{\lim _{x\to c}g(x)}}$, siempre y cuando $\lim _{x\to c}g(x)\neq 0$

• El límite de la potencia enésima de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:

$\lim _{x\to c}[f(x)]^{n}=[\lim _{x\to c}f(x)]^{n}$

• El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función:

$\lim _{x\to c}{\sqrt[{n}]{f(x)}}={\sqrt[{n}]{\lim _{x\to c}f(x)}}$

Demostraciones

Teorema de la suma de límites

Debemos verificar que:

(1) $\lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=\,L_{1}+L_{2}\,$

Siendo:

$\lim _{x\to c}f(x)=\,L_{1}\,;\lim _{x\to c}g(x)=\,L_{2}\,$

Por lo tanto, según la definición de límite, tiene que haber un $\delta \,$ para todo $\epsilon \,$ tal que:

(2) $0<|x-c|<\delta \longrightarrow |(f(x)+g(x))-(L_{1}+L_{2})|<\epsilon$

Entonces, tomando en $f(x)\,$ y $g(x)\,$ sus límites para $x\,$ tendiendo a $c\,$, tomamos un ${\frac {\epsilon }{2}}$, tal que:

$0<|x-c|<\delta _{1}\longrightarrow |f(x)-L_{1}|<{\frac {\epsilon }{2}}$

y

$0<|x-c|<\delta _{2}\longrightarrow |g(x)-L_{2}|<{\frac {\epsilon }{2}}$

Si ahora tomamos un $\delta \,$ mínimo para $\delta _{1}\,$ y $\delta _{2}\,$, es decir, $\delta \leq \delta _{1};\delta \leq \delta _{2}$, entonces:

(3) $0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L_{1}|<{\frac {\epsilon }{2}}$

y

(4) $0<|x-c|<\delta \longrightarrow |g(x)-L_{2}|<{\frac {\epsilon }{2}}$

Por lo tanto, para todo $0<|x-c|<\delta \,$ luego:

$|(f(x)+g(x))-(L_{1}+L_{2})|=|(f(x)-L_{1})+(g(x)-L_{2})|\,$

Usando desigualdad triangular:

$|(f(x)+g(x))-(L_{1}+L_{2})|\leq |(f(x)-L_{1})|+|(g(x)-L_{2})|\,$

Reemplazando por (3)

y (4)

$|(f(x)+g(x))-(L_{1}+L_{2})|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}},$

Es decir:

$|(f(x)+g(x))-(L_{1}+L_{2})|<\epsilon$

Lo que demuestra (2)

, es decir, hay un $\delta \,$ para todo $\epsilon \,$ tal que:

$0<|x-c|<\delta \longrightarrow |(f(x)+g(x))-(L_{1}+L_{2})|<\epsilon$

Que según (1)

verifica que:

$\lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=\,L_{1}+L_{2}\,$

Es decir:

$\lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=\,\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)\,$

El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites.

Teorema del Sandwich (Teorema del Emparedado o Teorema del Encaje)

El teorema de intercalación, más coloquialmente llamado teorema del emparedado, es útil cuando queremos hallar el límite de una función que se encuentra "confinada" por dos funciones que ya conocemos.

Si $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ y $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$, entonces $\lim _{x\to c}g(x)=L$

Límites de funciones trigonométricas

Demostración del límite de sen(x)/x cuando x tiende a 0

Considerese que, un entorno reducido de 0, $\sin(x)\leq x\leq \tan(x)$

Si dividimos todos los miembros por $\sin(x)$ nos queda ${\frac {\sin(x)}{\sin(x)}}\leq {\frac {x}{\sin(x)}}\leq {\frac {\tan(x)}{\sin(x)}}$

Pero ${\frac {\sin(x)}{\sin(x)}}=1$ y ${\frac {\tan(x)}{\sin(x)}}={\frac {\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}{\sin(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}$

Invirtiendo cada miembro nos queda esta expresión que es totalmente indeterminada $1\geq {\frac {\sin(x)}{x}}\geq \cos(x)$

Si hallamos el $\lim _{x\to 0}$ de cada miembro, nos queda $\lim _{x\to 0}1\geq \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}\geq \lim _{x\to 0}\cos(x)$

Y como ✓ $\lim _{x\to 0}1=1$ y $\lim _{x\to 0}\cos(x)=1$, por Teorema del Encaje nos queda que $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Antropología matemàtica¶

TEOREMA DEL ENCAGE¶ $\lim _{x\to 0}frac{\sin(x)}{x}=1$✓

Límites infinitos

Considere simplemente los valores de 0,1,2,3,4,5 .... permitiendo de esta manera que crece o decrece pero sin dejar atrás la definición de límite entonces en conclusión se podría determinar que la función se acercaría al límite por un infinito de números pero nunca tocando el límite

Definición 1

Sea f una función que está definida en todo número de algún intervalo abierto (a,+∞). El límite de f(x) cuando x crece sin límite, es L lo que se escribe como:

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=L$

Definición 2

Sea f una función que está definida en todo número de algún intervalo abierto(-∞,a). El limite de f(x) cuando x decrece sin límite, es L, lo que se escribe como

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$

Teorema

Sea n cualquier entero positivo, entonces

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0$

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0$

Límites al infinito

Se trata ahora de calcular cuál es el valor, en caso de que exista y sea finito, al que se acerca una sucesión según vamos avanzando términos. Usaremos un ejemplo muy ilustrativo para introducir esta. Considérese la siguiente sucesión:

$a_{n}={\frac {1}{n}}$

Si escribimos algunos términos, nos haremos rápidamente una idea de hacia qué valor real se acercan los mismos:

$a_{1}=1,a_{2}={\frac {1}{2}}=0.5,a_{3}={\frac {1}{3}}=0.33333...,a_{4}={\frac {1}{4}}=0.25,a_{5}={\frac {1}{5}}=0.2,...$

Como podemos comprobar, los términos se van haciendo cada vez menores, por lo que es de esperar que, de existir realmente un último término de la sucesión, éste sería 0. Esto nos da una idea intuitiva de lo que significa el límite de una sucesión cuando tiende a infinito; ésto es, aventurar de algún modo a qué valor se acercan los términos de la sucesión según vamos avanzando sobre la misma.

Con la sucesión anterior, podemos escribir $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$, y de hecho, nos podemos tomar la siguiente licencia: $\lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{\infty }}=0$.

Dar una prueba para esta igualdad es algo complicado, pero podemos ilustrarlo con el siguiente ejemplo:

Supongamos que disponemos de una barra de pan y con ella debemos alimentar a toda la población de China. La pregunta es cuánto pan corresponde a cada persona.

Si tenemos en cuenta la cantidad de chinos que hay, habremos de realizar fracciones muy microscópicas de pan, porciones casi moleculares que en ningún caso supondrán alimento alguno, por lo que podemos decir que a cada chino le toca cero pan. La idea es que al dividir una cantidad por otra inmensamente mayor, el resultado es inmensamente diminuto; por lo que dividir una cantidad por infinito, que vendría a ser el mayor de todos los valores, nos da el menor de todos ellos, que es cero.

Es importante de cara al cálculo de límites al infinito tener en mente algunas igualdades que implican al infinito. Debemos, además, recordar siempre que infinito no es un número, sinó un concepto. Nos referimos a infinito como aquello que es inabarcable o inabastable, pero mediante un inofensivo abuso de lenguaje podemos valernos de él para efectuar operaciones:

${\frac {k}{\infty }}=0$, $\forall k\neq \infty$

${\frac {k}{0}}=\infty$, $\forall k\neq 0$

$\infty \pm k=\infty$, $\forall k\in \mathbb {R}$

$\infty +\infty =\infty$

$\infty \cdot \infty =\infty$

-Por completar-

Límites especiales

Ejemplo 1.

Hallar el límite de ${\frac {{\sqrt[{5}]{x^{3}+x^{2}-4}}-{\sqrt[{3}]{x^{2}+x-4}}}{x-3}}$ cuando x tiende a 3, usando el método de eliminación de irracionalidades.

Para x = 3 sale una indeterminación $(2-2)/0=0/0$

El primer radical lo convertimos en (x³+x² -4-2⁵)/(5·2⁴)= A, y el segundo radical en (x²+x-4-2³)/(3·2²)= B

Restando las fracciones A y B resulta (3x³-7x²-10x+12)/240; factorizando se obtiene (x-3)(3x²+2x-4)/240; luego combinando con el denominador original (x-3) se tiene

(x-3)(3x²+2x-4)/240(x-3) simplificando , aparece (3x²+2x-4)/240, tomando límite cuando x tiende a 3 , sale

$L=29/240$

Ejemplo 2.

Hallar el límite de ${\sqrt[{}]{x^{5}+3x^{4}-8}}-x$, cuando x tiende a infinito, sale una indeterminación infinito -infinito.Eliminando irracionalidades

(x⁵+3x⁴-8-x⁵)/5·x⁴ simplificando

(3x⁴-8)/5x⁴, cuyo límite cuando x tiende a infinito es

$L=3/5$

Teorema de la eliminación de irracionalidades

Caso 1. c finito

Si límite de ${\sqrt[{n}]{f(x)}}$ es L cuando x tiende a c, equivale a límite de(f(x)-Lⁿ)/n·L^n-1, cuando c se aproxima a c. . Esta equivalencia lógico-matemática permite operar solo con expresiones racionales.

Caso 2. El punto c es infinito

Sea el caso, calcular el límite de ${\sqrt[{n}]{f(x)}}$ - g(x), cuando x tiende a infinito; se admiten que f y g son funciones algebraicas o, en en le mejor de los casos, polinómicas, que además tienden a infinito. Resulta la indeterminación infinito - infinito.Se supone que dicho límite de la diferencia existe y es igual a $L$

En este caso, es lo mismo hallar el límite de [$f(x)-(g(x))^{n}$]/n(g(x))^n-1 y se obtiene el límite $L$, que aún puede ser infinito

Indeterminaciones

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

$\infty -\infty ,\quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad \infty \cdot 0,\quad {\frac {0}{0}},\quad \infty ^{0},\quad 1^{\infty },\quad 0^{0}$

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cuál puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de l'Hôpital.

Ejemplos

Un ejemplo de indeterminación del tipo $\textstyle {\frac {0}{0}}$ es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{t}}=\infty$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}1=1$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}{t}=0$

Un ejemplo de indeterminación $\textstyle {\frac {0}{0}}$ que se resuelve aplicando el límite fundamental $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\operatorname {sen} x}{x}}=1$ es

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\operatorname {sen}(kx)}{x}}$

límite que se resuelve si se multiplica y divide por k:

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\operatorname {sen}(kx)}{x}}=\lim _{x\rightarrow 0}\left[{\frac {\operatorname {sen}(kx)}{x}}\cdot {\frac {k}{k}}\right]=k\cdot \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\operatorname {sen}(kx)}{kx}}=k.1=k$

$\therefore \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\operatorname {sen}(kx)}{x}}=k$

Supongamos otro caso que contenga indeterminaciones con funciones trigonométricas como:

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}$

En este caso, la indeterminación se "salva" mediante los siguientes artificios algebraicos:

${\begin{matrix}\ &{\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {1-\cos x}{x}}&=&{\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\frac {1-\cos x}{x}}\cdot {\frac {1+\cos x}{1+\cos x}}\right)&=&{\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {1-{\cos }^{2}x}{x\left(1+\cos x\right)}}&=\\=&{\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {{\operatorname {sen} }^{2}x}{x\left(1+\cos x\right)}}&=&{\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\operatorname {sen} x\operatorname {sen} x}{x\left(1+\cos x\right)}}&=&{\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\operatorname {sen} x}{x\left(1+\cos x\right)}}\cdot {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\operatorname {sen} x&=\\=&{\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\frac {\operatorname {sen} x}{x}}\cdot {\frac {1}{1+\cos x}}\right)\cdot 0&=&{\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\operatorname {sen} x}{x}}\cdot {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {1}{1+\cos x}}\cdot 0&=&1\cdot {\frac {1}{1+\cos 0}}\cdot 0&=\\\end{matrix}}$

$=1\cdot {\frac {1}{1+1}}\cdot 0=0\quad \therefore \,\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$

En este caso:

1. Se multiplicó y se dividió por el término $1+\cos x$, operación válida puesto que una fracción con igual numerador y denominador es el elemento neutro en la multiplicación (uno);
2. Se multiplicaron las dos fracciones, aplicando diferencia de cuadrados en el numerador;
3. Se reemplazó según la identidad trigonométrica pitagórica ${\operatorname {sen} }^{2}+{\cos }^{2}=1$;
4. Se separó la potencia y luego
5. se "extrajo" uno de los factores a otro límite, operación que es válida por propiedades del límite para la multiplicación;
6. Se expresó convenientemente el límite que poseía la indeterminación y se evaluó $\lim _{x\rightarrow 0}\operatorname {sen} x=0$;
7. Se separó la indeterminación y
8. se evaluó el límite. Se efectúa el cálculo aritmético y se obtiene cero.

Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales una [[:m:w:es:Funci%F3n_matem%E1tica|función]] se aproxima indefinidamente, cuando x o f(x) tienden al infinito.

Usando la notación de límite para describir asíntotas

Ahora considere la función

$g(x)={\frac {1}{x}}.$

Cuál es el límite cuando x se aproxima a cero? El valor de $g(0)$ no existe puesto que

$\qquad g(0)={\frac {1}{0}}$

no está definido

Pero es intuitivamente claro que podemos hacer la función g tan grande como queramos, escogiendo un x suficientemente pequeño. Por ejemplo para hacer $g(x)$ igual a un millón, escogemos que x sea 10^-6. En este caso decimos que podemos hacer g(x) arbitrariamente grande (tan grande como queramos) tomando un x que sea suficientemente cercano a cero, pero no igual y expresamos esto algebraicamente como sigue:

$\lim _{x\to 0^{+}}g(x)=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$

Note que hemos usado la notación de límite por derecha, ya que el límite, propiamente dicho no existe de hecho en x = 0 (dado que el límite por la derecha y por la izquierda son distintos).

De igual manera podemos considerar que en la medida en que x se hace más y más grande g(x) tiende a cero, pero nunca lo alcanza. Esto nos permite introducir la noción de asíntotas horizontales y verticales.

Asíntota Vertical

Una asíntota vertical se da en x = c, para una función f(x) siempre que:

1. $\lim _{x\to c^{-}}f(x)=\pm \infty$
2. $\lim _{x\to c^{+}}f(x)=\pm \infty$

Vale la pena hacer énfasis en que en c el límite la función puede ser o bien infinito positivo o bien infinito negativo (cualquiera de ellos, pero no ambos), para que tengamos una asíntota vertical y que esto se puede cumplir cuando nos acercamos a c bien sea por la izquierda (primer caso) o bien por la derecha (segundo caso).

Asíntota Horizontal

Una asíntota horizontal es la recta $y=b$ y se tiene siempre que:

1. $\lim _{x\to \infty }f(x)=b$
2. $\lim _{x\to -\infty }f(x)=b$

Continuidad de una función

En un punto

Ahora estamos listos para una definición formal de continuidad, que fue introducida en nuestra revisión de funciones. La definición es simple: f(x) es continua en c si y sólo si

Definición de Continuidad $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$

Note que la función o el límite o ambos podrían no estar definidos en c, en cuyo caso la ecuación no sería cierta, y por tanto f no es continua en c.

Sean f y g funciones continuas en los reales. Los siguientes teoremas se cumplirán:

Teorema 1

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ es continua en todos los reales.

Teorema 2

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ es continua en todos los reales.

Teorema 3

$(f*g)(x)=f(x)*g(x)$ es continua en todos los reales.

Teorema 4

$(f/g)(x)=f(x)/g(x)$ es continua en los reales, mientras g sea diferente de 0.

Teorema 5

$(gof)(x)=g(f(x))$ que es la composición de funciones, es continua en los reales.

Ejemplo

Con $f(x)=x^{2}$, $g(x)=e^{x}$ tendremos que $(f+g)(x)=x^{2}+e^{x}$, $(fog)(x)=f(e^{x})=(e^{x})^{2}$ son continuas.

En intervalos abiertos y cerrados

INTERVALO ABIERTO

Se dice que una función es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continua en cada número del intervalo abierto

INTERVALO CERRADO

Se dice que una función, cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [a.b], es continua en el intervalo cerrado [a,b] si y solo si es continua en el intervalo (a,b), así como continúa por la derecha en a y continua por la izquierda en b.

Discontinuidades

Una discontinuidad es un punto donde una función no es continua. Por ejemplo, la función $f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}$ se considera que tiene una discontinuidad removible en $x=3$.

¿Por qué la llamamos 'removible'? Porque, si modificamos la función ligeramente, podemos eliminar la discontinuidad y hacer la función continua. En particular, podemos dividir la función para obtener $f(x)=x+3$, excepto en $x=3$. Si hacemos que f(x) sea 6 en ese punto, obtenemos la función continua:

$g(x)=\left\{{\begin{matrix}x+3,&{\mbox{si }}x\neq 3\\6,&{\mbox{si }}x=3\end{matrix}}\right.$

Pero x + 3 = 6 para x = 3, y así podemos simplificar la función a g(x) = x + 3. (Esta no es la misma que la función original, en la cual hay un punto extra en (3,6)). Así el límite en x = 3 es 6. De hecho, esta clase de simplificación es siempre posible con una discontinuidad removible en una función racional. Cuando el denominador es cero, podemos redefinir la función para obtener una función que es igual a la anterior, salvo por los nuevos puntos, donde previamente teníamos una división por 0. Y arriba se probó que el límite de esta función (puesto que es continua) es igual al límite de la función antigua.

Encontrando límites

Ahora nos concentraremos en encontrar los límites, en lugar de probarlos. En las pruebas anteriores, empezamos con el valor del límite. ¿Cómo encontramos ese límite para empezar nuestras pruebas?

Primero, si la función es continua en un punto particular c, el límite es simplemente el valor de la función en c, debido a la definición de continuidad. Todas las funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales son continuas sobre sus dominios.

Si la función no es continua en c, entonces en muchos casos (como con las funciones racionales) la función es continua alrededor, pero es discontinua en un punto aislado. En este caso, queremos encontrar una función similar, excepto que el "agujero" que antes representaba la discontinuidad ahora está "relleno". El límite de esta función en c será el mismo, como puede ser visto de la definición de límite. La función es la misma que la anterior excepto en el punto c. La definición de límite depende de f(x) sólo en los puntos donde 0 < |x - c| < δ. Cuando x c, la desigualdad es falsa, y así el límite en c no depende del valor de la función en c. Por tanto, el límite es el mismo. Y puesto que nuestra nueva función es continua, ahora podemos sólo evaluar la función en c como antes.

Finalmente, note que nuestro límite podría no existir del todo. Hay muchas formas en que esto puede ocurrir:

"Hueco": Hay un hueco (de más de un punto de ancho) en la función donde ésta no está definida. Por ejemplo, en:

$f(x)={\sqrt {x^{2}-16}}$

f (x) no tiene ningún límite cuando -4 ≤ x ≤ 4. No hay manera de "aproximarse" al medio del gráfico. Nótese que la función no tiene límites en los extremos de las dos curvas generadas (en x = -4 y x = 4). Para que exista un límite, el punto debe ser aproximable desde ambos derecha e izquierda. Nótese también que no existe límite en un punto completamente aislado de un gráfico.

"Salto": Se sigue de nuestra discusión previa que si el gráfico salta de repente a un nivel diferente (creando una discontinuidad), el límite no existe. Esto se ilustra con la función escalón unitario (en la cual el valor de la salida es el entero más grande no mayor al valor de entrada).

Asíntota: En

$f(x)={1 \over x^{2}}$

La gráfica se hace arbitrariamente alta cuando 'x' se aproxima a 0. El límite no existe.

Oscilación infinita: Las dos siguientes pueden ser un poco truculentas para visualizar. En ésta, nos referimos a una gráfica que continuamente alcanza puntos arriba y abajo de una línea horizontal. De hecho, hace esto infinitamente en la medida en que nos aproximamos a un cierto valor x. Esto significa a menudo que no hay límite, puesto que el gráfico nunca se establece en un valor particular. Sin embargo, si la altura (y profundidad) de cada oscilación disminuye cuando el gráfico se aproxima al valor x, de modo que las oscilaciones se hagan arbitrariamente pequeñas, entonces podría haber de hecho un límite.

El uso de la oscilación naturalmente trae a la mente las funciones trigonométricas. Un ejemplo simplemente definido de este tipo de límites no existentes es

$f(x)=\sin {1 \over x}.$

En la función seno hay un número infinito de ciclos a medida que el gráfico continúa al infinito. sin(1/x) tomará cualquier valor (1,∞) y devolverá otro entre (0, 1). Aquí tenemos una oscilación infinita sobre un intervalo finito del gráfico.

Gráfica Incompleta: Vamos a considerar dos ejemplos. Primero, siendo f la función constante f(q)=2 definida por un número racional q. Luego, f es continua: sea racional $q_{0}$. Mostramos que f es continua con $q_{0}$. Sea $\delta >0$; entonces si cogemos cualquier $\epsilon >0$, entonces siempre que q sea un número racional dentro de $\epsilon$ de $q_{0}$, tenemos $|f(q_{0})-f(q)|=|2-2|=0<\delta$. Así que f es continua en $q_{0}$.

Ahora Sea g la función de aspecto similar se define en toda la recta real. Dejamos g tomar el valor 2 para la entrada racional y 0 para la entrada de irracional. Ahora g es continua en ninguna parte! Sea, pues, x un número real, se muestra que g no es continua en x. Vamos a δ = 2; entonces, si g se continua en x, no habría un número tal que cada vez que ε y fue un número real a una distancia inferior a ε, tendríamos | g (x) - g (y) | < 1. Pero no importa lo pequeños que hacen ε podemos encontrar un número dentro de ε y de x tal que | g (x) - g (y) | = 2, porque si x es racional, sólo debes elegir y lo irracional y si x es irracional, pick x racional. Por lo tanto g no ser continua en todo número real!

Tenga en cuenta que estos dos ejemplos muestran lo importante que es conseguir que los dominios de las funciones de resolver. f y g tienen gráficos muy similares, pero sus propiedades de continuidad se oponen por completo.

Enlaces

• Online interactive exercises on limits
• Introducción al Cálculo de Límites - Video en español