Cálculo en una variable/Conjunto acotado

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Conjunto acotado superiormente[editar]

Definición: Sea un conjunto de números reales. Decimos que el conjunto está acotado superiormente si existe algún cumpliendo . A este valor lo llamamos Cota superior de S.


Proposición: Si un conjunto tiene una cota superior, esta no es única.

Prueba: Procedamos por reducción al absurdo:

Sea una cota superior de , supongamos que es único. Por ser cota superior, se cumple . Consideremos ahora el conjunto . Puesto que es la única cota superior de , es el mayor de todos los elementos de , y no existe ningún siendo cota superior de , pues de existir, lo sería también de y hemos supuesto que sólo había una cota superior para . Luego no existe cumpliendo ya que de existir, sería cota superior de y hemos dicho que no está acotado superiormente. Pero esto es falso, pues dado un número real cualquiera siempre podemos encontrar otro más grande. Por lo tanto, llegamos a una contradicción, y la cota superior de un conjunto no es única.


Corolario: Dados sendos conjuntos acotado superiormente y finito, los conjuntos y son también acotados superiormente.

Prueba: Para ver que es acotado superiormente, procedemos como sigue: Reiterando el proceso usado en la demostración anterior, construimos los conjuntos del modo siguiente: con , . Los conjuntos sucesivos son acotados superiormente por lo que hemos visto en la demostración anterior. Como es finito, este proceso tiene un final definido, que no es otro que la construcción del conjunto que resulta acotado superiormente por la misma.

En el caso del conjunto , distinguimos dos subcasos:

  • Si existen siendo cota inferior de y cota superior, entonces la demostración es trivial.
  • Si hay algún que es o bien cota superior o bien cota inferior de , reproducimos la construcción de la demostración anterior usando las proposiciones para cota inferior y superior según convenga y resulta acotado superiormente.


Proposición: Todo subconjunto de un conjunto acotado superiormente, es acotado superiormente.

Prueba: Si es cota superior de , se cumple . Por ser , todo elemento lo es tambien de ; y por lo tanto, , luego es acotado superiormente.


Conjunto acotado inferiormente[editar]

Definción: Sea un conjunto de números reales. Decimos que el conjunto está acotado inferiormente si existe algún cumpliendo . A este valor lo llamamos Cota inferior de S.


Proposición: Si un conjunto tiene una cota inferior, esta no es única.

Prueba: Por un procedimiento análogo al usado para cotas superiores, se tiene lo siguiente:

Sea una cota inferior de , supongamos que es único. Por ser cota inferior, se cumple . Consideremos ahora el conjunto . Puesto que es la única cota inferior de , es el menor de todos los elementos de , y no existe ningún siendo cota inferior de , pues de existir, lo sería también de y hemos supuesto que sólo había una cota inferior para . Luego no existe cumpliendo ya que de existir, sería cota inferior de y hemos dicho que no está acotado inferiormente. Pero esto es falso, pues dado un número real cualquiera siempre podemos encontrar otro más pequeño. Por lo tanto, llegamos a una contradicción, y la cota inferior de un conjunto no es única.


Corolario: Dados sendos conjuntos acotado inferiormente y finito, los conjuntos y son también acotados inferiormente.

Prueba: Para ver que es acotado inferiormente, procedemos como sigue: Reiterando el proceso usado en la demostración anterior, construimos los conjuntos del modo siguiente: con , . Los conjuntos sucesivos son acotados inferiormente por lo que hemos visto en la demostración anterior. Como es finito, este proceso tiene un final definido, que no es otro que la construcción del conjunto que resulta acotado inferiormente por la misma.

En el caso del conjunto , distinguimos dos subcasos:

  • Si existen siendo cota inferior de y cota superior, entonces la demostración es trivial.
  • Si hay algún que es o bien cota superior o bien cota inferior de , reproducimos la construcción de la demostración anterior usando las proposiciones para cota inferior y superior según convenga y resulta acotado inferiormente.


Proposición: Todo subconjunto de un conjunto acotado inferiormente, es acotado inferiormente.

Prueba: Si es cota inferior de , se cumple . Por ser , todo elemento lo es tambien de ; y por lo tanto, , luego es acotado inferiormente.


Conjunto acotado[editar]

Definción: Sea una conjunto de números reales. Decimos que el conjunto está acotado si está acotado superior e inferiormente.


Teorema: Todo conjunto finito es acotado.

Prueba: Consideramos el conjunto de la siguiente manera: con por ser finito. Procedemos ahora por inducción sobre para comprobar que todos los conjuntos escritos de esta manera -es decir, finitos- son acotados:

  • Para se tiene que es trivialmente acotado.
  • Supongamos cierto el paso y probemos el caso :

Ahora tenemos que el conjunto C es el siguiente: . Por hipótesis de inducción es acotado, luego es acotado superior e inferiormente. Si ahora unimos con un conjunto que tiene un solo elemento estamos repitiendo la construcción empleada en las demostraciones anteriores, luego este nuevo conjunto es acotado superior e inferiormente y, por tanto, es acotado. Y vemos que todo conjunto finito es acotado.


Proposición: Todo subconjunto de un conjunto acotado, es acotado.

Prueba: Si un conjunto es acotado, es acotado superior e inferiormente. Luego está contenido a la vez en un conjunto acotado superiormente y en un conjunto acotado inferiormente. Si tomamos la intersección de estos dos conjuntos, obtenemos un conjunto acotado que contiene al conjunto incial.


Ejemplos[editar]

El conjunto está acotado inferiormente por 0.

El conjunto está acotado superiormente por 0.

El conjunto está acotado.

El conjunto está acotado (siendo 1 una cota superior y 0 una cota inferior) pero no es finito, lo cual indica que el recíproco del Teorema anterior no es cierto.