Aritmética/Propiedades de la División/Divisibilidad

La divisibilidad en las matemáticas se refiere a la propiedad de los números enteros (números sin decimales) de dividirse por otro número entero y que su resultado sea a su vez un número entero.

Por ejemplo, los números 3, 6, 9 y 12 tienen divisibilidad por 3, porque cuando divides cada uno de esos números enteros por 3 resultan números enteros: 1, 2, 3 y 4.

La operación aritmética para dividir se llama división, que se compone de un divisor y un dividendo. El divisor es el número del total que queremos dividir y el dividendo es el número de partes que queremos saber que caben en el número total (divisor).

Algunas de las propiedades que se deben tomar en cuenta para facilitar el ejercicio de la divisibilidad son:

Los números divisibles solo se componen de números enteros distintos a cero. Todos los números son divisibles por 1 y por sí propio.

Plantilla:Redirige aquí En matemáticas, básicamente en aritmética, se dice que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que: b = a · c. Esto es equivalente a decir, que b es «exactamente divisible» por a, o bien, que el resto de la división euclídea es cero.

Se suele expresar de la forma $a\mid b$ , que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a».^[1] Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

Definición

El número entero $a$ es divisible por el número entero $b\neq 0$ (o lo que es lo mismo, b divide a a) si hay un número $q$ entero, tal que $a=b\cdot q$ .

Este hecho se denomina divisibilidad del número entero $a$ por el número entero $b$ y se denota por $b|a$ ; que no es otra cosa que una afirmación entre los números enteros, que, en un contexto concreto, puede ser cierta o no.^[2] Por ejemplo $3|12$ es cierta; sin embargo, $3|17$ no es cierta. Si $b$ no es divisor de $a$ escribimos $b\nmid a$ . Notemos que $0\nmid a$ para todo $a$ distinto de cero, pues $a\neq 0=k\cdot 0$ para todo $k$ entero.

Factor o divisor propio

Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de n, pero diferente de n. Los divisores 1 y n son denominados impropios.

Por ejemplo, los divisores propios de 28 son 1, 2, 4, 7 y 14. Cuando se toman en cuenta enteros negativos, un divisor propio es aquel cuyo valor absoluto es menor al número dado. En este caso, los divisores propios serían -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14.

Casos especiales: 1 y -1 son factores triviales de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.

Si d es un divisor de a y no admite más divisor propio que la unidad, de llama divisor primo de a. De hecho es un número primo. El 1 es el único entero que tiene un solo divisor positivo.

Propiedades

Sean $a,b,c\in \mathbb {Z}$ , es decir $\ a$ , $\ b$ y $\ c$ son números enteros. Tenemos las propiedades básicas:

$a\mid a$ (Propiedad reflexiva).
si $a\mid b$ y $b\mid a$ entonces $a=b$ o $a=-b$
Si $a\mid b$ y $b\mid c$ , entonces $a\mid c$ (Propiedad transitiva).
Si $a\mid b$ y $b\neq 0$ , entonces $|a|\leq |b|$ .
Si $a\mid b$ y $a\mid c$ , entonces $a\mid \beta b+\gamma c\ \ \forall \ \beta ,\gamma \in \mathbb {Z}$ .
Si $a\mid b$ y $a\mid b\pm \ c$ , entonces $a\mid c$
Si $a\mid b$ y $b\mid a$ , entonces $\ |a|=|b|$ .
Si $a\mid b$ y $a\neq 0$ , entonces ${\frac {b}{a}}\mid b$ .
Para $c\neq 0$ , $a\mid b$ si y sólo si $ac\mid bc$
Si $a\mid bc$ y $\ \operatorname {mcd} (a,b)=1$ , entonces $a\mid c$ .
Si $\ \operatorname {mcd} (a,b)=1$ y $\ c$ cumple que $a\mid c$ y $b\mid c$ , entonces $ab\mid c$ .
$n\mid 0$ y $1\mid n$ para todo $\ n$ entero ya que $0=0\cdot n$ y $n=n\cdot 1$ .
$1\mid \operatorname {mcd} (a,b)\mid a\mid \operatorname {mcm} (a,b)\mid 0$

Número de divisores

Si la factorización en números primos de n viene dada por

n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}

entonces el número de divisores positivos de n es

d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),

y cada uno de los divisores tiene la forma

p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}

donde $0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}$ para cada $1\leq i\leq k.$ ^[3]

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar la división.

Número	Criterio	Ejemplo
2	El número termina en una cifra par (0, 2, 4, 6, 8).	378: porque la última cifra (8) es par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.	480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o cuando termina en doble cero. O bien, si el resultado de sumar el doble del penúltimo dígito y el último da un número divisible entre 4.	7324: porque 24 es múltiplo de 4. 8200: porque termina en 00. 5232: porque 3*2+2=8 y 8 es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 o 5.	485: porque termina en 5.
6	El número es divisible entre 2 y entre 3 a la vez.	18: es múltiplo de 2 y de 3 a la vez.
7	Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7.	34349: separamos el 9,y lo doblamos (18), entonces 3434-18=3416. Repetimos el proceso separando el 6 (341'6) y doblándolo (12), entonces 341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es múltiplo de 7.
8	El número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8 o termina en tres ceros.	27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.	3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.	470: termina en cifra 0.
11	Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. Si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste. Si el número tiene sólo dos cifras y estas son iguales será múltiplo de 11.	42702: 4+2+7=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 42702 es múltiplo de 11 66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Múltiplo de 11
12	El número es divisible por 3 y 4.	420: es múltiplo de 3 ya que 4+2+0=6 y de 4 puesto que 20 también lo es. Por tanto es múltiplo de 12.
13	Un número es divisible entre 13 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 13	3822: separamos el último dos (382'2) y lo multiplicamos por 9, 29=18, entonces 382-18=364. Repetimos el proceso separando el 4 (36'4) y multiplicándolo por 9, 49=36, entonces 36-36=0; por lo tanto, 3822 es divisible entre 13
14	Un número es divisible entre 14 cuando es par y divisible entre 7	546: separamos el último seis (54'6) y lo doblamos, 6*2=12, entonces 54-12=42. 42 es múltiplo de 7 y 546 es par; por lo tanto, 546 es divisible entre 14
15	Un número es divisible entre 15 cuando es divisible entre 3 y 5	225: termina en 5 y la suma de sus cifras es múltiplo de 3; por lo tanto, 225 es divisible entre 15
17	Un número es divisible entre 17 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 17	2142: porque 214'2, 25=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 45=20, entonces 20-20=0; por lo tanto, 2142 es divisible entre 17.
18	Un número es divisible por 18 si es par y divisible por 9 (Si es par y además la suma de sus cifras es múltiplo de 9)	9702: Es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18 que también es divisible entre 9. Y efectivamente, si hacemos la división entre 18, obtendremos que el resto es 0 y el cociente 539.
19	Un número es divisible por 19 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 2 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 19.	3401: separamos el 1,lo doblamos (2) y sumamos 340+2= 342, ahora separamos el 2, lo doblamos (4) y sumamos 34+4=38 que es múltiplo de 19, luego 3401 también lo es.
20	Un número es divisible entre 20 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 20	57860: Sus 2 últimas cifras son 60 (Que es divisible entre 20), por lo tanto 57860 es divisible entre 20.
29	Un número es divisible por 29 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 29.	2262: separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos, 226+6= 232, ahora separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos 23+6=29 que es múltiplo de 29, luego 2262 también lo es.
31	Un número es divisible por 31 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y restar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 31.	8618: separamos el 8, lo triplicamos (24) y restamos 861-24=837, ahora separamos el 7, lo triplicamos (21) y restamos, 83-21=62 que es múltiplo de 31, luego 8618 también lo es.

Nota 1: Existen muchas versiones de los criterios de divisibilidad. Así por ejemplo, para el 13 resulta equivalente el criterio: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 4 y sumarla a las cifras restantes la suma es igual a 0 o es un múltiplo de 13.

Nota 2: Resulta curioso que el criterio de divisibilidad por 7 sirva también como criterio de divisibilidad por 3, aunque evidentemente el criterio tradicional resulta más sencillo y éste no se utiliza: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 3.

Nota 3: Aunque existen criterios similares para cualquier número primo, con frecuencia resulta más sencillo dividir que aplicar un criterio complicado (como el del 13). Sin embargo existe un criterio general que funciona siempre y que en muchos casos es suficientemente práctico: restar el número primo (o múltiplos de éste) a las cifras de la izquierda sucesivamente hasta obtener cero o ese número primo. Así el ejemplo del 13 se podría comprobar con el proceso siguiente (usamos el 39 =3*13 para abreviar pasos): 3822 (restamos 13 dos veces a la izquierda) → 2522 → 1222 (restamos 39 tres veces de las tres cifras de la izquierda) → 832 → 442 → 52 y al restar de nuevo 39 obtenemos 52-39 =13

Nota 4: El método no tiene que ceñirse sólo al proceso de quitar las unidades. Pueden quitarse unidades y decenas. Así por ejemplo: 201 es múltiplo de 67. Un criterio para el 67 sería: quitamos el número formado por las decenas y unidades y se lo restamos 2 veces a las cifras que quedan, si el resultado es múltiplo de 67, el número anterior también lo será. Ejemplo: 66129, hacemos 661-2·29=603, Ahora 6 -2·3=0, luego 66129 es múltiplo de 67.

Una prueba de esto es la siguiente: (N-d)/100-2d = (N-d-200d)/100 = (N - 201d)/100= k. Si k es múltiplo de 67, N también lo será puesto que N = 100k+201d.

Nota 5: Para saber si un número de 3 cifras es múltiplo de 8. Hay que tener en cuenta lo siguiente: Si la cifra de las centenas es par y las otras 2 es un múltiplo de 8 (288→ 2 es cifra par, y 88 múltiplo de 8) o si la cifra de las centenas es impar y las dos últimas son el resultado de la diferencia o suma de un múltiplo de 8 con 4 (168→ 1 es cifra impar y 68+4=72; 72 es múltiplo de 8.

Observación

Todos los criterios señalados funcionan si el número está escrito en el sistema de numeración decimal. En otra base no siempre ocurre así. Pues 102₇, escrito en base 7, termina en cifra par, pero no es divisible por 2. En este caso se suman las cifras 1+2=3; 3=1 (Mód 2), luego 102₇ es impar (en decimal es 7²+2=51).

Bibliografía

Aritmética elemental de Enzo R. Gentile (1985) OEA.
Teoría de los números de Burton W. Jones.
Fundamentos de la teoría de números de Iván Vinográdov
Introducción a la teoría de los números de Niven y Zuckermann
Aritmética [I] de L.Galdós (2002), Cultural S.A. Madrid.

↑ G. M. Bruño: Aritmética razonada
↑ N. N. Vorobiov. Criterios de divisibilidad
↑ Pettofrezzo- Byrkit. Elements of Number Theory. Prentice Hall Internacional Inc (1970)

[1] G. M. Bruño: Aritmética razonada

[2] N. N. Vorobiov. Criterios de divisibilidad

[3] Pettofrezzo- Byrkit. Elements of Number Theory. Prentice Hall Internacional Inc (1970)

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