Apuntes matemáticos/Aritmética/Texto completo

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Algo de Aritmética[editar]

Raíz cuadrada exacta[editar]

Se llama raíz cuadrada exacta de un número natural, al número cuyo cuadrado reproduce exactamente el primer número dado. Es posible calcular la raíz cuadrada exacta de un número cuando se le puede descomponer en factores primos que sean todos ellos potencias con exponentes pares, es decir, exponentes múltiplos de dos.

Raíz cuadrada no exacta[editar]

La raíz cuadrada de un número que no sea cuadrado perfecto es, con cierta aproximación, igual a un número racional de determinada cantidad de cifras decimales, tantas como las que se desee en cada caso.

Números positivos[editar]

Son todos los números mayores que cero, se les indica con un signo + delante de sus cifras. Si no se coloca ningún signo, se sobreentiende que es positivo. Por ejemplo + 5 ; se lee cinco positivo.

Números negativos[editar]

Son todos los números menores que cero, se les indica siempre con un signo – delante de sus cifras. Por ejemplo – 6 ; se lee seis negativo.

El Cero[editar]

El número cero no se clasifica ni como positivo ni como negativo.
Tomando las definiciones de número positivo y negativo se deduce que el cero es menor que cualquier número positivo y mayor que cualquier número negativo.
Usando lo anterior y tomando al cero como separador entre los dos conjuntos podemos indicar que cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
En cuanto a la clasificación dentro de los números reales, el cero es real, racional, y entero. Quedando para otro espacio la discusión sobre si considerarlo un número natural o no. A grandes rasgos se puede aclarar que hay dos posturas bien fundamentadas, para considerar el cero como natural ( número que represente el cardinal del conjunto vacío) o considerarlo fuera del conjunto de los naturales, por lo que el uno sería el menor de los naturales ( ver Axioma original de Peano y todo lo relacionado con inducción completa). Aunque incluso dentro del tema axioma de Peano se podría modificar sus bases para incluir al cero. (Todo un tema que en breve se agregará una sección aparte para tratarlo en este libro)

Valor absoluto[editar]

Se llama valor absoluto o valor aritmético y también módulo de un número, a la diferencia de valor que tiene dicho número con el cero. Este valor nunca es negativo; siempre es positivo o incluso cero. El valor absoluto de un número positivo es el mismo número. Ejemplo: valor absoluto de + 8,3 = + 8,3 El valor absoluto de un número negativo es el opuesto de dicho número. Ejemplo: valor absoluto de – 6,45 = + 6,45 De dos números positivos será mayor que tenga mayor módulo o valor absoluto.



Después de procedimiento de lectura esperamos que te ayude a entender el valor absoluto de los numeros.

!buena suerte¡

Números Irracionales[editar]

Números reales de infinitas cifras decimales, no periódicas y que no pueden ser iguales a números racionales, o sea su valor no se puede representar como una fracción o como resultado de una división entre dos números enteros.

esperamos que te ayude en tu trabajo

Densidad en la recta numérica[editar]

Entre dos números racionales cualesquiera hay siempre un número racional. El conjunto de puntos racionales es Denso en la recta numérica.

Suma de números (positivos y/o negativos)[editar]

  • Para sumar dos números que tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) se suman sus valores absolutos y dicha suma se le coloca el signo común ( positivo o negativo; el que tienen ambos sumandos).
  • Para sumar dos números que tienen signos contrarios (uno positivo y el otro negativo) se restan los valores absolutos y a la diferencia se le coloca el signo de la cantidad que tiene mayor valor absoluto.

(+ 5 ) + ( + 2 ) = + ( 5 + 2 ) = + 7
(– 3 ) + ( – 6 ) = – ( 3 + 6 ) = – 9
(+ 6 ) + ( – 4 ) = + ( 6 – 4) = + 2
(– 2 ) + ( + 5 ) = + ( 5 – 2) = + 3
(– 6 ) + ( + 2 ) = – ( 6 – 2) = – 4
(+ 1 ) + ( – 6 ) = – ( 6 – 1) = – 5

Suma de varios números[editar]

Se comprende fácilmente que el razonamiento anterior es aplicable a cualquier cantidad de sumandos que haya por lo tanto:

  • La suma de varios números (positivos y/o negativos) se obtiene agregando a la suma de los dos primeros, el tercero, al nuevo resultado se le agrega el cuarto, etc. hasta terminar con el último sumando.

Propiedades de la adición[editar]

Propiedad Conmutativa[editar]

  • El valor de la suma no cambia si se altera el orden de los sumandos.

Propiedad Asociativa[editar]

  • El valor de una suma no cambia si se sustituyen dos o más sumandos por su suma efectuada.

Suma de varios sumandos[editar]

Se puede también utilizar la propiedad conmutativa de la adición ( reordenando los sumandos según su signo, primero todos los positivos y luego todos los negativos) y la propiedad asociativa de la adición ( asociando en un único resultado todos los sumandos positivos entre sí y todos los sumandos negativos entre sí) de la siguiente forma:

  • La suma de varios números (positivos y/o negativos) se realiza agrupando por un lado todos los sumandos positivos y obteniendo un resultado parcial; agrupando todos los sumandos negativos por otro lado y obteniendo un segundo resultado parcial y finalmente sumando los dos resultados parciales para obtener el resultado final.

Propiedad Disociativa[editar]

  • Si dos o más sumandos están encerrados dentro de paréntesis precedidos del signo +, se pueden quitar dichos paréntesis.
  • En lugar de agregar una suma de varios sumandos, pueden agregarse sucesivamente los respectivos sumandos.
  • Una suma no altera si se introducen o se suprimen paréntesis precedidos del signo de +.

Otra regla[editar]

Como aplicación de las propiedades conmutativa y asociativa, tendremos también:

  • La suma de varios números relativos se obtiene sumando por un lado los positivos y por otro los negativos, luego se restan los valores absolutos de estas dos sumas, y se pone al resultado el signo que tenga la suma de mayor valor absoluto de estas dos.

Números Opuestos[editar]

Dos números son opuestos cuando tienen igual valor absoluto pero uno es positivo y el otro negativo. La suma de dos números opuestos es nula, es decir resulta cero. De una suma de muchos sumados, se pueden suprimir dos sumados opuestos sin que altere el resultado. Esta operación se llama reducción de términos opuestos. o si no también aveces viene en otros casos

Potencias[editar]

Definiciones relacionadas[editar]

Positivo[editar]

Todo número mayor que cero.

Negativo[editar]

Todo número menor que cero.

Múltiplos[editar]

Un múltiplo es un número que contiene a otro , varias veces exactamente.
Los múltiplos de un número son aquellos que resultan de multiplicarlo por la secuencia de números enteros.
Datos: para saber si un número es múltiplo de otro, hay que hacer una división entre los dos y que el resto sea cero, o nulo, y que el cociente sea un número entero.

Divisor[editar]

Se llama divisor a aquel número que es contenido una cantidad exacta de veces en otro número.
Divisor: Número que divide exactamente a otro número.
También se utiliza la palabra submúltiplo.

Potencia[editar]

Producto de una cantidad por sí misma, una cantidad determinada de veces.
Es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
El factor que se repite se llama base y el superíndice que indica la cantidad de veces que se repite se llama exponente.
Consiste en multiplicar un número por sí mismo las veces que indique el exponente.
Elevar un número al cuadrado es multiplicarlo por sí mismo.

Exponente[editar]

Número o expresión algebraica colocada a la derecha y arriba de otro número o expresión algebraica (como superíndice) que indica cuántas veces ha de multiplicarse una magnitud por sí misma.

Raíz cuadrada[editar]

es la operación inversa de elevar al cuadrado un número.
La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado resulta el primero mencionado.
La raíz cuadrada de cero tiene por resultado al cero.
La raíz cuadrada de un número positivo tiene por resultados dos valores opuestos.
No se puede calcular la raíz cuadrada a un número negativo.

Notación científica[editar]

Es la manera rápida de representar un número utilizando potencia de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.
También llamada notación índice estándar.
Los números se escriben como producto.

Números Primos[editar]

Introducción.[editar]

En el siglo III a.c. Eratótenes ideó la primera talba para saber si un número es primo o compuesto.
Se denomina Criba por el original método que siguió para construirla; escribió en una lámina metálica los primeros cuatro mil números naturales, y luego hizo agujeros sobre los que eran múltiplos de 2, 3, etc. eliminando de esta manera los números compuestos. Los números que quedaban sin agujerear resultaban ser los primos.
La lámina al final de la tarea presenta muchos agujeros por lo que parece un colador o criba, de ahí su nombre.

Criba de Eratóstenes[editar]

Algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N.
Se forma una tabla con todos los números tachando los números que son primos de la siguiente manera.
Se forma una tabla con todos los números naturales desde 2 hasta N.
Comenzando con el 2, y tachando todos sus múltiplos siguientes. Cada vez que se encuentre un número entero que no ha sido tachado, se señala como primo y se procede a tachar todos sus múltiplos siguientes. El proceso termina cuando del cuadrado del mayor número confirmado como primo supera a N.

Números Complejos[editar]

Suma de Vectores[editar]

Sean los vectores:



Su suma vectorial será:


Para que la suma entre dos o más vectores sea posible, los vectores deben tener el mismo tamaño, y el vector resultante será la suma de componente a componente de cada vector.


  • Ejemplo en :





  • Ejemplo en :



Propiedades de la Suma entre Vectores[editar]

Para la suma entre vectores se utilizan varias propiedades algebraicas provenientes de la suma entre reales.

Sean U, V,W vectores en :


Propiedad Conmutativa.


Propiedad Asociativa.


Todo vector sumado con cero no se verá afectado y el resultado será el mismo vector.


Todo vector sumado con su opuesto da como resultado 0

Suma Grafica de Vectores[editar]

Para sumar gráficamente dos vectores o mas vectores existen dos métodos, el método del paralelogramo y el método del triangulo:

Método del Paralelogramo[editar]

Se representa los vectores(U,V) como puntos en el plano y en los cuales sus orígenes generalmente coincidan en el punto(0,0) del plano cartesiano; luego en el extremo o cabeza del vector U, se grafica una paralela al vector V y en el extremo del vector V se grafica una paralela del vector U. La diagonal del paralelogramo que se forma es el vector suma o la respuesta.

Suma de vectores.svg

Método Poligonal[editar]

Se pone gráficamente el vector A como continuación del vector B, es decir, el origen del vector B coincide con la cabeza o extremo final del vector A. Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos.

Vector addition2.svg


Para sumar más de dos vectores gráficamente con cualquiera de los dos métodos, se realiza primero la suma de dos en dos de los vectores, el vector resultante se suma a un tercero o n vectores aplicando la ley conmutativa de la suma de vectores.

Resta de Vectores[editar]

Restar dos vectores es sumar al primero ,el resultado de la multiplicación por el escalar (-1) del segundo vector o más claramente su opuesto porque :



  • Ejemplo:


Resta Grafica de Vectores[editar]

Gráficamente, U - V es el vector que se forma donde su origen es el extremo de V y su extremo es el extremo de U Resta de vectores.JPG En la imagen se puede ver V + (U-V)= U

Bibliografía[editar]

1.LAY, David C. ÁLGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES (Tercera Edición). Pearson Educación, México, 2007. ISBN 978-970-26-0906-3 2.George Nakos / David Joyner. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Thomson Editores,Buenos Aires,1999