Análisis matemático/Los números reales

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Antes de empezar con el análisis matemático propiamente, nos haremos de una idea del cuerpo de los reales.

Los números[editar]

Cuando apenas somos unos niños nos enseñan a contar, contamos aquello que podemos ver, contamos números naturales: , se podría decir que es el conjunto básico.

Luego, a medida que crecemos extendemos este conjunto, y al agregar los negativos junto con el 0 obtenemos los llamados números enteros:

La siguiente extensión será a los números racionales, aquellos que se forman al introducir la posibilidad de división entre dos números enteros, como por ejemplo . A este conjunto lo simboliza con .

Si nos detuvieramos aquí estaríamos olvidándonos de un conjunto de números, los números irracionales, los cuales no pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros. Entre los irracionales se encuentran por ejemplo o . A este conjunto se los simboliza con .

A la unión de con formará el conjunto de los números reales.

Axiomas[editar]

Un axioma es un postulado que se acepta desde el comienzo, sin demostración alguna. Aceptaremos que:

  1. es un cuerpo, y como tal, tiene dos operaciones binarias asociadas la suma () y el producto ().
    1. Asociatividad de la suma:
    2. Asociatividad del producto:
    3. Conmutatividad de la suma:
    4. Conmutatividad del producto:
    5. Existencia del neutro de la suma:
    6. Existencia del neutro del producto:
    7. Existencia del opuesto:
    8. Existencia del recíproco:
    9. Distributividad del producto respecto a la suma: