Análisis matemático/Funciones

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Aplicaciones[editar]

Una aplicación es una relación entre dos conjuntos, a uno lo llamaremos "de partida" o "dominio" y al otro "de llegada" o "codominio". Esta relación tiene un particularidad, tal que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde solo uno del conjunto de llegada.

Ejemplos:

Sean los conjuntos y siguientes:

Ejemplo: 1:

en forma cartesiana

La aplicación tiene como dominio al conjunto y como codominio al conjunto . Esta aplicación está bien definida, pues a cada elemento del conjunto de partida, le corresponde solo uno del conjunto de llegada. (Específicamente: a 1 le corresponde 4, a 2 y a 3 les corresponden 5).

Ejemplo: 2:

en forma cartesiana

Esta aplicación tiene como dominio al conjunto y como codominio al conjunto . Como vemos, no a todo elemento del conjunto le corresponde un elemento del conjunto , cuando esto sucede se dice que la función no es sobreyectiva o no suryectiva (sur viene del francés y significa sobre). En ciertos países se utiliza también la palabra suprayectiva. Volveremos con el concepto de sobreyectividad más tarde.

Ejemplo: 3:

en forma cartesiana

En este caso, no es una aplicación pues a un elemento del dominio (al 4), le corresponden dos valores del codominio (1 y 2).

Ley de una aplicación[editar]

Si bien una aplicación puede ser definida a través de un conjunto de pares ordenados, esto puede ser incómodo si hablamos de conjuntos grandes. Por eso se suele definir una aplicación a través de una ley.

Ejemplos:

Esta aplicación tiene como dominio y codominio los números naturales, y lo que hace es asignar a cada número su doble. Si lo vieramos como un conjunto de pares ordenados, sería de la siguiente manera:

en forma cartesiana

Los muestran que siguen indefinidamente (hay infinitos pares). La cardinalidad de este conjunto es .

Funciones[editar]

Dentro de las aplicaciones hay un conjunto particular que es el que es objeto de estudio del análisis matemático, las funciones. Las funciones son aplicaciones cuyo dominio y codominio están contenidos en el conjunto de los números reales o complejos.