Análisis funcional/Preliminares de topología

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1.1. Espacios topológicos[editar]

Definición 1.1. Sea un conjunto. Una topología sobre es un conjunto de subconjuntos de que verifica las propiedades siguientes:

  1. El conjunto vacío y el propio conjunto son elementos de .
  2. La unión de toda familia de conjuntos de es un conjunto de .
  3. La intersección de toda familia finita de conjuntos de es un conjunto de .

Un espacio topológico es en par con una topología sobre el conjunto . Cuando digamos que es un espacio topológico, entenderemos que lo es junto con cierta topología que no es necesario mencionar explícitamente. Si es una topología sobre , los elementos de se dicen abiertos de en la topología , o simplemente abiertos cuando está claro cuál topología se está considerando. Por lo regular nos referiremos a los elementos de como puntos de .


Ejemplo 1.2. Si es un conjunto cualquiera, entonces el conjunto potencia de , , es claramente una topología de , la cual recibe el nombre de toplogía discreta en . En esta topología, tenemos que todo subconjunto de es un abierto.


Ejemplo 1.3. El conjunto formado por todas las uniones de intervalos abiertos de es una topología sobre . Nos referiremos a esta topología como la topología usual sobre . Cuando hablemos del espacio topológico , se entenderá que nos referimos a dotado de esa topología.


Sea un espacio topológico y . Un subconjunto se dice un entorno abierto de si es abierto y . Un conjunto es un entorno de si éste contiene un entorno abierto de .

Decimos que un espacio topológico es de Hausdorff, o que es separado, si para cualesquiera , existen entornos y de y , respectivamente, tales que .

A partir de este punto, asumiremos que todos los espacios topológicos de los que hablemos son espacios de Hausdorff.

Sea un espacio topológico y un punto de . Una familia de subconjuntos de es una base de entornos de si todos los conjuntos de son entornos de y, para todo entorno de , existe un entorno de contenido en y que contiene a .

Es posible definir una topología localmente, partiendo de bases de entornos abiertos de cada punto de un conjunto . Con más detalle, supongamos que para cada punto de , existe una familia de conjuntos no vacíos con las propiedades siguientes:

  1. Si , entonces .
  2. Si , existe un tal que .
  3. Si y , existe un tal que .

Entonces existe una única topología en para la cual las familias son bases de entornos de cada punto . Esta topología viene dada de la siguiente manera: se define un punto como interior del conjunto si existe un entorno contenido en . Luego se establece que es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. Dicho de otro modo, es abierto si y sólo si es un entorno de cada uno de sus puntos.

Sea un espacio topológico y . Decimos que es cerrado si su complemento es abierto. En virtud de las identidades de De Morgan, la intersección de cualquier familia de cerrados es cerrada, mientras que la unión de un número finito de cerrados es cerrada. Por supuesto, y son siempre abiertos a la vez que cerrados.

La clausura de se define como el menor de los conjuntos cerrados que contienen a . Equivalentemente, la clausura de es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a . A dicho conjunto lo representaremos por .

Un punto de es un punto de acumulación de si todo entorno de contiene al menos un punto de que no sea mismo. Al conjunto de todos los puntos de acumulación de lo representamos por , y lo llamamos conjunto derivado de . Tenemos que .

Sea una sucesión de puntos de un espacio topológico . Decimos que converge a un punto , o que es el límite de , si para todo entorno de existe un número natural tal que implica , o sea, cuando contiene a todos los términos de la sucesión a partir de cierto punto. Para indicar que converge a escribiremos , o también .

Una aplicación (o sea, una función) de espacios topologicos es continua si, para todo abierto de , la imágen recíproca (o preimagen) es un abierto de . Equivalentemente, es continua si para todo punto y todo entorno de existe un entorno de tal que . Si es biyectiva y y son ambas continuas, decimos que es un homeomorfismo.

Sea un subconjunto de un espacio topológico . Si y declaramos que es un abierto de si es la intersección de un abierto de y , entonces estos abiertos forman una topología en , que llamamos la topología inducida de . Con dicha topología, hablamos de como un subespacio del espacio topológico .


Ejemplo 1.4. Sea el conjunto de los números reales con la topología usual. El conjunto de números enteros es un subespacio de . La topología inducida en es la topología discreta.


1.2. Compacidad[editar]

Definición 1.5. Sea un espacio topológico y un subconjunto de . Decimos que una familia de abiertos es un cubrimiento de si . Decimos que es compacto cuando de cualquier cubrimiento de podemos extraer una colección de abiertos finita que es también un cubrimiento de .


Proposición 1.6. En un espacio Hausdorff, todos los conjuntos compactos son cerrados, y los subconjuntos cerrados de un conjunto compacto son compactos.