Álgebra Universitaria/Transformada de Fourier/Propiedades básicas

Propiedades básicas

La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

$ℱ\{a\cdot f+b\cdot g\}=aℱ\{f\}+bℱ\{g\}.$

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable $f$:

• Cambio de escala:

$ℱ\{f(at)\}(\xi )=\frac{1}{|a|}\cdot ℱ\{f\}\left(\frac{\xi }{a}\right)$

• Traslación:

$ℱ\{f(t-a)\}(\xi )=e^{-i\xi a}\cdot ℱ\{f\}(\xi )$

• Traslación en la variable transformada:

$ℱ\{f\}(\xi -a)=ℱ\{e^{iat}f(t)\}(\xi )$

• Transformada de la derivada: Si $f$ y su derivada son integrables,

$ℱ\{f^{\prime }\}(\xi )=i\xi \cdot ℱ\{f\}(\xi )$

• Derivada de la transformada: Si $f$ y $t$ → $f(t)$ son integrables, la transformada de Fourier $F(f)$ es diferenciable

$ℱ\{f{\}}^{\prime }(\xi )=ℱ\{(-it)\cdot f(t)\}(\xi )$

Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes.

En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones $f$ y $g$ en la recta de la manera siguiente:

$(f\ast g)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(y)\cdot g(x-y)dy.$

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si $f$ y $g$ son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

$ℱ\{f\ast g\}=ℱ\{f\}\cdot ℱ\{g\}$

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

$ℱ\{f\cdot g\}=ℱ\{f\}\ast ℱ\{g\}.$

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.