Álgebra Universitaria/Transformada de Fourier/Definición

Definición

La transformada de Fourier relaciona una función en el dominio del tiempo, mostrada en rojo, con una función en el dominio de la frecuencia, mostrado en azul. Las frecuencias componentes, extendidas para todo el espectro de frecuencia, son representadas como picos en el dominio de la frecuencia.

La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

Definición formal

Sea $f$ una función Lebesgue integrable:

$f\in L^{1}(\mathbb {R} )$

La transformada de Fourier de $f$es la función

${\mathcal {F}}\{f\}\ \ :\xi \mapsto {\hat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier$F(f)$ es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que $F(f)$ es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable $f$ está definida por:

${\mathcal {F}}^{-1}\{{\hat {f}}\}=f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,d\xi ,$

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función.