Álgebra Lineal/Sistema de ecuaciones lineales

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Saltar a: navegación, buscar

Ecuaciones lineales[editar]

Una ecuación lineal es una ecuación que tiene la forma:

Donde a1,a2 son escalares y se denominan coeficientes de la ecuación y b se denomina término constante. Generalmente las variables en una ecuación se denotan como xn, en lugar de x, y, z, etc. Esto se debe porque, en un sistema real, pueden existir miles de variables. Los problemas en este texto no tendrán mas de 5 o 6 variables. Todas las variables tendrán que estar elevadas a la primer potencia.

Ejemplos[editar]

1.
es una ecuación lineal


Resultado

de una función lineal de dos variable
NO ES una ecuación lineal porque un término contiene una raíz cuadrada. La raíz es igual que x3 a la potencia. Para ser lineal tendría que estar a la primera potencia.

3.
es una ecuación lineal

4.
NO ES una ecuación lineal porque es un término elevado a la segunda potencia.

Funciones Lineales[editar]

Definición: Una función , donde V es un espacio vectorial sobre K, llamada función lineal entonces, e :

Teorema de existencia y unicidad: Sea V un espacio vectorial de dimensión n y una base de V, entonces existe una única función f, tal que

Teorema da base dual: Sea V un espacio vectorial y, e una base de V, entonces existe una única base de tal que

Definiciones:

será llamada de base dual de .
será llamado espacio dual de V.

Corolarios:

Teorema de representación de funciones lineales[editar]

Sea V un espacio vectorial sobre K, , con producto escalar, y una función lineal, entonces existe un único vector , tal que , .

Demostrándose que

---++ Adjunta de un operador linear

Sea V un espacio vectorial.

El operador adjunto, , de un determinado operador lineal está definido por la igualdad:

Demostrándose que todo operador linear posee un y apenas un operador correspondiente.

A partir de la definición, podemos obtener las siguientes consecuencias (prove!):

Proposición: Sea V un espacio vectorial sobre K, , con producto escalar. Sea una base ortonormal de V. Entonces , donde

Corolario: Sea V un espacio vectorial sobre K, , con producto escalar. Entonces, para qualquer base ortonormal de V, tenemos que la matriz .