Álgebra Fundamental/Lógica/Proposiciones

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Empezamos nuestro estudio de la lógica con elementos básicos llamados proposiciones .

Objetivos

  • Entender lo que es una proposición
  • Diferenciar una proposición de otras definiciones

Enunciados y valor de verdad [editar]

Una proposición es un enunciado y oración declarativa de la cual se puede afirmar que es falsa o verdadera, pero no ambas cosas a la vez.

La veracidad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor de verdad

Ejemplos

  1. La expresión La tierra es redonda es una proposición cuyo valor de verdad es verdadera, pues es cierto que la tierra es redonda
  2. La expresión 2+3=5 es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero, pues en el sistema numérico decimal es un resultado válido.
  3. La expresión 1+1=3 es una proposición cuyo valor de verdad es falso, pues es sabido que en el sistema numérico decimal, 1+1=2.

En los tres ejemplos anteriores vimos oraciones declarativas de las cuales se puede afirmar que son o verdaderas o falsas. Luego, tales oraciones son proposiciones.

Veamos ejemplos de oraciones que no son proposiciones:

  1. La oración es declarativa, pero no es una proposición, pues de ella, a menos que conozcamos el valor de , no sabemos su valor de verdad con certeza. Ahora, si , podríamos decir que la oración es una proposición con valor de verdad verdadero.
  2. La oración ¿Habla usted español? no es declarativa, pues es interrogativa. Por tanto, no puede ser una proposición, pues no se le puede asignar ningún valor de verdad.
  3. La oración Toma dos aspirinas no es declarativa, pues es una orden, lo que la convierte en una oración imperativa. Luego, tampoco puede ser asociada a algún valor de verdad, por lo que no puede ser una proposición.
  4. La oración ¡Hace frió hoy! no es declarativa, pues la oración puede variar con respeto al tiempo y/o persona.

Axiomas y Teoremas[editar]

Un axioma o postulado es una proposición inicial la cual se asume como verdadera. El conjunto de postulados de los cuales se desprenden las demás proposiciones de un sistema se llama conjunto de postulados del sistema. En éste, uno de los axiomas no debe ser deducible de otros.

Ejemplos

  1. Uno de los postulados de la geometría euclidiana es el postulado de la recta: Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene. Este postulado es parte de un conjunto de postulados del sistema que formula la geometría de Euclides.
  2. En geometría, en el sistema euclidiano, se acepta el siguiente postulado: Dos rectas no pueden cortarse en más de un punto

Un teorema es cualquier proposición que se desprende de otra proposición o proposiciones dadas por supuestas o previamente demostradas dentro del sistema. Así, un teorema es una proposición cuya veracidad requiere ser demostrada a partir de otras.

Ejemplo

El teorema del triángulo isósceles asevera que: Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes


Ejercicios Propuestos de Proposiciones