Álgebra Abstracta/Homomorfismos

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Álgebra Abstracta


Introducción[editar]

Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4: C4,a, el grupo de Klein y el grupo de las raíces cuartas de la unidad, U4 = U4(). ¿Son esos grupos distintos? La respuesta sería aparentemente si, si nos fijáramos solamente en sus elementos. Sin embargo, en Álgebra Abstracta estamos más interesados en las propiedades de las operaciones que en la manera como simbolizamos a los elementos. Observemos que tanto C4,a como U4 son grupos cíclicos con generadores a e i respectivamente y

que tenemos el siguiente pareo.

El pareo hace que el algebra de ambos grupos luzca bastante similar. La manera formal de comparar grupos será la noción de homomorfismo, que formalizará la noción de semejanza de dos grupos.

En este capítulo, veremos como usar funciones especiales (isomorfismos) entre grupos para realizar comparaciones que nos permitan detectar o verificar isomorfías como las indicadas arriba. De forma más general, estudiaremos homomorfismos que son funciones que preservan los parámetros de la estructura de grupo.

Definiciones[editar]

Definición. (Homomorfismo de Grupos) Sean y grupos.
Un homomorfismo del grupo G en el grupo G' es una función tal que

  1. permuta con las operaciones:
  2. envía neutro en neutro:
  3. envía inversos en inversos:

Tipos de Homomorfismos
Un homomorfismo es un:

  • monomorfismo, cuando es inyectiva.
  • supramorfismo, cuando es suprayectiva.
  • isomorfismo, uando es biyectiva.
  • endomorfismo, cuando es un homomorfismo de en sí mismo.
  • automorfismo, cuando es un isomorfismo de en sí mismo.

Cuando haya un isomorfismo de un grupo G en un grupo G', decimos que los grupos son isomorfos y escribimos .

Decimos que un grupo H es una imagen homomórfica de un grupo G, cuando haya un supramorfismo de G en H.

Ejemplo Clásico de Homomorfismo.

El prototipo de homomorfismo (de hecho es un isomorfismo) es el logaritmo que transporta la estructura multiplicativa de los Reales positivos en la estructura aditiva de los Reales. ya que

  1. ,
  2. , y
  3. .

Además, se trata de un isomorfismo ya que el logaritmo es una

función biyectiva, que tiene a la función exponencial como inversa.


Ejemplo. (Homomorfismo trivial).

Sean G y H grupos cualesquiera. La función que asigna a cada x de G el elemento neutro de H es un homomorfismo que llamaremos el homomorfismo trivial


Ejemplo. (Los grupos U4 y C4 son isomorfos).

Sea f la función que envía en . Como todos los elementos de ambos grupos son potencias de sus generadores

tenemos que

Claramente, f es biyectiva, por lo que los grupos son

isomorfos.


Endomorfismo aditivo de .

Sea tal que Es fácil ver que se trata de un endomorfismo de grupos, ya que

Luego, tenemos un endomorfismo (porque va de un grupo en sí mismo) que es inyectivo, pero no suprayectivo.


Propiedades de los Homomorfismos[editar]

La definición dada de homomorfismo es la definición general de homomorfismo de estructuras[1]. En el caso de los homomorfismos de grupos, tenemos que la primera condición implica a las otras dos.

Proposición 1. (Caracterización de Homomorfismos). Sean y grupos. Una función es un homomorfismo, ssi, para todo x, y de G se cumple que

    Demostración: Las condiciones son claramente necesarias. Veamos que son suficientes. Observemos que , lo que implica que Por su parte ; de donde :Lo que prueba la proposición.


Ejemplo.

La función que asocia a cada entero su clase de congruencia módulo m es un supramorfismo, ya que es suprayectiva y


Ejemplo (Determinante).

La función determinante (de matrices) tiene la siguiente propiedad

por lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles GL2 en el grupo multiplicativo de los Reales. Por la proposición, tenemos que el determinante de la matriz identidad es 1 y el determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante de la matriz.


Ejemplo (Grupo Producto).

Sean G, H, K grupos tales que . Sea tal que (proyección en la primera coordenada). es un supramorfismo, ya que


Resultado análogo para la segunda proyección.


Proposición 2. (Composición de Homomorfismos) La composición de dos homomorfismos es un homomorfismo.

    Demostración: Sean y homomorfismos. Entonces.


Sea un homomorfismo de grupos y sea x un elemento de . Probaremos que para todo natural, . Si , . Suponiendo el resultado para valores menores de n, tenemos

Proposición 3. (Homomorfismos y Potencias) Sea un homomorfismo de grupos y sea x un elemento de G. Entonces, para todo entero n se cumple que

    Demostración: La discusión previa al enunciado prueba el resultado para valores no negativos de n. Sea n > 0, entonces


Corolario 3.1. Sea un homomorfismo de grupos y sea x un elemento de G. Entonces, el orden de f(x) divide al orden de x.

    Demostración: Sea n=o(x). Entonces, xn = e , lo que implica que . Por lo que n es un múltiplo de o(f(x)).


Ejercicios[editar]

  1. ¿Cuáles de las funciones siguientes son homomorfismos de grupos? es el grupo aditivo de los Reales y el grupo multiplicativo de los Reales no nulos.
    1. .
    2. .
    3. .
    4. .
    5. .
  2. Sea . Sea tal que . Probar que es un monomorfismo de grupos. Definir un y enunciar y probar un resultado análogo.

Isomorfismos de Grupos[editar]

Recordemos que un isomorfismo de grupos es un homomorfismo biyectivo y que significa que los grupos son isomorfos, es decir que hay un isomorfismo de G en G'. Notemos que la relación de isomorfismo entre grupos es reflexiva, simétrica y transitiva.

  • Si un isomorfismo y es la inversa de f como función tenemos que
    para todo x' = f(x), y' = f(y) que g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y'). Es decir que la función inversa de un isomorfismo es también un isomorfismo.
  • Si tenemos isomorfismos y , entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que es un isomorfismo.

Al pasar, hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 4. (Propiedades de Isomorfismos)

  1. La función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo.
  2. La composición de isomorfismos es un isomorfismo.


Observaciones. El logaritmo fue el primer ejemplo conocido de un isomorfismo de grupos. Permite transportar problemas de una estructura en la otra. Multiplicar es más difícil que sumar, por lo que para multiplicar dos números, sumamos sus logaritmos y, luego, usando, la inversa (que es la exponencial) obtenemos el resultado de la multiplicación.

Esto podrá parecer muy complicado al lector acostumbrado a las calculadoras electrónicas, pero cuando estas no existían, los cómputos de productos se realizaban obteniendo valores de logaritmos y de antilogaritmos (la función inversa) desde libros con tablas de valores de dichas funciones.

La Clasificación de Grupos

El objetivo central de la teoría de grupos es la clasificación de los mismos. Esto es determinar todos los posibles tipos de grupos no isomorfos entre si.

Desde el punto de vista de la teoría de grupos, dos grupos isomorfos son esencialmente el mismo grupo, la única diferencia reside en el nombre usado para los elementos del grupo, como lo discutido al inicio del capítulo. Por lo que, a veces, diremos que grupos con una cierta propiedad son únicos, significando que cualquier par de grupos con la propiedad son isomorfos. Esto significa que para probar que dos grupos no son isomorfos basta con verificar que hay una propiedad de uno de ellos que no tiene el otro.

Por ejemplo, grupos con un solo elemento son todos isomorfos entre si, por lo que decimos que hay un único grupo con un elemento.

Clasificación de los grupos de orden 2.

Hay un único grupo de orden 2, excepto por isomorfismos.

Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el producto del elemento diferente del neutro. Aquí, veremos el mismo resultado pero usando isomorfismos. Sean G={e,a} y H = {e',a'} donde los elementos neutros son e y e' respectivamente. Sea g la función de G en H tal que g(e)=e' y g(a) = a'. Entonces,

Lo que prueba que g es un isomorfismo.


Los isomorfismos preservan la estructura interna de un grupo. En particular, preservan ordenes de elementos. En efecto, sean un isomorfismo y x un elemento de G, entonces tenemos, por un corolario anterior, que . como y es un homomorfismo, tenemos que . de donde, la igualdad. Aplicaremos esta observación más adelante.

Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos.

Los grupos cíclicos de orden 4, C4 y K (grupo de Klein) vistos a propósito de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en C4 hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4, mientas que en el grupo de Klein todos los elementos diferentes del neutro tienen orden 2. Por lo tanto, los grupos no pueden ser isomorfos.


Isomorfismo de Grupos Cíclicos[editar]

Nuestra próxima proposición formaliza algo que podíamos haber intuido.

Proposición 5. (Isomorfismo de Cíclicos) Dos grupos cíclicos de igual orden son isomorfos.

    Demostración: Sean G=C_n,a y H = C_n,b. Definamos f:G en H por f(ak) = bk. Se tiene entonces que
    Lo que prueba que

    f es un homomorfismo. Además, claramente, f es suprayectiva. Supongamos que . Sin perdida de generalidad, podemos suponer que , por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. Se tiene que

    > Si , sería un número positivo menor que . Lo que es imposible, porque por definición es el menor entero positivo con la propiedad de que . Luego , o sea que es inyectiva. Lo que concluye la

    prueba.


Isomorfismo de Grupos Simétricos[editar]

Recordemos que el grupo simétrico es el grupo formado por todas las biyecciones del conjunto en sí mismo. Probaremos que cuando dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son isomorfos. por lo que el grupo simétrico dependerá solamente de la cardinalidad del conjunto, pero no necesariamente del conjunto específico.

Recordemos que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos (o igual cardinal) cuando, y solo cuando, hay una biyección de un en el otro. Sean X, Y conjuntos con el mismo cardinal y sea la función biyectiva que establece la igualdad de cardinales. Definamos tal que para todo en , asociamos la función de Y en sí mismo.

IsoGruposSimetricos.jpg

Como es una composición de biyecciones, se trata de una biyección de Y en Y, o sea de un elemento de . Veamos, ahora, que es un

homomorfismo.

Claramente,

la asignación para cada de de de es una función inversa de por lo que es una biyección, lo que prueba que se trata de un isomorfismo de grupos.

Proposición 6. (Isomorfismo de Grupos Simétricos) Cuando y son conjuntos con igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son congruentes. .

Corolario 6.1. El grupo simétrico de cualquier conjunto con elementos es isomorfo a el grupo simétrico de .

El Grupo de Automorfismos de un Grupo[editar]

Recordemos que un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo en sí mismo.

Sea G un grupo, por Aut(G) denotaremos al conjunto formado por todos los automorfismos del grupo. Como la composición de automorfismo es un automorfismo, lo mismo que la identidad y el inverso de un automorfismo, tenemos que Aut(G) con la composición de funciones forman un grupo, contenido en .

Automorfismos de .

Sea un automorfismo de grupos. Entonces como [1] es un generador del grupo, su imagen debe ser un generador del grupo.

  • (n=5) Supongamos que a es un generador de . Por inspección, podemos ver que los generadores del grupo son para . Luego, hay cuatro automorfismos, definidos tales que para Observemos que implica que , es decir que , la función identidad, y, por lo tanto, el neutro del grupo de automorfismos. Por simple computación, obtenemos la siguiente tabla para


    Lo que prueba que

  • (n=6) En hay solo dos generadores, [1] y [5]. Por lo que hay solamente dos automorfismos: y . Por lo que

Ejercicios del Capítulo[editar]

  1. Sea P el subconjunto de formado por todos los enteros pares. Probar que la función es un homomorfismo de grupos desde en P ¿Es un isomorfismo?
  2. Sea un homomorfismo de grupos. Probar las siguientes afirmaciones.
    1. Para todo a de G y n entero se cumple que .
    2. Para todo a, b en G, si a conmuta con b en G, lo mismo pasa con sus imágenes en H.
    3. Si a es conjugado con b en G, entonces f(a) es conjugado con f(b) en H.
    4. Si hay un a en G tal que an=e para algún n natural, hay un elemento de H con la misma propiedad.
  3. Sea una imagen homomórfica de . Probar que las afirmaciones siguientes.
    1. Si G es abeliano, H también lo es.
    2. Si G es cíclico, H también lo es.
  4. Sea un isomorfismo. Probar que para cada n natural, la cantidad de elementos que satisfacen la ecuación en G, es la misma que los elementos que satisfacen la ecuación en H.
  5. Sea un isomorfismo. Probar que la inversa de , es un isomorfismo.
  6. Probar las siguientes afirmaciones.
    1. La composición de monomorfismos es un monomorfismo.
    2. La composición de supramorfismos es un supramorfismo.
    3. La composición de isomorfismos es un isomorfismo.
  7. ¿Pueden haber dos grupos finitos con diferente orden que sean isomorfos?
  8. Sea (pares ordenados de números racionales que no tienen ambas componentes nulas). Definamos, una nueva operación en G por Sea f la función de G en el grupo multiplicativo de los complejos, tal que , donde . Probar que G es un grupo abeliano y que f es un monomorfismo de grupos.
  9. Sean un producto de grupos . Sean y tales que pr1(h,k) = h y pr2(h,k) = k. Probar que las proyecciones pr1 y pr2 son supramorfismos.
  10. Sean y homomorfismos de grupos. Sea tal que . Probar que es un homomorfismo de grupos.
  11. Sean G, H y K grupos. Probar que
    1. .
    2. .
    3. , donde es el grupo trivial con un elemento.
  12. Sea <G,*> un grupo. Probar que la operación (considerada como función) de en G es un homomorfismo de grupos, ssi, G es abeliano.
  13. Probar que es isomorfo al grupo de Klein (comparar las tablas de operaciones), por lo que no puede ser isomorfo a .
  14. Probar que dos grupos con tres elementos son siempre isomorfos.
  15. (Endomorfismos del grupo aditivo de los Racionales) \quad
    1. Sea tal que f(q) = aq, donde a es un número racional fijo. Probar que f es un endomorfismo del grupo aditivo de los racionales, que es un automorfismo cuando .
    2. Sea un endomorfismo del grupo aditivo de los Raciones. Probar que , donde .
  16. Sea G un grupo de orden par. Probar que siempre G contiene un elemento de orden 2.
  17. Hallar los homomorfismos de en sí mismo. ¿Cuántos de ellos son isomorfismos?
  18. Hallar, si existe, un homomorfismo no trivial entre los grupos. indicados. Si no existe, explicar por qué no existe.
    a. . b.
    c. . d. .
    e. . f. .
    g.

    .

    h.
    i. . j. .
  19. (Homomorfismos de Semigrupos y Monoides) Definir homomorfismos para semigrupos y monoides.


Notas[editar]