Si
es un grupo y
es un subgrupo de
, no es cierto en general que
, aunque claramente esto sí sucede cuando
es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo
que cumplen esto mismo sin necesidad de que
sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.
Definición 1.29: Sea
un grupo y
un subgrupo de
. Se dice que
es normal en
si
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para todo
de
. Este hecho lo representaremos por
.
Equivalentemente tenemos que
si y sólo si
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Tenemos pues que si
, entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo
coinciden, luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente
. Vamos a probar ahora que este conjunto cociente puede ser dotado de una estructura de grupo.
Teorema 1.30: Sea
un grupo y
. Entonces
es un grupo, llamado grupo cociente de
por
, con la operación de grupo dada por
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Demostración: Para comenzar, debemos probar que la operación en
dada por
tiene sentido, es decir, que si
y
, entonces
. Esto es así, pues
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con
![{\displaystyle a^{-1}a=n_{1}\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36719757e47d6ec9c30c35b7d14f22a51a723170)
y
![{\displaystyle b^{-1}b\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cd7c82e7e3755aaeb8773e92a171d8daa3e343)
(pues
![{\displaystyle a'\in aN}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ff16f2192fa5194b7cb96a7eb78d5200061283)
y
![{\displaystyle b'\in bN}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6274246ecdcf6121f39ffc7bd7a4dbc93fbec3)
), así es que
![{\displaystyle (ab)^{-1}a'b'=b^{-1}n_{1}bn_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1b44e3b3080bcdbc39d12917c53834f7649f50)
, pero como
![{\displaystyle N\trianglelefteq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ae94a89329111d27737c0fc57792343a602bfd)
, también
![{\displaystyle b^{-1}n_{1}b=n_{3}\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab74fde4a9bae19edee27982c4a29d42eddd6129)
, luego
![{\displaystyle (ab)^{-1}a'b'=n_{3}n_{2}\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaa727e818a6782a85a22844e3008038fa4f23e)
, y entonces
![{\displaystyle ab\equiv a'b'\ ({\mbox{mod}}\ N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c161440734864ef30305b514bc622e8fe6d7c3)
, lo que prueba que
![{\displaystyle abN=a'b'N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4687bdc40c32cdd845928aca742466cf5daff9)
. Hemos probado que la operación definida en
![{\displaystyle (G/N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e146b67ef4760701d9def088755073902a9b2232)
tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de
![{\displaystyle (G/N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e146b67ef4760701d9def088755073902a9b2232)
es
![{\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
, y el inverso de todo
![{\displaystyle aN}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a300592462f36c31887b1e60435e864a54672f)
de
![{\displaystyle (G/N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e146b67ef4760701d9def088755073902a9b2232)
es
![{\displaystyle a^{-1}N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c4b285f3cbd434fea3501156d17364aa225ade)
. Con esto queda probado que
![{\displaystyle (G/N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e146b67ef4760701d9def088755073902a9b2232)
es un grupo.
![{\displaystyle \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8733090f2d787d03101c3e16dc3f6404f0e7dd4c)
Si
es un homomorfismo de grupos, entonces
. En efecto, pues si
y
, entonces
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luego
, así que
para todo
de
, luego podemos cambiar
por
y así tener que
, luego para todo
de
se tiene
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lo que demuestra que
, completando la prueba de que
.
Teorema 1.31: El núcleo de todo homomorfismo de grupos
es un subgrupo normal del dominio de
. Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo
es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es
.
Demostración: La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si
es un subgrupo normal de
, la aplicación
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es claramente un epimorfismo, y es llamado
proyección canónica. Puesto que
![{\displaystyle a\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68829f57d98d0c8ae4896dc9e0361d759b2c4fd)
si y sólo si
![{\displaystyle aN=N\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068046b96beb356bfd49fcc6fed32e5666b3e8db)
, i.e. si y sólo si
![{\displaystyle a\in \ker \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b89755bf41e6bdf422ed8f8a25579a2d135a3749)
, tenemos que
![{\displaystyle N=\ker \varphi \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c141b60e7e8fcb864d390b72da68fafe98fc6f97)
.
![{\displaystyle \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8733090f2d787d03101c3e16dc3f6404f0e7dd4c)
Sea
un grupo y
, y defínanse los conjuntos
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Llamaremos normalizador de
al conjunto
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Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si
(i.e. si
y
) entonces también
, y que además
y
.
Si
es un subgrupo de
, entonces claramente
. Más aún,
es el mayor subgrupo de
en el cual
es normal. En otras palabras,
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Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si
es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto
de
. A este conjunto se le llama centralizador de
, y lo denotaremos por
. Así pues,
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Notar que
;
equivale a decir que
es abeliano.
Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes.
Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos): Sea
un homomorfismo de grupos y
un subgrupo normal de
tal que
. Entonces existe un único homomorfismo
tal que
, donde
es la proyección canónica. Además:
- (1)
es un epimorfismo si y sólo si
lo es;
- (2)
![{\displaystyle \ker {\bar {f}}=(\ker f)/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18dc81b503bfae2a4c7c2f8409e15e72885af5a)
- (3)
es un monomorfismo si y sólo si ![{\displaystyle \ker f=N\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16d7cd97ffddf3d66ecb9a6a559d819d486b171)
Demostración: Vamos a demostrar que el homomorfismo
es la aplicación dada por
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Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si
![{\displaystyle bN=aN\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f22c8f362968b78e0753689c653ced52e686aca)
, entonces
![{\displaystyle a^{-1}b\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414787f085176da3b02f68dd37fd105cb2c1387e)
, y como
![{\displaystyle N\subseteq \ker f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf59cf52667d00ac296052eb926a9b2b2fc887e6)
, también
![{\displaystyle a^{-1}b\in \ker f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2765b39a1df549386960851ff5e95b9feeb194)
, luego
![{\displaystyle f(a)=f(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70209bf143b8417feef2aed98b2e86bc8f447e2)
. Es fácil ver que
![{\displaystyle {\bar {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9398db23e55377679c1df5daa64236307750cd)
es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
, es el único homomorfismo que cumple
![{\displaystyle {\bar {f}}\circ \varphi =f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b002686ca71f2007dbdb7e0241e2f4401be7e863)
. (1) es evidente. (2)
![{\displaystyle \ker {\bar {f}}=\{aN\mid f(a)=1_{H}\}=\{aN\mid a\in \ker f\}=(\ker f)/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207a56698c64bc4338ff5f915a06a91145296980)
.
![{\displaystyle {\bar {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9398db23e55377679c1df5daa64236307750cd)
es un monomorfismo si y sólo si
![{\displaystyle \ker {\bar {f}}=(\ker f)/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18dc81b503bfae2a4c7c2f8409e15e72885af5a)
es el subgrupo trivial de
![{\displaystyle (G/N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e146b67ef4760701d9def088755073902a9b2232)
, es decir, si y sólo si
![{\displaystyle \ker f=N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6767818cb706ef941986542d987415615833040d)
.
![{\displaystyle \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8733090f2d787d03101c3e16dc3f6404f0e7dd4c)
El teorema fundamental de homomorfismos puede enunciarse también de esta manera: si
es un homomorfismo de grupos y
un subgrupo normal de
tal que
, entonces existe un único homomorfismo
que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:
Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía): Si
es un homomorfismo de grupos, entonces
.
Demostración: El teorema anterior nos da un homomorfismo
![{\displaystyle {\bar {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9398db23e55377679c1df5daa64236307750cd)
entre
![{\displaystyle (G/\ker f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1eae0f1fd1f93c0295ce0a203f221d602d8af6b)
y
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
, que se convierte en epimorfismo si en lugar de
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
tomamos simplemente
![{\displaystyle {\mbox{Im}}f\subseteq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b665fb9e30893e54537f261be6128449d834beb)
, pero por (3) del teorema anterior
![{\displaystyle {\bar {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9398db23e55377679c1df5daa64236307750cd)
es también un monomorfismo, luego termina siendo un isomorfismo.
![{\displaystyle \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8733090f2d787d03101c3e16dc3f6404f0e7dd4c)
Teorema 1.34 (Segundo teorema de isomorfía): Si
es un subgrupo normal de un grupo
y
es un subgrupo cualquiera de
, entonces
es normal en
y
.
Demostración: La aplicación
es un epimorfismo, y como
![{\displaystyle \ker f=\{h\in H\mid Nh=N\}=\{h\in H\mid h\in N\}=H\cap N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c7dbe272c216572bf7d7cf1cd0e43ca1c80534)
, el primer teorema de isomorfía nos da un isomorfismo
![{\displaystyle {\bar {f}}:H/H\cap N\longrightarrow (NH/N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3624cf241eb74b7392db3640e31ed0c0d169f065)
.
![{\displaystyle \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8733090f2d787d03101c3e16dc3f6404f0e7dd4c)
Teorema 1.34 (Tercer teorema de isomorfía): Si
y
son dos subgrupos normales en un grupo
, con
, entonces
.
Demostración: Sea
![{\displaystyle \varphi :G\longrightarrow (G/H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c508a964f1a30c4cdc0afcd7523fac12cdf41c)
la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y por el teorema 1.31,
![{\displaystyle \ker \varphi =H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea01962d432589b9435a79d6f41d1240734185f)
, luego
![{\displaystyle N\leq \ker \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876a57c38d0ea3f6c9817e3b2557f3a92e9a785e)
, así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un epimorfismo
![{\displaystyle {\bar {\varphi }}:(G/N)\longrightarrow (G/H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376de8833d1d0274170061b50e760a50e3a27d13)
, pero
![{\displaystyle aN\in \ker {\bar {\varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/612fa2e705c8259ffd03db21e23be865b32f0ca8)
si y sólo si
![{\displaystyle aN=H\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b7a1b7f84209600a800b7b352b2ff27ded1d67)
, lo cual sucede si y sólo si
![{\displaystyle a\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c880148ff31cbbb6016f3d7f33298cd09eb6f75)
, luego
![{\displaystyle \ker {\bar {\varphi }}=(H/N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543bebaf6b4c8b02f800c12d3b0c2ae6055fe272)
, así es que, por el primer teorema de isomorfía, existe un isomorfismo entre
![{\displaystyle (G/N)/(H/N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3968c95c65f26e65869b87070b6c2000a18867)
y
![{\displaystyle (G/H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7131cd55e449693bd114e56988399eadaf789f8c)
.
![{\displaystyle \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8733090f2d787d03101c3e16dc3f6404f0e7dd4c)