Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos normales

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

Subgrupos normales[editar]

Si es un grupo y es un subgrupo de , no es cierto en general que , aunque claramente esto sí sucede cuando es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo que cumplen esto mismo sin necesidad de que sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.


Definición 1.29: Sea un grupo y un subgrupo de . Se dice que es normal en si



para todo de . Este hecho lo representaremos por .


Equivalentemente tenemos que si y sólo si



Tenemos pues que si , entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo coinciden, luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente . Vamos a probar ahora que este conjunto cociente puede ser dotado de una estructura de grupo.


Teorema 1.30: Sea un grupo y . Entonces es un grupo, llamado grupo cociente de por , con la operación de grupo dada por




Demostración: Para comenzar, debemos probar que la operación en dada por tiene sentido, es decir, que si y , entonces . Esto es así, pues



con y (pues y ), así es que , pero como , también , luego , y entonces , lo que prueba que . Hemos probado que la operación definida en tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de es , y el inverso de todo de es . Con esto queda probado que es un grupo.



Si es un homomorfismo de grupos, entonces . En efecto, pues si y , entonces



luego , así que para todo de , luego podemos cambiar por y así tener que , luego para todo de se tiene



lo que demuestra que , completando la prueba de que .


Teorema 1.31: El núcleo de todo homomorfismo de grupos es un subgrupo normal del dominio de . Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es .


Demostración: La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si es un subgrupo normal de , la aplicación



es claramente un epimorfismo, y es llamado proyección canónica. Puesto que si y sólo si , i.e. si y sólo si , tenemos que .


Sea un grupo y , y defínanse los conjuntos



Llamaremos normalizador de al conjunto



Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si (i.e. si y ) entonces también , y que además y .

Si es un subgrupo de , entonces claramente . Más aún, es el mayor subgrupo de en el cual es normal. En otras palabras,



Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto de . A este conjunto se le llama centralizador de , y lo denotaremos por . Así pues,



Notar que

  1. ;
  2. equivale a decir que es abeliano.


Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes.


Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos): Sea un homomorfismo de grupos y un subgrupo normal de tal que . Entonces existe un único homomorfismo tal que , donde es la proyección canónica. Además:

(1) es un epimorfismo si y sólo si lo es;
(2)
(3) es un monomorfismo si y sólo si


Demostración: Vamos a demostrar que el homomorfismo es la aplicación dada por



Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si , entonces , y como , también , luego . Es fácil ver que es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por , es el único homomorfismo que cumple . (1) es evidente. (2) . es un monomorfismo si y sólo si es el subgrupo trivial de , es decir, si y sólo si .


El teorema fundamental de homomorfismos puede enunciarse también de esta manera: si es un homomorfismo de grupos y un subgrupo normal de tal que , entonces existe un único homomorfismo que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

Teo Fund Homo Diag.svg


Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía): Si es un homomorfismo de grupos, entonces .


Demostración: El teorema anterior nos da un homomorfismo entre y , que se convierte en epimorfismo si en lugar de tomamos simplemente , pero por (3) del teorema anterior es también un monomorfismo, luego termina siendo un isomorfismo.


Teorema 1.34 (Segundo teorema de isomorfía): Si es un subgrupo normal de un grupo y es un subgrupo cualquiera de , entonces es normal en y .


Demostración: La aplicación


es un epimorfismo, y como , el primer teorema de isomorfía nos da un isomorfismo .


Teorema 1.34 (Tercer teorema de isomorfía): Si y son dos subgrupos normales en un grupo , con , entonces .


Demostración: Sea la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y por el teorema 1.31, , luego , así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un epimorfismo , pero si y sólo si , lo cual sucede si y sólo si , luego , así es que, por el primer teorema de isomorfía, existe un isomorfismo entre y .