Álgebra/Teoría de grupos/Subgrupos

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Subgrupos[editar]

Definición 1.14: Sea un grupo. Se dice que es un subgrupo de , hecho que se representa por , si y si es él mismo un grupo respecto de la operación de .


Es claro que la identidad de es la misma que la identidad de , pues éste es el único elemento de que cumple . También los inversos de los elementos de son los mismos en que en .


Todo grupo tiene al menos dos subgrupos, a saber, mismo y el grupo , llamado subgrupo trivial de , que sólo contiene a la identidad de . Cualquier otro subgrupo de disitinto de y se dice subgrupo propio de .


Teorema 1.15: Sea un grupo y con no vacío. Entonces si y sólo si para cualesquiera y de .

Demostración: La implicación es obvia. Si es un subconjunto no vacío de tal que para todo , entonces, en particular, (el elemento existe, pues es no vacío). Luego también . Además, puesto que , la operación binaria de es también operación binaria en , lo que demuestra que es un subgrupo de .


Si es un homomorfismo de grupos entonces es un subgrupo de . En efecto, pues si , entonces



por lo que , lo que, en vista del teorema anterior, demuestra que .


He aquí otros dos hechos, aún más básicos, acerca de subgrupos:

  1. Si y , entonces .
  2. Si y , entonces .

Las pruebas de estos hechos se dejan como ejercicio al lector.

Un subgrupo propio de un grupo se dice subgrupo maximal de si implica o para cualquiera que sea el conjunto .