Álgebra/Teoría de grupos/Homomorfismos

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

Homomorfismos[editar]

Definición 1.10: Sean y dos grupos. Una aplicación se llama homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo) si


para todo , de .


Es claro que si y son homomorfismos entonces es un homomorfismo.


Teorema 1.11: Sean y dos grupos y un homomorfismo. Se cumple que

  1. si y son las identidades de y , respectivamente, entonces ;
  2. si entonces .


Demostración: En efecto, pues , lo que implica . Además, , luego .


Se dice que un homomorfismo es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo si es, respectivamente, inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. Un homomorfismo de un grupo en sí mismo se dice un endomorfismo, mientras que un isomorfismo de un grupo en sí mismo se dice un automorfismo.

Dos grupos y se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, hecho que representaremos por . Dos grupos que son isomorfos son, desde el punto de vista algebraico, indistinguibles, pues lo que vale para respecto de su operación de grupo vale también para respecto de su operación de grupo, y viceversa. Así, aunque desde el punto de vista conjuntista y sean dos conjuntos diferentes, desde el punto de vista algebraico y son el mismo objeto.

Sea un grupo. Denotaremos por al conjunto de todos los automorfismos del grupo . Puede probarse que es a su vez un grupo tomando como operación la composición de aplicaciones.


Definición 1.12: Sean y dos grupos y sea un homomorfismo entre ellos. El núcleo de se define como el conjunto


donde es la identidad de .


Teorema 1.13: Sean y dos grupos cualesquiera. La aplicación es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y .


Demostración: Si es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento de tal que , y por el teorema 1.11, ese elemento es , de modo que . Recíprocamente, si y , entonces , lo que implica , luego y así , por lo que es inyectiva y con ello un monomorfismo.


El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).