Matemáticas/Geometría Analítica/Ecuación de la Recta/Rectas Paralelas

Dos rectas paralelas.

Planos paralelos.

En la geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = $\mathbb {R} ^{2}$), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ninguna recta.

Rectas paralelas

Construcción de una línea paralela, a un punto dado, usando sólo regla y compás

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

También se le denomina así a aquellos pares de líneas que nunca se unen o cruzan.

Axioma de unicidad

El axioma que distingue a la geometría euclidiana de otras geometrías es el siguiente:

En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

Propiedades

Plantilla:Ap Dado el conjunto P de rectas en el plano, podemos definir la relación binaria: $\parallel$ que representamos del siguiente modo:

$a\parallel b\quad ,\quad \parallel (a,b)\quad ,\quad (a,b)\in \parallel$

Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:

• Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:

$\forall a\in P:\quad a\parallel a$

• Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

$\forall a,b\in P:\quad a\parallel b\longrightarrow \quad b\parallel a$

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.

• Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

$\forall a,b,c\in P:\quad {\Big (}\;a\parallel b\;\land \;b\parallel c\;{\Big )}\longrightarrow \quad a\parallel c$

Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.

Estas mismas propiedades se pueden comprobar en el conjunto de planos paralelos en el espacio.

Teoremas

• En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

• Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta (en un plano).

Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.