Cursos/Bachillerato Secundaria/4º año/Unidad 6
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[editar]Índice General
[editar]1. Prologo 1 1.1. Introducción 1.2. Descripción de la organización del texto 1.3. Convenios
- 2.1. Introducción
- 2.2. Los Números Reales
- 2.3. Nociones Métricas
- 2.4. La Completiud
- 2.5. Aproximaciones Racionales
- 2.6. Los Reales Extendidos
- 2.7. Ejercicios del Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. LOS ESPACIOS NORMADOS 3.1. Los Espacios Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Los Espacios Euclídeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3. Normas y Distancias No–Euclidianas en Rn . . . . . . . . . . . . 40 3.4. Los Espacios de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5. Los valores absolutos p–ádicos en Q . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.6. Ejercicios del capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
- 4.1. Introducción
- 4.2. Las Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
- 4.3. Las Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
- 4.4. Bolas Abiertas Cerradas y Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
- 4.5. Productos de Espacios Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
- 4.6. Algunas Nociones Métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
- 4.7. Los Reales Extendidos, R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
- 4.8. Espacios Ultramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
- 4.9. Ejercicios del Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5. LOS CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS
- 5.1. Introducción
- 5.2. Los Conjuntos Abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
- 5.3. Los Conjuntos Cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
- 5.4. Interior, Exterior, Clausura y Frontera . . . . . . . . . . . . . . . 88
- 5.5. Ejercicios del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6. LA CONTINUIDAD 99 6.1. Introducción 6 de noviembre de 2016 . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2. Definiciones de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.3. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.4. La Continuidad Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.5. Las Funciones Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.6. Los Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7. LAS SUCESIONES 123 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.2. Definiciones y Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.3. Las Sucesiones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.4. Las Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.5. La Completitud de los Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.6. Espacios de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.7. Completación de un Espacio Métrico . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.8. Ejercicios del Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8. LOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS 143 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.2. Las Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.3. Las Funciones Continuas y los Homeomorfismos . . . . . . . . . 150 8.4. Topologías de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.5. Métricas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.6. Ejercicios del capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 ÍNDICE GENERAL 5 9. LOS ESPACIOS PRODUCTOS Y COCIENTES 167 9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.2. Los Espacios Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.3. El Espacio Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.4. Los Espacios Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 9.5. Ejercicios del capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10. LOS ESPACIOS CONEXOS 189 10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.2. Las Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.3. Subespacios Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 10.4. Las Componentes Conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.5. Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 10.6. La Conexión por Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 10.7. Ejercicios del Capitulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 11. LOS ESPACIOS COMPACTOS 211 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.2. Cubiertas, subcubiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.3. Los Espacios Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.4. La Línea Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 11.5. La Compacidad en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.6. La Compacidad en los Espacios Métricos . . . . . . . . . . . . . 231 11.7. La Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.8. La Compacidad en Espacios Topológicos . . . . . . . . . . . . . 237 11.9. Ejercicios del Capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12. LAS PROPIEDADES DE SEPARACIÓN 239 12.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 12.2. Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 12.3. Los Espacios Regulares y Normales . . . . . . . . . . . . . . . . 243 12.4. Ejercicios del Capítulo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 13. LA TOPOLOGÍA DE LAS MATRICES 249 13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 13.2. El Espacio Métrico de las Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 13.3. Las Matrices y las Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . 253 6 ÍNDICE GENERAL 14. LOS GRUPOS TOPOLÓGICOS 259 14.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 14.2. Los Subgrupos Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 14.3. Los Homomorfismos Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 14.4. Conjuntos Cocientes, Espacios Homogéneos . . . . . . . . . . . . 266 14.5. Subgrupos, Cocientes y Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . 268 14.6. Subgrupos, Cocientes y Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 14.7. Ejercicios del Capítulo 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 15. LOS GRUPOS MATRICIALES 273 15.1. Los Grupos Matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 15.2. El Grupo de las Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 15.3. El Grupo Afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 15.4. Los Grupos Ortogonales y Las Esferas . . . . . . . . . . . . . . . 283 15.5. Ejercicios del Capítulo 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 15.6. Ejercicios 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 A. ALGUNAS NOCIONES DE CONJUNTOS 287 A.1. Las Operaciones on Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 A.2. El Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 A.3. Los Conjuntos Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 B. LAS FUNCIONES 291 B.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 B.2. La Composición de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 B.3. La Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 B.4. Funciones y Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 B.5. Familias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 B.6. Descomposición Canónica de una función . . . . . . . . . . . . . 297 B.7. Cardinalidad de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 C. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS REALES 299 C.1. Expansión d–aria de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . 299 D. NOCIONES DE GRUPOS 301 D.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
D.2. Los Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 D.3. Los Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 ÍNDICE GENERAL 7 D.4. Homomorfismo de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 D.5. Conjunto Cociente y Grupo Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . 307 D.6. Ejercicios D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308