Matemáticas/Ecuaciones/Ecuación Logarítmica

Definición

DESCRIPCIÓN

Son ecuaciones logarítmicas aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas dentro de un logarítmo. Por ejemplo:

log(x+6) = 1 + log(x-3)

"Puede ser conveniente repasar el tema: Función logarítmica, antes de continuar""

El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el neperiano y, normalmente, siempre la misma base en toda la ecuación.

La forma de resolverlas es la misma cualquiera que sea la base del logaritmo, por lo que en este tema vamos a simbolizar los logaritmos como log, entendiendo que la base es 10, mientras no digamos lo contrario

Recuérdese no obstante que en las escenas (ventanas gráficas), el programa llama "log" al logaritmo neperiano y "log10" al decimal. En la resolución gráfica de los ejercicios se usará por tanto log10.

Propiedades

Identidades algebraicas

Con operaciones simples

Los logaritmos se utilizan generalmente para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, se pueden multiplicar dos números utilizando una tabla de logaritmos y sumando.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$	porque	$b^{x}\cdot b^{y}=b^{y+x}$
$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	porque	${\begin{matrix}{\frac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}$
$\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$	porque	$(b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,$
$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$	porque	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$

Cancelación de exponentes

Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.

$b^{\log _{b}(x)}=x$	porque	$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$
$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$	porque	$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$

Cambio de base

$\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Esta identidad se requiere para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadoras sólo pueden procesar ln y log₁₀, pero no por ejemplo log₂. Para encontrar log₂(3), basta calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (ó bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).

Demostración: A partir de un logaritmo tal que:

$y=\log _{a}b\rightarrow a^{y}=b$

Tomando $\log _{c}$ en ambos lados de la segunda ecuación:

$\log _{c}a^{y}=\log _{c}b\,$

Se despeja $y$:

$y\log _{c}a=\log _{c}b\,$

$y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}\,$

Finalmente, como $y=\log _{a}b$:

$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

Consecuencias

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

$\log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b$

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$

Identidades triviales

$\log _{b}1=0\!\,$	porque	$b^{0}=1\!\,$
$\log _{b}b=1\!\,$	porque	$b^{1}=b\!\,$

Fuentes

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/Descartes1/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/Ecu_log.htm

http://www.vitutor.com/al/log/ecu1_Contenidos.html

https://www.matesfacil.com/ESO/logaritmos/ejercicios-resueltos-sistemas-ecuaciones-logaritmicas.html