Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 236c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Sechsunddreißigstes Kapitel

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Schlußbemerkungen zur analytischen Geometrie

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Wir wollen aber, bevor wir die analytische Geometrie verlassen, doch noch kurz einige Punkte streifen. Zuerst gelingt es uns durch Umformungen nicht allzuschwer, eine gemeinsame. Scheitelgleichung aller vier Kegelschnittskurven zu gewinnen. Als Scheitelgleichung bezeichnet man jene Gleichung der betreffenden Kurve, die man erhält, wenn ein „Scheitel“ der Kurve im Koordinatenursprung liegt und wenn außerdem die Abszissenachse die Symmetrieachse der ganzen Kurve bildet. Unsere Parabelgleichung war solch eine Scheitelgleichung.

Die gemeinsame Scheitelgleichung aller Kegelschnitte lautet $y^{2}=2p\cdot x+q\cdot x^{2}$, wobei p für den Kreis den Halbmesser und für die übrigen Kurven den halben Parameter bedeutet. Der Parameter der Ellipse ist die durch einen Brennpunkt gezogene Normale auf die große Achse, bei der Hyperbel auf die Hauptachse. Für beide ist sein Wert sonach ${\textstyle {\frac {2b^{2}}{a}}}$. Was der Parameter der Parabel ist, wissen wir schon. Nun muß man in die gemeinsame h Scheitelgleichung noch für das q verschiedene Werte einsetzen. Und zwar für den Kreis (-1), für, die Ellipse ${\textstyle -{\frac {p}{a}}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$, für die Hyperbel ${\textstyle {\frac {p}{a}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$ und für die Parabel schließlich 0.

Muß außerdem absolut kleiner sein als |1|.

Als zweite Nachbemerkung zur analytischen Geometrie wollen wir anführen, daß es nicht nur in der Ebene, sondern auch im Raum R₃ eine analytische Geometrie gibt, die sogar hervorragend wichtig ist. Wir deuten bloß an, daß bei einem dreidimensionalen rechtwinkligen Koordinatensystem Bedingungsgleichungen bzw. Funktionen mit drei Unbekannten $(x,y,z)$ oder drei Variablen erscheinen, von denen dann zwei willkürlich sind, während die dritte als zwangsläufige Veränderliche angesehen wird. Jeder Punkt wird im Raum erst durch drei Koordinaten bestimmt und die Gleichungen mit drei Unbekannten bedeuten hier Flächen. Die Rolle der Richtungskonstanten aber spielt im Raume nicht der Tangens, sondern der sogenannte Richtungskosinus. Wir wollen aber auf all dies nicht naher eingehen. Vielmehr werden wir zum Abschluß noch eine Rechtfertigung der analytischen Geometrie bringen, die an unsere Betrachtungen über die Axiome anknüpft und die ebenfalls von Hilbert stammt. Wir werden nämlich versuchen, aus der Streckenrechnung, die wir ja schon als identisch mit der Arithmetik bewiesen, die analytische Geometrie zu gewinnen, deren Identität mit der Arithmetik dann hiedurch mitbewiesen ist, so daß sich auch aus diesem Gesichtswinkel die Geometrie der Lage und die Maßgeometrie als einander lückenlos entsprechende Zweige der allgemeinen Geometrie entpuppen.

Da wir aus der Streckenrechnung seinerzeit den Fundamentalsatz der Lehre von den Proportionen ableiteten, der in Worten lautete: Schneiden zwei Parallele auf den Schenkeln eines beliebigen Winkels die Strecken a, b bzw. a', b' ab, so gilt die Proportion $a:b=a':b'$, so' dürfen wir jetzt natürlich auch für einen rechten Winkel diesen Satz in Anspruch nehmen.

Wir erweitern die Streckenrechnung nur noch durch die Festsetzung negativer Strecken je nach ihrer Lage links oder unterhalb des Winkelscheitels 0 und führen außerdem noch die Strecke 0 ein, die man etwa durch Subtraktion einer negativen von einer gleichlangen positiven Strecke erhält. Dann gilt für unseren rechten Winkel, der ja nichts anderes ist als ein rechtwinkliges Koordinatensystem, sicherlich die Proportion $a:b=x:y$, wobei x und y die Lote irgend eines Punktes der Geraden g auf die „Schenkel“ bedeuten. In den anderen Winkelräumen würden die Absolutwerte unserer Proportion dieselben sein, es würden sich bloß die Vorzeichen ändern. Nun ist aber $a:b=x:y$ nichts anderes als $a\cdot y=b\cdot x$ oder $b\cdot x-a\cdot y=0$ oder $a\cdot y-b\cdot x=0$, eine Beziehung, die man nunmehr als Gleichung der Geraden im rechtwinkligen Achsensystem ansprechen kann. Bei einer zu g parallelen Geraden g' hätten wir bloß statt x den Wert $x-c$ einzusetzen und erhielten dann als Geradengleichung $a:b=(x-c):y$ oder $a\cdot y=b\cdot x-b\cdot c$ oder $b\cdot x-a\cdot y-b\cdot c=0$, oder $a\cdot y-b\cdot x+b\cdot c=0$, was offensichtlich allgemeine Formen der analytischen Gleichungen von Geraden sind. Obwohl wir schon zu Beginn unserer, Untersuchungen in ähnlicher Art vorgegangen sind, als wir die Gleichung der Geraden ableiteten, wollten wir gleichwohl die strengste Überleitung der Lage-Geometrie, die ja in diesem Fall den „Maß-Pascal“ benützte, in die Maßgeometrie zeigen. Wozu Hilbert noch bemerkt, daß diese Überleitung ohne Verwendung des Archimedischen Axioms vor sich geht. Nach dieser Überlegung, bemerkt Hilbert, „könne der weitere Aufbau der Geometrie nach den Methoden erfolgen, die man in der analytischen Geometrie gemeinhin anwendet“, ohne daß eine Gefahr besteht, der Zusammenhang zwischen Geometrie und Arithmetik könnte an irgend einer Stelle sich lockern oder gar abreißen. Dies gilt aber nicht nur für die ebene, sondern auch für die räumliche analytische Geometrie.

Soweit die Hilbert'sche Beweisführung. Wir schließen dieses Kapitel mit der Bemerkung, daß nun auch Wege offenstehen, die Anzahl der Koordinaten über drei hinaus zu vermehren. Wir gewinnen dadurch räumliche Koordinatensysteme im R₄, R₅ ...... R_n, wobei jedem Punkt dann 4, 5, ...... n Koordinaten zugeordnet sind oder ihn bestimmen. So arbeitet etwa die Minkowski-Einsteinsche Geometrie mit vier Koordinaten, also gleichsam in einem R₄, was aber noch durch verschiedene Nebenbedingungen (Raumkrümmung, eine Koordinate imaginär) kompliziert ist. Wir werden am Schluß des Buches noch auf diese Fragen zurückkommen.

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