Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 228c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Achtundzwanzigstes Kapitel

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Quadratur des Kreises

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Stellen wir einmal folgende Betrachtung an: Wir würden die Anzahl der Seiten unseres einbeschriebenen oder umbeschriebenen Polygons stets vermehren. Bis wir endlich aus unendlich vielen unendlich kleinen Seiten ein Polygon gewonnen hätten. Dieses Polygon besteht aber aus „unendlich-schmalen“ Dreiecken, die eigentlich nichts mehr sind als Radien. Folglich ist in diesen Dreiecken auch die Höhe mit den Schenkeln gleich, nämlich gleich dem Radius des Um-In-Kreises, die hier beide zusammenfallen.

Wenn es mit also gelänge, den Umfang dieses als „unendlich-seitiges Polygon“ aufgefaßten Kreises zu gewinnen, dann dürfte ich auch die frühere Inhaltsformel anwenden und behaupten, der Flächeninhalt des Kreises sei gleich der Fläche eines Dreiecks, das den Umfang des Kreises als Grundlinie und den Radius zur Höhe hat. Also ${\frac {u\cdot r}{2}}$. Der Halbmesser sei uns gegeben, da man ja unter dem Problem der Quadratur des Zirkels (Kreises) die Gewinnung der Kreisfläche aus dem Halbmesser versteht. Es kommt also weiter für uns alles darauf an, den Umfang des Kreises zu errechnen, und wir werden uns hiezu einer Methode bedienen, die schon der große Archimedes mit Erfolg angewandt hat. Wir behaupten nämlich, daß man einem Kreis jederzeit ein Vieleck mit gleicher Seitenanzahl sowohl einbeschreiben als umbeschreiben kann. Das einbeschriebene Vieleck wird sodann aus Sehnen, das umbeschriebene aus Tangenten gebildet. Wir zeigen die Wahrheit unserer Behauptung der Einfachheit halber am regelmäßigen Sechseck.

Wir betonen ausdrücklich, daß wir uns weiter nicht darum kümmern, daß wir gerade ein Sechseck vor uns haben. Es könnte auch ein 17-Eck sein oder ein 524-Eck. Wir beachten auch nur die Gleichheit der Schenkel $OA$ und $OB$ und die Tatsache, daß diese Schenkel Radien sind. Aus diesen Stücken wollen wir ganz allgemein berechnen, wie groß, aus Radius und Seite des einbeschriebenen Polygons gewonnen, die Seite des umbeschriebenen Polygons ist. Nennen wir $AB=s$ und $OA=OB=r$, während wir $CD$ als $s_{1}$ bezeichnen. Es besteht nach Ähnlichkeitssätzen sicherlich die Proportion $OE:OF=EB:FD$ und daraus auch $OE:OF=AB:CD$, da sich eine Proportion nicht ändert, wenn man eines der beiden sie bildenden Verhältnisse mit der gleichen Zahl (hier 2) multipliziert. Setzen wir nun unsere abgekürzten Bezeichnungen ein und nehmen wir außerdem den Pythagoras zu Hilfe, nach dem $(OE)^{2}+(EB)^{2}=(OB)^{2}$ ist, dann ist auch $(OE)^{2}+{\frac {s}{2}}^{2}=r^{2}$ oder $(OE)^{2}=r^{2}-{\frac {s}{2}}^{2}$ und $OE={\sqrt {r^{2}-{\frac {s^{2}}{4}}}}$. Da aber weiters $OF=r$, so können wir unsere Proportion jetzt schreiben

${\sqrt {r^{2}-{\frac {s^{2}}{4}}}}:r=s:s_{1}$,

woraus man für $s_{1}$ durch Multiplikation der Innenglieder dividiert durch das verbleibende Außenglied erhält:

$s_{1}={\frac {r\cdot s}{\sqrt {r^{2}-{\frac {s^{2}}{4}}}}}$

Wenn wir uns nun die weitere Frage vorlegen, wie man aus der Seite eines einbeschriebenen Vielecks die Seitenlänge des demselben Kreise einbeschriebenen regelmäßigen Polygons von doppelter Seitenanzahl gewinnt, so lösen wir dieses, für unsere Quadratur ebenfalls erhebliche Vorproblem in folgender Art: Wir nennen Jetzt in unserer Figur die Seite FB des neuen Polygons $s_{2}$ und ziehen die Hilfslinie BG. Nach dem Satz vom „Winkel im Halbkreis“ ist Winkel FBG ein Rechter, da FG der Durchmesser des Kreises ist. Daher gilt die Proportion $FG:FB=FB:FE$. Da aber $FG=2\cdot r$ und $FB=s_{2}$ und da nach den früheren Berechnungen $OE={\sqrt {r^{2}-{\frac {s^{2}}{4}}}}$, so erhält man für $FE$ den Ausdruck $r-{\sqrt {r^{2}-{\frac {s^{2}}{4}}}}$. Dadurch kann man die Proportion schreiben

$2r:s_{2}=s_{2}:\left(r-{\sqrt {r^{2}-{\frac {s^{2}}{4}}}}\right)$,

woraus sich $s_{2}$ ergibt als

$s_{2}={\sqrt {2r\cdot \left(r-{\sqrt {r^{2}-{\frac {s^{2}}{4}}}}\right)}}$ oder $={\sqrt {2r^{2}-2r\cdot {\sqrt {r^{2}-{\frac {s^{2}}{4}}}}}}$

Wenn man nun etwa vom Sechseck ausgeht und zuerst den Unterschied zwischen dem einbeschriebenen und dem umbeschriebenen Sechseck bezüglich ihrer Umfänge (also $6s_{1}-6s$) feststellt, hierauf nach unserer Hilfsformel den Umfang des einbeschriebenen Zwölfecks, aus diesem wieder den Umfang des umbeschriebenen Zwölfecks berechnet, so daß man nun die Differenz ($12s_{3}-12s_{2}$) erhält, wobei $s_{3}$ die Seite des umbeschriebenen Zwölfecks bedeutet; so leuchtet ein, daß die Länge des Kreisumfanges stets größer sein muß als der Umfang des einbeschriebenen Vielecks und stets kleiner als der Umfang des umbeschriebenen Vielecks. Allerdings wird die Differenz mit wachsender Seitenanzahl der Vielecke abnehmen, da sich die beiden Vielecke stets enger an die Kreisperipherie anschmiegen. Wir haben es also, allerdings in mühevoller Art, in unserer Gewalt, die Berechnung stets weiter und weiter fortzusetzen. Finden wir endlich, daß das Um-Vieleck mit dem In-Vieleck bereits auf so und soviel Dezimalstellen übereinstimmt, dann dürfen wir für diese Anzahl von Dezimalen Um-Vieleck, In-Vieleck und Kreisperipherie für identisch ansehen.

Wir entnehmen nun als Beispiel einer derartigen Berechnung dem von uns wiederholt benützten ausgezeichneten Lehrbuch der Elelmentarmathematik von Dr. Theodor Wittstein (Hannover 1880) eine lehrreiche Zusammenstellung:

Man kann in dieser Tabelle Schritt für Schritt die zunehmende Annäherung der beiden Polygone in ihrer Umfangsgröße beobachten. Beim 768-Eck ist ein Unterschied überhaupt nur in der sechsten Dezimalstelle bemerkbar, so daß man, wenn man sich mit fünf Dezimalstellen begnügen will (was in den meisten Fällen ausreicht), die Zahl $3,14159\dotsc$ schon als brauchbare Kreiszahl oder $\pi$ (kl. griech. Pi) betrachten kann. Dieses $\pi$, das gleichsam eine Achse der ganzen Maßgeometrie und der Mathematik überhaupt bildet, heißt auch die Ludolfsche Zahl, nach Ludolf van Ceulen, der im Jahre 1596 diese Zahl mit

$\pi =3,141\ 592\ 653\ 589\ 793\ 238\ 462\ 643\ 383\ 279\ 502\ 88\dotsc \dotsc$

somit auf 35 Dezimalen berechnete. Ludolf war es, der die eben geschilderte Methode, die von Archimedes stammt, am weitesten fortführte, indem er zur Berechnung ein 1.073.741.284-Eck benützte.

Als Lohn für diesen unvorstellbaren Fleiß blieb sein Name bis heute mit der Kreiszahl $\pi$ verknüpft und noch 1840 konnte man auf seinem Grabstein die Zahl $\pi$ auf 35 Dezimalen lesen.

Heute hat man schon 500 und mehr Dezimalstellen, allerdings mit Methoden der höheren Mathematik, festgelegt. Archimedes selbst brach seinerzeit seine Untersuchung beim 96-Eck ab und erklärte, $\pi$ liege zwischen $3^{\;1}/_{7}$ und $3^{\;10}/_{71}$, was man aus unserer Tabelle als richtig überprüfen kann. Die alten Griechen hatten übrigens die große Erschwerung bei solchen Rechnungen, daß sie mangels Kenntnis des Dezimalbruchsystems auch Wurzeln usw. viel weniger leicht berechnen konnten als wir. Daher ist die Leistung des Archimedes unbedingt aller Bewunderung und Ehrfurcht wert, um so mehr, als ihm ja noch keine Kontrollmöglichkeit zu Gebote stand. Im siebzehnten nachchristlichen Jahrhundert hat Leibniz durch seine Reihe ${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\dotsc$ es zwar wahrscheinlich gemacht, daß die Zahl $\pi$ niemals erschöpfend berechnet werden könne, also transzendent sei, wie man sagt. Der volle Beweis der Transzendenz von $\pi$ stammt jedoch erst von Lindsmann aus den Achtzigerjahren des 19. Jahrhunderts.

Nun haben wir endlich das Mittel an der Hand, um durch Verbindung all unserer gewonnenen Kenntnisse die rechnerische Quadratur des Zirkels zu leisten. Wenn nämlich, wie wir in der Tabelle feststellten, der halbe Polygonumfang, der für Um-Polygon, In-Polygon und Kreis identisch wird, die Größe $r\cdot \pi$ erreicht, dann ist wohl der ganze Kreisumfang $2r\cdot \pi$ oder $d\cdot \pi$, wenn man $2r=d$ (Durchmesser) setzt. Wenn aber u (Umfang des Kreises) $=2r\cdot \pi$, dann ist der Inhalt gemäß unserer Polygon-Dreiecks-Verwandlungsformel, wie wir schon erwähnten, ${\frac {u\cdot r}{2}}$ und wenn wir für $u=2r\cdot \pi$ einsetzen ${\frac {2r\cdot \pi \cdot r}{2}}=r\cdot \pi \cdot r=r^{2}\cdot \pi$. Es verhalten sich demnach, da $\pi$ stets konstant bleibt, zwei Kreisumfänge der Kreise mit den Radien $r_{1}$ und $r_{2}$ wie $(2r_{1}\cdot \pi ):(2r_{2}\cdot \pi )$ oder wie $r_{1}:r_{2}$, also wie die Radien. Zwei Kreisflächeninhalte dagegen verhalten sich wie $(r_{1}^{2}\cdot \pi ):(r_{2}^{2}\cdot \pi )$, also wie $a_{1}^{2}:a_{2}^{2}$ oder wie die Quadrate ihrer Radien, was man nach Leibniz, wenn man statt der Radien die Durchmesser nimmt und $({\frac {d_{1}}{2}})^{2}\cdot \pi :({\frac {d_{2}}{2}})\cdot \pi =d_{1}^{2}:d_{2}^{2}$ schreibt, direkt aus der Anschauung entnehmen kann, da alle Kreise und alle Quadrate einander ähnlich sind.

Nun wollen wir aber, nach Leistung der Kreisquadratur, das Gebiet der Flächenmessung verlassen und uns der Winkelmessung in einer neuen Form, nämlich der Messung der Winkel aus den Seiten und der Seiten aus den »Winkeln zuwenden. Wir fügen nur noch der Vollständigkeit halber bei, daß man die Fläche eines Dreiecks auch aus seinen drei Seiten nach der sogenannten Formel des Heron von Alexandria berechnen kann. Da diese Formel, die schon den alten Indern bekannt war, mittels des Pythagoras und mittels Elimination der zuerst als gegeben vorausgesetzten Höhe gewonnen wird, würde uns die Ableitung nichts Neues bringen. Wir lassen sie daher fort und stellen bloß fest, daß a, b, c die drei Seiten eines beliebigen Dreiecks und nach der üblichen Schreibweise s die Hälfte der Seitensumme, also $s={\frac {a+b+c}{2}}$ oder $2s=a+b+c$ bedeutet. Der Inhalt des Dreiecks ist sodann $I_{D}={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}$, womit wir dieses Kapitel endgültig beschließen.

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