Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 226c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Sechsundzwanzigstes Kapitel

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Vielecke im engeren Sinne oder Polygone

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Nun wenden wir uns zu den Polygonen im engeren Sinne, das sind alle Vielecke, die mehr als vier Ecken und Seiten haben. Dazu bemerken wir aber, daß die meisten der folgenden Sätze auch für Dreiecke und Vierecke Geltung haben, allerdings manchmal nur als Grenzfälle oder Degenerationen. Wie schon gesagt, ist beim Polygon die Anzahl der Seiten gleich der Anzahl der Ecken und daher auch gleich der Anzahl der Winkel.

Wie groß ist nun die Anzahl der Diagonalen in einem n-Eck, wobei n jede endliche ganze Zahl, die größer ist als 2, bedeuten kann? Schließen wir ohne Scheu logisch: Aus jedem Eckpunkt lassen sich wohl zu allen anderen Eckpunkten Diagonalen ziehen. Also ($n-1$) Diagonalen. Ist das aber richtig? Nein, es ist falsch, da überdies noch die zwei benachbarten Eckpunkte wegfallen, zu denen man zwar Seiten, aber keine Diagonalen ziehen kann. Also hätten wir ($n-3$) Diagonalen, die man aus einem Eckpunkt ziehen kann. Ziehe ich nun die Diagonalen aus allen Eckpunkten, so muß ich $n\cdot (n-3)$ Diagonalen erhalten. Das ist aber wieder falsch. Denn dabei würde ich jede Diagonale doppelt zählen. Etwa die Diagonale AG und die Diagonale GA, die doch identisch sind. Folglich habe ich in Wahrheit als Anzahl aller Diagonalen im n-Eck $A_{d}={\frac {n\cdot (n-3)}{2}}$. Dieser Satz gilt für ein beliebiges $n>2$. Im Dreieck haben wir nach dieser Formel 0, im Viereck 2, im Sechseck 9 und im 23-Eck 230 Diagonalen.

Wir sprachen davon, daß von jedem Eckpunkt $(n-3)$ Diagonalen gezogen werden können. Durch diese $(n-3)$ Diagonalen wird unser Polygon in $(n-2)$ Dreiecke zerlegt. Und zwar muß die Anzahl der Dreiecke um eins größer sein als die Anzahl der Diagonalen, weil die erste Diagonale das erste Dreieck abschneidet, die zweite das zweite und so weiter, bis endlich die letzte Diagonale zwei Dreiecke, nämlich das $(n-3){\text{te}}$ und das $(n-2){\text{te}}$ bildet, da sie eigentlich als Diagonale eines Vierecks auftritt. Auch diese Sätze gelten für jedes $n>2$. Denn $(n-3)$, also 0 Diagonalen zerlegen das Dreieck in $(n-2)$, also in ein Dreieck. Beim Viereck zerlegt eine Diagonale das Viereck in zwei Dreiecke, beim Fünfeck zerlegen $(5-3)$, also 2 Diagonalen dieses Polygon in drei Dreiecke usw. Man könnte nun mit Recht fragen, was eintritt, wenn einspringende Ecken vorhanden sind, so daß die Diagonalen ganz oder zum Teil außerhalb des Vielecks verlaufen. Wir zeigen, daß man dann jederzeit die entsprechende Anzahl Ersatzdiagonalen aus anderen Eckpunkten ziehen kann, so daß unsere beiden Formeln unangetastet aufrecht bleiben.

Die beiden ersten Fälle der Zeichnung sind klar. Es handelt sich um Sechsecke, die durch $(6-3)$ Diagonalen in je $(6-2)=4$ Dreiecke zerlegt werden. Der dritte Fall eines Neunecks mit 4 einspringenden Winkeln ist verwickelter. Hier mußten wir, um die $(9-3)=6$ Diagonalen zu erhalten, für die 4 Ersatzdiagonalen den Punkt F heranziehen, den wir sodann mit H, B, C und D verbanden. Gleichwohl gelang es uns auch in diesem Falle, durch 6 Diagonalen 7 Zerlegungsdreiecke zu gewinnen. Dies läßt sich in jedem denkbaren Fall durchführen, wie wir aus unseren Erfahrungen schließen, wenn es auch ein wenig Kopfzerbrechen verursacht.

Nun wollen wir weiters wissen, wie groß die Winkelsumme im n-Eck ist. Auch darüber belehrt uns unsere Zerlegungsaufgabe. Wir sehen aus den Figuren, daß die Vieleckswinkel alle durch Dreieckswinkel ausgefüllt sind, ohne daß ein Dreieckswinkel übrig bleibt. Also ist die Winkelsumme des Polygons wohl gleich der Anzahl der Zerlegungsdreiecke mal der Winkelsumme des Dreiecks, somit $(n-2)\cdot 2R$ oder, aus der Anzahl der Polygonseiten gerechnet, durch einfache Ausmultiplikation obiger Formel$S_{n}=n\cdot 2R-4R$, was ebenfalls beides auch für Dreiecke und Vierecke Geltung hat. Denn beim Dreieck ist $S_{3}=3\cdot 2R-4R=2R$, beim Viereck ist $S_{4}=(4-2)\cdot 2R=2\cdot 2R==4R$ Rund etwa beim 17-Eck ist $S_{1}7=(17-2)\cdot 2R=30R$ oder 2700 Winkelgrade, was eine siebeneinhalbmalige Umdrehung des kreisend gedachten Winkelschenkels bedeutet. Dabei gilt weiters der Folgesatz, daß in jedem Vieleck wenigstens drei hohle Winkel (Winkel unter 180°) vorhanden sein müssen. Denn sollte ein Polygon etwa nur zwei hohle Winkel besitzen, dann müßte es wohl bei n Ecken $(n-2)$ erhabene, also über 180° große Winkel haben. Da aber jeder erhabene Winkel größer ist als 180°, wäre dann die Winkelsumme des n-Eckes schon allein durch die erhabenen Winkel $(n-2)$ mal einer Winkelgröße, die größer wäre als 180°. Folglich wäre schon durch die erhabenen Winkel die Gesamtwinkelsumme $(n-2)\cdot 2R$ überschritten, da sie, ohne die beiden hohlen Winkel bereits $(n-2)\cdot (2R+\varepsilon )$ betrüge, wobei $\varepsilon$ sämtliche, auch noch so kleine Zuwächse über 180° bedeutet, die die Winkel zu erhabenen machen. Sind dagegen 3 hohle Winkel vorhanden, dann hätten wir als Summe der erhabenen $(n-3)\cdot (2R+\varepsilon )=2R\cdot n-6R+\varepsilon \cdot (n-3)$, was von $2R\cdot n-4R$ subtrahiert die Differenz $2R-\varepsilon \cdot (n-3)$ ergibt und was die jederzeit erfüllbare Bedingung darstellt, daß mit drei hohlen Winkeln ein Polygon zustandekommt. Es braucht nämlich dazu die durchschnittliche Überschreitung fer erhabenen Winkel über 180° multipliziert mit $(n-3)$ nur um einen endlichen Betrag kleiner zu sein als $2R$. Dieser endliche Betrag ist dann die Summe der drei hohlen Winkel.

Wenn wir noch als weitere Vielecksätze hinzufügen, daß zwei Polygone dann kongruent sind, wenn ihre homologen Zerlegungsdreiecke kongruent sind; und daß sich umgekehrt kongruente Polygone stets in homolog kongruente Dreiecke zerlegen lassen, beherrschen wir eigentlich die ganzen planimetrischen Sätze über Vielecke mit Ausnahme der Sondersätze für regelmäßige Polygone, von denen wir bei den Konstruktionen sprechen werden. Nur den Satz über die Winkel regelmäßiger oder regulärer Vielecke wollen wir noch nachtragen. Da in einem regelmäßigen Vieleck definitionsgemäß alle Seiten und alle Winkel einander gleich sein müssen, ist jeder einzelne Winkel gleich ${\frac {s_{n}}{n}}$ oder gleich der Gesamtwinkelsumme des betreffenden n-Eckes dividiert durch die Anzahl der Winkel, Seiten oder Ecken, was ja dasselbe ist. Also $W_{R_{n}}$ (Winkel des regulären n-Eckes) $={\frac {(n-2)\cdot 2R}{n}}={\frac {2\cdot R\cdot n}{n}}-{\frac {4R}{n}}=2R-{\frac {4R}{n}}=2R\cdot (1-{\frac {2}{n}})$. Da auch dieser Satz für alle $n>2$ gilt, so erhalten wir für das

regelmäßige Dreieck:		$W_{R_{3}}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$
regelmäßige Viereck:		$W_{R_{4}}=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$
regelmäßige Fünfeck:		$W_{R_{5}}=180^{\circ }-72^{\circ }=109^{\circ }$
regelmäßige Sechseck:		$W_{R_{6}}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$
regelmäßige Zehneck:		$W_{R_{1}0}=180^{\circ }-36^{\circ }=144^{\circ }$
regelmäßige Achtzehneck:		$W_{R_{1}8}=180^{\circ }-20^{\circ }=160^{\circ }$

und so weiter,

bis der Winkel beim regelmäßigen $\infty$-Eck, also beim Kreis, den Wert $180^{\circ }-{\frac {360^{\circ }}{\infty }}=180^{\circ }-\lim 0$, somit den Wert 180° annimmt. Dieses Resultat ist aber äußerst paradox, da der Kreis dadurch zu einer unendlichen Geraden entarten müßte. Für jeden Fall nähern sich aber die Einzelwinkel von regulären Vielecken endlicher Seitenanzahl bei Vergrößerung des n stets mehr dem Wert von 180 Graden, da der Minuend in $2R-{\frac {4R}{n}}$, also ${\frac {4R}{n}}$ durch Vergrößerung des n stets kleiner werden muß.

Zum Abschluß unserer Betrachtungen über Polygone bringen wir noch die „Quadratur“ der Vielecke. Wir wollten etwa zuerst ein beliebiges n-Eck, etwa ein Fünfeck, in ein inhaltsgleiches Dreieck verwandeln.

Wir zogen zuerst im Fünfeck ABCDE die Diagonale AD. Zogen dann von E zu dieser eine Parallele nach F, also bis zum Schnitt mit der verlängerten Basis AB. Hierauf verbanden wir F mit D. Darauf zogen wir eine zweite Diagonale des Fünfecks aus D nach B. Legten dazu aus C eine Parallele bis G und verbanden G mit D. Nun sind die Dreiecke ADF und ADE, sowie die Dreiecke BGD und BDG flächengleich. Das Fünfeck besteht aber aus den Dreiecken ABD, ADE und BGD und das Dreieck aus den Teildreiecken ABD, ADF (= ADE) und BDG (= BGD). Sonach ist das Fünfeck flächengleich mit dem Dreieck, was zu beweisen war. Nun kann man aber weiter rein konstruktiv jedes Dreieck in ein Rechteck und jedes Rechteck in ein Quadrat verwandeln, wodurch eine mittelbare konstruktive Quadratur jedes Polygons möglich ist, allerdings bei höherer Seitenanzahl in ziemlich komplizierter Art.

Wir haben in unserem Beweis die Flächengleichheit gewisser Dreiecke behauptet. Wir geben den Grund hiefür an. Die erwähnten Dreiecke haben die gemeinsamen Grundlinien AD bzw. BD und gleiche Höhen, da die Höhen Lote zwischen Parallelen darstellen würden, die unbedingt einander gleich sein müssen. Und wenn zwei Dreiecke gleiche Grundlinien und gleiche Höhen haben, sind sie flächen- oder inhaltsgleich. Nun haben wir, bisher kaum über das Inhaltsmaß gesprochen, was wir sofort in einem eigenen Kapitel nachtragen wollen. Wir werden aber hiezu nicht vom Dreieck, sondern aus gewissen Gründen vom Viereck ausgehen.

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