Álgebra Universitaria/Ecuaciones Diferenciales/Ecuaciones de Segundo Orden

Ecuación lineal con coeficientes constantes

La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma:

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=f(x)$

La resolución de esta ecuación depende de las raíces del polinomio característico:

$a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0\,$

En función de cómo sean las raíces de dicho polinomio se distinguen tres casos posibles y distintos:

• Caso 1: dos raíces reales y distintas $(\lambda _{1}\neq \lambda _{2})\,$, en este caso la solución general tiene la forma:

$y(x)=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}+{\frac {e^{\lambda _{1}x}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\int _{x_{0}}^{x}e^{-\lambda _{1}u}f(u)du+{\frac {e^{\lambda _{2}x}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\int _{x_{0}}^{x}e^{-\lambda _{2}u}f(u)du$

• Caso 2: dos raíces reales e iguales $(\lambda _{1}=\lambda _{2})\,$, en este caso la solución general tiene la forma:

$y(x)=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}xe^{\lambda _{1}x}+xe^{\lambda _{1}x}\int _{x_{0}}^{x}e^{-\lambda _{1}u}f(u)du-e^{\lambda _{1}x}\int _{x_{0}}^{x}xe^{-\lambda _{2}u}f(u)du$

• Caso 3: dos raíces complejas conjugadas $(\lambda _{1}=p+qi,\lambda _{2}=p-qi)\,$, en este caso la solución general tiene la forma:

$y(x)=e^{px}(C_{1}\cos qx+C_{2}\sin qx)+{\frac {e^{px}\sin qx}{q}}\int _{x_{0}}^{x}e^{-pu}f(u)\cos qu\ du-{\frac {e^{px}\cos qx}{q}}\int _{x_{0}}^{x}e^{-pu}f(u)\sin qu\ du$

El último término de esta última ecuación está relacionado con la integral de Duhamel.

Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy

Esta ecuación tiene la forma:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=g(x)$

Y puede resolverse mediante el cambio de variable $x=e^{t}\,$ que transforma la ecuación anterior en una ecuación de coeficientes constantes resoluble por los métodos de la sección anterior:

${\frac {d^{2}{\bar {y}}}{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d{\bar {y}}}{dt}}+b{\bar {y}}=g(e^{t}),\qquad {\bar {y}}(t)=y(e^{t})$

Ecuaciones de Bessel

Véase también: Función de Bessel

La ecuación diferencial de Bessel, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-n^{2})y=0$

Esta ecuación es resoluble mediante las llamadas funciones de Bessel:

$y(x)=C_{1}J_{n}(x)+C_{2}Y_{n}(x)\,$

Además de esta ecuación existe otra ecuación resoluble mediante funciones de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel modificada, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(2p+1)x{\frac {dy}{dx}}+(\alpha x^{2r}+\beta ^{2})y=0$

Cuya solución viene dada por:

$y(x)=x^{-p}\left[C_{1}J_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)+C_{2}Y_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)\right],\qquad q:={\sqrt {p^{2}-\beta ^{2}}}$

Ecuación de Legendre

Véase también: Polinomios de Legendre

La ecuación diferencial de Legendre, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas esféricas. La ecuación tiene la forma:

$(1-x^{2}){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+n(n+1)y=0$

Cuando n es un entero una de las dos soluciones independientes que conforman la solución general de la ecuación anterior es el polinomio de Legendre de grado n:

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}$

Las solución general puede expresarse en la forma:

$y(x)=C_{1}U_{n}(x)+C_{2}V_{n}(x)\,$, o bien, $=y(x)={\bar {C}}_{1}P_{n}(x)+{\bar {C}}_{2}Q_{n}(x)$

Donde:

${\begin{cases}U_{n}(x)=1-{\cfrac {n(n+1)}{2!}}x^{2}+{\cfrac {n(n-2)(n+1)(n+3)}{4!}}x^{4}-\ldots \\V_{n}(x)=x-{\cfrac {(n-1)(n+2)}{3!}}x^{3}+{\cfrac {(n-1)(n-3)(n+2)(n+4)}{5!}}x^{5}-\ldots \end{cases}}$

$P_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)/U_{n}(1)&n=0,2,4,\ldots \\V_{n}(x)/V_{n}(1)&n=1,3,5,\ldots \end{cases}}$, y $Q_{n}(x)={\begin{cases}V_{n}(x)U_{n}(1)&n=0,2,4,\ldots \\-U_{n}(x)V_{n}(1)&n=1,3,5,\ldots \end{cases}}$