Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 092c

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Mathematik von A bis Z (Teil 29)

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Neunundzwanzigstes Kapitel

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Parabelquadratur des Archimedes

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Der große Archimedes hat unbestritten das Verdienst, für die Quadraturen krummlinig begrenzter Flächen als erster derart geniale Methoden ausgebildet zu haben, daß diese Methoden bis zum Ende des siebzehnten Jahrhunderts nachwirkten und in Anwendung standen.

Wir werden deshalb die Mühe nicht scheuen, etwas tiefer in die archimedische Methode einzudringen, und wählen als Beispiel die Quadratur der „gemeinen Parabel“, die Archimedes als erster durchführte und die er in seinen Schriften „Quadratur der Parabel“, „Vom Gleichgewicht der Ebene II“ u. a. behandelte. Und zwar wollen wir uns dabei seine rein geometrischen Versuche ansehen und die für uns zu schwierigen statischen Methoden beiseite lassen.

Die geometrische Methode, die Archimedes anwendet, ist die später sogenannte Exhaustions- oder Ausschöpfungsmethode, die im Wesen auf nichts anderes hinausläuft als auf die Einbeschreibung gleichartiger oder regelmäßiger geradlinig begrenzter Figuren in die Kurve. Eine stets zunehmende Vielheit dieser immer kleiner werdenden Figuren ergibt ein zunehmendes Anschmiegen der geradlinig begrenzten Figuren an die krumme Linie, bis man nach unendlicher Wiederholung zu so kleinen Begrenzungsgeraden der geradlinig begrenzten Figuren gelangt, daß man sie als Elemente der Kurve betrachten darf. Nun gilt es aber noch, den zweiten, wesentlicheren Schritt zu tun: Man muß auch imstande sein, die unendliche Anzahl der geradlinig begrenzten Figuren zu summieren, da erst diese unendliche Summe uns die Fläche der „ausgeschöpften“, durch unendlich viele geradlinig begrenzte Figuren ausgefüllten, krummlinig begrenzten Fläche liefern kann. Wie dies möglich ist, werden wir später sehen. Jetzt zeichnen wir uns vorläufig ein beliebiges Stück einer „gemeinen Parabel“ hin, von der auch schon zur Zeit des Archimedes zahlreiche Eigenschaften bekannt waren (s.Fig 53).

Gesucht ist der Flächeninhalt eines Parabelabschnittes, eines sogenannten Parabelsegments.

(Segment ist ein Abschnitt, Rektor ein Ausschnitt. Anfänger mögen sich für Segment als Verbildlichung den Abschnitt eines kreisförmigen Brotes, für Sektor das Tortenstück aus einer kreisrunden Torte merken.)

Wir beschreiben nun diesem Segment ein Dreieck ein, dessen Scheitel im sogenannten Hauptscheitel der Parabel liegt. Aus Gründen der Einfachheit und besseren Vergleichbarkeit mit der Integralbehandlung der Parabel, die wir später vornehmen werden, betrachten wir nur die obere Hälfte des Segments. In dieser Hälfte liegt also jetzt ein großes rechtwinkliges Dreieck (die Hälfte des ganzen einbeschriebenen Dreiecks), dessen Hypotenuse vom Hauptscheitel der Parabel bis dorthin reicht, wo die den Abschnitt begrenzende Sehne oben die Parabel schneidet. Katheten dieses, von uns „das große Dreieck“ getauften Triangels sind ein Stück der Mittelachse der Parabel und eine darauf senkrechte Gerade S, die nichts anderes als die halbe Sehne ist.

Fig. 53

Nun beginnen wir die „Exhaustion“, die „Ausschöpfung“. Wir machen hiezu die Hypotenuse des „großen Dreiecks“ zur Grundlinie eines neuen (in unserer Figur geschrafften) Dreiecks, das durchaus kein rechtwinkliges mehr ist. Auf zwei Seiten dieses geschrafften Dreiecks sitzen neuerdings zwei „schwarze“ Dreiecke, deren Scheitel, wie alle Dreiecksscheitel unserer Dreiecke, in der Parabel liegen. Nun können wir in Gedanken das Spiel weitertreiben. Wir würden auf je zwei freie Seiten der „schwarzen Dreiecke“ wieder je zwei noch kleinere Dreiecke aufsetzen, die ihre Scheitel natürlich auch in der Parabel hätten usw. bis ins Unendliche. Daß diese Dreiecke schließlich unser ganzes Halbsegment füllen müssen, wird jeder

zugeben. Wie aber bilden wir die Flächensumme all dieser unendlich vielen Dreiecke?

Hier nun werden wir das mathematische Genie der alten Griechen im hellsten Lichte strahlen sehen. Und werden dazu noch die unwahrscheinliche Klarheit und Einfachheit bewundern, mit der die Bewältigung dieses scheinbar unlösbaren Problems geleistet wurde. Archimedes sagte sich nämlich, daß eine unendliche Summe nur aus einer fallenden Reihe gebildet werden könne, deren Einzelglieder miteinander in irgendeinem rationalen Verhältnis ständen. So wußte man etwa, daß die Summe einer Reihe $\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+$ ... einen runden rationalen Wert lieferte, wenn man unendlich viele Glieder addierte. Nämlich 2. Wenn es also gelang, unsere offensichtlich kleiner werdenden Dreiecke in ein konstantes Verkleinerungsverhältnis zueinander zu bringen, dann war das ganze Problem auf das Problem der Summierung einer unendlichen fallenden Reihe zurückgeführt. Und das „große Dreieck“ konnte so groß sein als man wollte. Man würde es einfach als 1 annehmen und die anderen Dreiecke in Teilen dieser 1 ausdrücken. Wenn aber die Summierung der unendlichen Reihe einmal erfolgt war, dann konnte man das Ergebnis noch immer mit dem wirklichen Flächeninhalt des „großen Dreiecks“ multiplizieren, woraus sich dann die Quadratur der Parabel, genau und rational, ergeben müßte.

Archimedes hat dieses Ziel tatsächlich erreicht. Und wir werden jetzt in vereinfachender Form seinen Gedankenflügen folgen. Dazu wird uns die schematische Figur ausgezeichnete Dienste leisten, deren übersichtliche Darstellungsart vom Maler Hans Strohofer, dem Zeichner aller unserer Textbilder, stammt. Wir schicken voraus, daß die Parabel höchst merkwürdige Eigenschaften besitzt, deren Erörterung uns zu weit führen würde. Es sei daher nur erwähnt, daß alle parallelen waagrechten Geraden, die die Parabel in $S$, $S_{3}$, $S_{2}$, $S'_{3}$ usw. treffen, Durchmesser der Parabel heißen. Ein solcher Durchmesser teilt eine Parabelsehne dann in zwei gleiche Teile, wenn das Stück des Parabeldurchmessers, das zwischen der Sehne und der Parabel liegt, in dem betreffenden Parabelsegment das längstmögliche derartige Stück eines Durchmessers ist. In diesem Falle heißt auch der Schnittpunkt des Durchmessers mit der Parabel „der Scheitel“ des betreffenden Segments. So etwa ist $S_{1}$ der Scheitel des durch die Sehne $SS'$ abgeschnittenen Segments, $S_{2}$ der Scheitel des Segments zwischen $S$ und $S_{1}$, $S'''_{3}$ der Scheitel des Segments der Sehne $S'_{2}S'$ usf.

Weiter sei angeführt, daß schon die alten Griechen, natürlich auch Archimedes, wußten, daß sich das Achsenstück b zu einem Teil von b verhalte wie $h^{2}$ zum Quadrat der aus dem Teilpunkte bis zur Parabel hinaufgezogenen Senkrechten, was in unserer modernen mathematischen Sprache auf nichts anderes hinausläuft als auf die analytische Gleichung der gemeinen Parabel $y^{2}=x$ oder $y={\sqrt {x}}$.

(Die Abszissen des Endpunktes x und des Teilpunktes x' verhalten sich dann nämlich so wie die zugehörigen Ordinaten-Quadrate $y^{2}$ und $y'^{2}$!. Jeder Parabelpunkt ist also durch $y^{2}=x$ ausgedrückt.)

Nun wollen wir aber das eigentliche Problem erörtern und hiezu die Figur zur Hand nehmen (s. Fig. 54).

Das „große Dreieck“ hat hier die Katheten b und h und die Hypotenuse $SS'$ . Sein Flächeninhalt ist somit $\textstyle {\frac {bh}{2}}$. Ziehen wir nun im Punkt $\textstyle {\frac {h}{2}}$ einen „Durchmesser“, so gewinnen wir einen neuen „Parabelscheitel“ $S_{1}$ des Abschnittes $SS'S_{1}$. Ein diesem neuen Abschnitt einbeschriebenes Dreieck $SS'S_{1}$ können wir uns aus zwei, durch die Strecke $\textstyle {\frac {b}{4}}$ zerlegten Teildreiecken entstanden denken , die beide die Grundlinie $\textstyle {\frac {b}{4}}$ und die Höhe $\textstyle {\frac {h}{2}}$ besitzen. Sie sind somit beide zusammen $\textstyle 2\cdot ({\frac {b}{4}}\cdot {\frac {h}{2}})$ groß. Das heißt aber, daß das Dreieck $SS'S_{1}$ die Fläche $\textstyle ({\frac {bh}{8}}\cdot 2):2$, also $\textstyle {\frac {bh}{8}}$ aufweist. In der Sprache der früheren Figur könnte ich also schon sagen, das „große Dreieck“ $\textstyle {\frac {bh}{2}}$ sei viermal so groß als das „geschraffte Dreieck“ $\textstyle {\frac {bh}{8}}$.

Fig. 54

Nun ziehen wir zwei weitere Durchmesser bei $\textstyle {\frac {h}{4}}$ und bei $\textstyle {\frac {3h}{4}}$, das heißt, wir teilen die beiden $\textstyle {\frac {h}{2}}$ wieder in Hälften. Die Durchmesser aus diesen Teilungspunkten erzeugen zwei neue Parabelscheitel $S_{2}$ und $S'_{2}$. Da wir nun den neuen Segmenten $SS_{1}S_{2}$ und $S_{1}S'_{2}S'$ zwei neue Dreiecke $SS_{1}S_{2}$ und $S_{1}S'_{2}S'$ einbeschreiben können, die wir in der früheren Figur als die „schwarzen Dreiecke“ bezeichneten, wiederholt sich auf Grund allgemeiner Parabeleigenschaften das eben abgeschlossene Spiel mit veränderten Größen aufs neue. Wir haben vier, je durch die Grundlinien $\textstyle {\frac {b}{16}}$ geteilte gleichgroße Teildreiecke, deren je zwei ein „schwarzes Dreieck“ zusammensetzen. Jedes Teildreieck hat die Fläche $\textstyle ({\frac {b}{16}}\cdot {\frac {h}{4}}):2$ und alle vier sind $\textstyle (4\cdot {\frac {bh}{64}}):2$ groß. Also $\textstyle {\frac {bh}{32}}$. Das aber heißt nichts anderes, als daß die zwei schwarzen Dreiecke zusammen ein Viertel des „schraffierten Dreiecks“ $\textstyle {\frac {bh}{8}}$ ausmachen. Wenn wir dasselbe Bildungsgesetz weiter anwenden und die $\textstyle {\frac {h}{4}}$ in der Figur halbieren, gewinnen wir durch vier neue Durchmesser vier neue Parabelsegmentscheitel $S_{3}$, $S'_{3}$, $S''_{3}$, $S'''_{3}$. Damit aber vier „Ausschöpfungsdreiecke“, die zusammen acht Teildreiecke der Basis $\textstyle {\frac {b}{64}}$ bilden. Ihre Gesamtfläche ist also

$\textstyle 8({\frac {b}{64}}\cdot {\frac {h}{8}}):2$ oder $\textstyle 4\cdot {\frac {bh}{512}}={\frac {bh}{128}}):2$

Das heißt jedoch wieder nichts anderes, als daß unsere neuen vier „Exhaustionsdreiecke“ zusammen ein $\textstyle {\frac {1}{4}}$ mal so groß sind als die zwei „schwarzen Dreiecke“, deren Fläche $\textstyle {\frac {bh}{32}}$ betrug. Ohne auf die berauschenden Folgerungen einzugehen, die wir noch in bunter Vielfalt aus unserer Figur gewinnen könnten, ziehen wir jetzt für unser spezielleres Problem die Schlüsse. Wir fanden zwingend, daß unsere „Ausschöpfung“, unter der Bedingung fortgesetzter Halbierung von h und der daraus sich ergebenden Durchmesserziehung und Dreiecksbildung, eine fallende Reihe liefert, die wir vorläufig in Worten anschreiben wollen: Großes Dreieck ist viermal so groß als geschrafftes. Geschrafftes viermal so groß als zwei schwarze. Zwei schwarze viermal so groß als vier Dreiecke der Scheitel $S_{3}$, $S'_{3}$, $S''_{3}$, $S'''_{3}$ usw. ins Unendliche. Wenn wir nun das „große Dreieck“ als Einheit nehmen, was wir ohne weiteres dürfen, dann lautet die Reihe: Fläche des Parabelsegments ist gleich $\textstyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\dots$, weil in dieser Reihe jedes Glied $\textstyle {\frac {1}{4}}$ des vorhergehenden darstellt. Nun soll noch, wie wir schon erwähnten, das Ergebnis der Summierung dieser unendlichen Reihe mit dem tatsächlichen Flächeninhalt des „großen Dreiecks“ multipliziert werden. Also Schlußergebnis:

Parabelsegment = Großes Dreieck × $\textstyle (1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\dots )$.

Jetzt erübrigt nur noch, zu erfahren, wie groß die Summe der fallenden Reihe für unendlich viele Glieder wird. Vorgreifend wollen wir verraten, daß sie nach der Formel $\textstyle S_{infty}={\frac {a}{1-q}}$ zu bilden ist, wobei a das „Anfangsglied“ und q den „Quotienten“ oder die Verkleinerungszahl bedeutet. Anfangsglied bei uns ist 1, Verkleinerungszahl $\textstyle {\frac {1}{4}}$, also ist $\textstyle S_{\infty }={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{\frac {1}{3}}}={\frac {4}{3}}$.

Mit dieser Erkenntnis ist alles geleistet. Das Parabelhalbsegment hat rational und genau $\textstyle {\frac {43}{b}}$ oder $\textstyle 1{\frac {1}{3}}$ der Fläche des großen Dreiecks. Wenn wir nun die punktierten Linien dazunehmen, dann erhalten wir ein Rechteck mit den Seiten b und h, das doppelt so groß ist als das große Dreieck. Wenn wir weiter erwägen, daß das „große Dreieck“ auch als $\textstyle {\frac {3}{3}}$ bezeichnet werden kann, da sich $\textstyle {\frac {4}{3}}:1$ so verhält wie $\textstyle {\frac {4}{3}}:{\frac {3}{3}}$, dann ist das Rechteck $\textstyle {\frac {6}{3}}=2$ groß. Wenn wir schließlich fragen, wie sich das Parabelhalbsegment zum Rechteck verhält, ergibt sich als Antwort: Eben wie $\textstyle {\frac {4}{3}}:{\frac {6}{3}}$ !Das aber heißt wieder nichts anderes als $\textstyle {\frac {4}{3}}$ dividiert durch $\textstyle {\frac {6}{3}}$ oder durch 2; und sagt mir, daß das Parabelhalbsegment zwei Drittel des Rechtecks aus seiner Halbsehne und des durch diese Halbsehne abgeschnittenen Achsenstückes ist.

(Analytisch gesprochen ist es das Rechteck aus den Koordinaten des Parabelpunktes, in dem die Sehne die Parabel schneidet.)

Bevor wir diesen Ausflug in die berauschend herrlichen Gefilde klassisch griechischcr Proportionengeometrie verlassen, fügen wir noch bei, daß das erste Dreieck durchaus kein rechtwinkliges sein muß. Wir hätten auch irgendein schief abgeschnittenes Segment, etwa das geschraffte Dreieck als Ausgangsdreieck wählen können und korrekterweise sogar wählen müssen, um vollste Allgemeinheit zu erreichen. Wenn wir dies aber wirklich getan hätten, dann hätten wir noch gefunden, daß die durch gegenüberliegende Eckpunkte eines Parallelogramms laufende Parabel auch ein schiefwinkliges Parallelogramm im Verhältnis $\textstyle {\frac {2}{3}}$ zu $\textstyle {\frac {1}{3}}$ teilt und daß alle weiteren Exhaustionsdreiecke zusammen stets $\textstyle {\frac {1}{2}}$mal so groß sind als das Ausgangsdreieck, dessen Basis die Abschnittsehne und dessen Scheitel der richtige Scheitel des betreffenden Ausgangssegments ist. Unsere orthogonale (rechtwinklige) Darstellung des Segments war nur eine Erleichterung der Beweisführung und Demonstration und eine vorgreifende Rücksichtnahme auf die Bestätigung des archimedischen Ergebnisses im Cartesischen Koordinatensystem mittels Integralrechnung.

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