Trigonometría/Fórmula de Euler

La fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que:

$e^{ix}=\cos x+i\,\operatorname {sen} x$

para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, $\operatorname {sen} x$ y $\cos x$ son las funciones trigonométricas seno y coseno.

O bien se suele expresar como:

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\,\operatorname {sen} \,y)$

siendo $z$ la variable compleja definida por $z=x+iy$

Seno y coseno, funciones complejas

El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como:

$\sin \alpha ={\dfrac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}},\qquad \cos \alpha ={\frac {e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}}$

Por lo tanto, la tangente quedará definida como:

$\tan \alpha ={\dfrac {1}{i}}{\dfrac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}}=\ {-i}{\dfrac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}}$

Siendo $i={\sqrt {-1}}$.