Física/Electromagnetismo/Potencial e intensidad de un punto de un campo radial

El potencial eléctrico o potencial electrostático en un punto, es el trabajo que debe realizar un campo electrostático para mover una carga positiva desde dicho punto hasta el punto de referencia, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga positiva unitaria q desde el punto de referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica a velocidad constante. Matemáticamente se expresa por:

$V={\frac {W}{q}}\,\!$

El potencial eléctrico sólo se puede definir unívocamente para un campo estático producido por cargas que ocupan una región finita del espacio. Para cargas en movimiento debe recurrirse a los potenciales de Liénard-Wiechert para representar un campo electromagnético que además incorpore el efecto de retardo, ya que las perturbaciones del campo eléctrico no se pueden propagar más rápido que la velocidad de la luz.

Si se considera que las cargas están fuera de dicho campo, la carga no cuenta con energía y el potencial eléctrico equivale al trabajo necesario para llevar la carga desde el exterior del campo hasta el punto considerado. La unidad del Sistema Internacional es el voltio (V).

Todos los puntos de un campo eléctrico que tienen el mismo potencial forman una superficie equipotencial. Una forma alternativa de ver al potencial eléctrico es que a diferencia de la energía potencial eléctrica o electrostática, él caracteriza sólo una región del espacio sin tomar en cuenta la carga que se coloca ahí.

Potencial debido a una carga puntual

Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el campo producido por una carga $q_{0}\,\!$

Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura. Según se muestra, ${\vec {E}}\,\!$ apunta a la derecha y $d{\vec {l}}\,\!$, que siempre está en la dirección del movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente:

${\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}\,\!=E\cos(180^{\circ })\,dl=-E\,dl\,\!$

Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:

${\vec {E}}\,d{\vec {l}}\,\!=E\,dr\,\!$

Por lo cual:

$V_{B}-V_{A}=-\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=-\int _{r_{A}}^{r_{B}}E\,dr\,\!$

Combinando esta expresión con la de E para una carga puntual se obtiene:

$V_{B}-V_{A}=-{\frac {q}{4\pi \epsilon }}\int _{r_{A}}^{r_{B}}{\frac {dr}{r^{2}}}={\frac {q}{4\pi \epsilon }}\left({\frac {1}{r_{B}}}-{\frac {1}{r_{A}}}\right)\,\!$

Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que $r_{A}\to \infty \,\!$, considerando que $V_{A}=0\,\!$ en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:

$V={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {q}{r}}\,\!$

Esta ecuación muestra claramente que las superficies equipotenciales para una carga puntual aislada son esferas concéntricas a la carga puntual.

Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual

Potencial debido a dos cargas puntuales

El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto.

$V={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {q_{2}}{r_{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}\left({\frac {q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {q_{2}}{r_{2}}}\right)\,\!$

Siendo $r_{1}\,\!$ y $r_{2}\,\!$ las distancias entre las cargas $q_{1}\,\!$ y $q_{2}\,\!$ y el punto P respectivamente.

Potencial eléctrico generado por una distribución discreta de cargas

El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial $V_{n}\,\!$ debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:

$V=\sum _{n}V_{n}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{n}{\frac {q_{n}}{r_{n}}}\,\!$

siendo $q_{n}\,\!$ el valor de la enésima carga y $r_{n}\,\!$ la distancia de la misma al punto en cuestión. La suma que se efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. En el gráfico se representa la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

La ecuación de las líneas equipotenciales es:

${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {E_{y}}{E_{x}}}\,\!$

Potencial eléctrico generado por una distribución continua de carga

Si la distribución de carga es continua y no una colección de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral:

$V=\int dV={\frac {1}{4\pi {\epsilon }_{0}}}\int {\frac {dq}{r}}\,\!$

siendo dq un elemento diferencial de la distribución de carga, r su distancia al punto en el cual se calcula V y dV el potencial que dq produce en ese punto.

Potencial eléctrico generado por un plano infinito

Un plano infinito con densidad de carga de superficie $\sigma \,\!$ crea un campo eléctrico saliente en la dirección perpendicular al plano de valor constante

$E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}.\,\!$

Si x es la dirección perpendicular al plano y éste se encuentra en x=0 el potencial eléctrico en todo punto x es igual a:

$V(x)=-{\frac {\sigma x}{2\epsilon _{0}}}.\,\!$

Donde se ha considerado como condición de contorno V(x)=0 en x=0