Aritmética/Números Racionales/Fracciones Equivalentes

Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, y se escriben distinto. Por ejemplo, las fracciones ${\tfrac {1}{2}}$ , ${\tfrac {2}{4}}$ , ${\tfrac {3}{6}}$ y ${\tfrac {x}{2x}}$ son equivalentes, ya que representan la cantidad «un medio». Dos fracciones son equivalentes si pueden obtenerse una a partir de la otra, multiplicando (o dividiendo) el numerador y el denominador por el mismo número, es decir, por uno. Ejemplo:

{\dfrac {x}{2x}}={\dfrac {x}{x}}\cdot {\dfrac {1}{2}}

en donde

{\dfrac {x}{x}}=1

.

{\dfrac {3}{6}}={\dfrac {3}{3}}\cdot {\dfrac {1}{2}}

en donde

{\dfrac {3}{3}}=1

.

De esta manera, las fracciones equivalentes son reducibles, puesto que el numerador y el denominador no son primos entre sí y pueden ser simplificadas en una fracción irreducible, en la que el numerador y el denominador son primos entre sí. El conjunto de todas las fracciones equivalentes a una fracción dada, se llama número racional, y suele representarse por la única fracción equivalente irreducible del conjunto. Un caso específico es cuando el numerador es un múltiplo del denominador, entonces, al reducirla se obtiene cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros, por lo que se denomina fracción aparente o entera.

Más generalmente, dada una fracción reducible (el numerador y el denominador comparten factores comunes diferentes a la unidad), esta siempre se puede reducir (i.e. simplificar) hasta obtener una fracción equivalente irreducible. La noción de fracción irreducible se generaliza al cuerpo de cocientes de cualquier dominio de factorización única: todo elemento de este cuerpo puede escribirse como una fracción en la cual el numerador y el denominador son coprimos.

Comparación de fracciones

La comparación de dos fracciones se utiliza para comprobar cuál es mayor. Existen varios casos, dependiendo de los numeradores y los denominadores de estas. Se dice que las fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador y que las fracciones son heterogéneas si tienen diferentes denominadores.

Si las fracciones son homogéneas — el denominador de las dos fracciones es el mismo —, la fracción con el mayor numerador es mayor que la otra.

{\tfrac {5}{7}}>{\tfrac {2}{7}}

puesto que 5>2.

Si el numerador de las dos fracciones positivas es el mismo, la fracción con el menor denominador es mayor que la otra. Esto es bastante natural: si se tienen dos tartas iguales, una para repartir entre más personas que la otra, la que se reparta entre menos personas estará partida en porciones más grandes.

− −

{\tfrac {2}{3}}>{\tfrac {2}{5}}

puesto que 3<5.

Una manera de comparar fracciones con distintos numeradores y denominadores es encontrar un denominador común. Para comparar ${\tfrac {a}{b}}$ y ${\tfrac {c}{d}}$ , se convierten en fracciones equivalentes ${\tfrac {ad}{bd}}$ y ${\tfrac {bc}{bd}}$ . Entonces bd es un común denominador y los numeradores ad and bc pueden ser comparados.

{\tfrac {2}{3}}

?

{\tfrac {1}{2}}

da que

{\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}

No es necesario determinar el valor del denominador común para ser comparadas. Este atajo es conocido como «multiplicación cruzada». Se compara únicamente ad y bc, sin calcular el denominador.

{\tfrac {5}{18}}

?

{\tfrac {4}{17}}

Multiplicando ambas partes de cada fracción por el denominador de la otra, se obtiene un denominador común:

{\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}

?

{\tfrac {4\times 18}{17\times 18}}

Los denominadores ahora son iguales, pero no es necesario calcular su valor – únicamente los numeradores necesitan ser comparados. Puesto que 5×17 (= 85) es mayor que 4×18 (= 72), ${\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}$ .

Generalmente, cuando se tiene que calcular el denominador común de fracciones, se utiliza el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores de las fracciones originales, que el mínimo denominador común de estas.

Las Fracciones Equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes.

Estas fracciones son en realidad lo mismo:

${\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}={\frac {4}{8}}$