Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Funciones

Las Funciones

Definiciones y Convenios

Llamamos función de un conjunto A en un conjunto B a la asignación a cada elemento de A de un único elemento de B.

La asignación puede ser una regla, una fórmula, una expresión verbal o cualquier cosa que nos permita dado un elemento de A identificar el correspondiente elemento de B.

Simbolizamos por f: A → B a una función de A en B. Llamamos dominio de la función f al conjunto A, mientras que el conjunto B es el codominio. La flecha representa la regla de la función, o sea lo que asigna a cada elemento de A el correspondiente elemento de B. Finalmente, f es el nombre de la función.

Sea f una función de A en B. Sea x un elemento de A y sea y el correspondiente elemento de B asignado a x por la función. simbolizamos dicha situación por y = f(x) o por x ↦ y. Nos referimos a esa situación diciendo que "y es el valor de f en x" o que "f envía x en y". También podremos decir que "y es la imagen por f de y".

Cuando especifiquemos una función podremos escribir "f: A → B:: x ↦ y", lo que leeremos como "la función f de A en B que envía x en y". Por ejemplo, f: R → R::x ↦ x²"es la función que asigana a cada número real x, su cuadrado x².

Simbolizamos por F(A,B) al conjunto formado por todas las funciones de A en B.

Llamamos imagen de f al subconjunto de B formado por todos elementos que son imagen de algún elemento de A.

im(f) := { y ∈ B: hay un x en A tal que f(x) = y }.

(Igualdad de Funciones) Decimos que las funciones f y g en F(A,B) son iguales, ssi, para todo a en A se cumple que f(a) = g(a).

Notemos que para que dos funciones sean iguales deberán tener igual dominio e igual condominio y la misma regla de asignación.

(La función identidad) En cualquier conjunto A, la función identidad es aquella que asigna a cada elemento x de A , el mismo elemento x. Notación: 1_A, id_A o simplemente id. (1_A(x) := x)

La Composición de Funciones

Sean f:A → B y g:B → C, la composición de g con f es una función de A en C simbolizada por g ^o f y tal que

(g\circ f)(x)=g(f(x)).

La composición de varias funciones, cuando está definida, es asociativa y las correspondientes funciones identidad son un neutro por derecha o izquierda

La Clasificación de las Funciones

Sea f:A → B una función. Dado un elemento b de B consideramos la ecuación f(x)=b (*). Las soluciones de esa ecuación son todos los elementos de A cuyas imágenes son iguales al elemento b de B.

Decimos que f es suprayectiva o que es una suprayección, ssi, para todo b en B, la ecuación f(x) = b tiene al menos una solución. Es decir que cada elemento de $B$ es imagen de algún elemento de A, o sea que im(f) = B.
Decimos que f es inyectiva o que es una inyección, ssi, para todo b en B, la ecuación f(x) = b tiene a lo más una solución. Es decir que elementos de A que tienen la misma imagen por f , deben ser iguales,
Decimos que f es biyectiva o que es una biyección, ssi, para todo b en B, la ecuación f(x)=b tiene exactamente una solución. Claramente esto pasa cuando, y solo cuando, la función es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Ejemplos.

La función identidad es una biyección en cualquier conjunto.
La función definida por la inclusión de un subconjunto A de B, x ↦ x es inyectiva (inyección canónica). Tal función no es suprayectiva, a menos que el subconjunto coincida con el conjunto.
La función de un conjunto A en un conjunto cociente A/~ que asigna a cada elemento x de X su clase de equivalencia [x], es suprayectiva (suprayección canónica).
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. La función de A x B en A (resp. en B) que asigna a cada par (a,b) su primera (resp. su segunda) coordenada es una función suprayectiva, llamada la primera (resp. la segunda) proyección.

La siguiente proposición nos informa acerca de la relación entre la composición de funciones y la ``yectividad de las mismas.

Proposición

La composición de dos funciones inyectivas (resp. suprayectivas, biyectivas) es inyectiva (resp. suprayectiva, biyectiva).
f es inyectiva, ssi, es cancelable por la izquierda. Es decir que para todo g, h se cumple que

f ^o g = f ^o h implica que g = h.

f es suprayectiva, ssi, es cancelable por derecha. Es decir que para todo g, h se cumple que

g ^o f = h ^of implica que g = h.

La Función Inversa

(Inversa de una Función) Sea f: A → B una función. Decimos que f es invertible con inversa g: B → A, ssi,

g^of = 1_A y f ^og = 1_B.

Proposicion (Propiedades de las inversas)

Cuando f tiene inversa, tiene exactamente una única inversa que se simboliza por f^-1.
Una función tiene inversa, ssi, es biyectiva.
Cuando f tiene inversa, su inversa es invertible con inversa igual a f.
La composición de dos funciones invertibles es invertible y la inversa es la composición de las inversas, pero con orden invertido.

$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.$

Cuando f:A → B es biyectiva, la inversa es tal que para todo y en B, f^-1(y)=x, donde x es el único elemento de A tal que f(x) =y.

Funciones y Subconjuntos

Sea f : A → B una función, X un subconjunto de A y Y un subconjunto de B.

Llamamos imagen (o imagen directa) de X por f al subconjunto de B denotado f(X) y formado por las imágenes de todos los elementos de X. f(X) := { y ∈ B : hay un x en X tal que f(x)=y.}
Llamamos preimagen (o imagen inversa) de Y por la función f al subconjunto de A denotado por f^-1(Y) y que está formado por todos los x de A tales que f(x) está en Y. f^-1(Y) := { x ∈ A : f(x) ∈ Y}.

Se cumple que (g ◦ f)(A) = g(f(A)) y (g ◦ f)^-1(B) = f^-1(g^-1(B)).

Proposicion (Propiedades de las Imágenes Directas).

Sea f : A → B. Entonces, cuando X, Y son subconjuntos de A se cumple que:

X ≠ ∅ <==> f(X) ≠ ∅.
f({x}) = {f(x)}.
X ⊂ Y ==> f(X) ⊂ f(Y).
f(X ∩ Y) ⊂ f(x) ∩ f(y).
f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y).

Proposición (Propiedades de las Imágenes Inversas)
Sea f : A → B. Entonces, cuando X', Y' son subconjuntos de B se cumple que:

f^-1(∅) = ∅.
X' ⊂ Y' ==> f^-1(X) ⊂ f^-1(Y).
f^-1(X' ∩ Y') = f^-1(X') ∩ f^-1(Y').
f^-1(X' ∪ Y') = f^-1(X') ∪ f^-1(Y').
(f^-1(Y'))^c = f^-1(Y' ^c).

Proposición (Relaciones entre Imágenes Directas e Inversas) Sea f : A → B. Entonces:

$\scriptstyle X'\subset B\implies f(f^{-1}(X'))=X'\cap f(A)\subset X'.$ Igual a X' cuando la función es suprayectiva.
$\scriptstyle X\subset A\implies f^{-1}(f(X))\supset X.$ Igualdad cuando $f$ es inyectiva.

Familias
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Sea X un conjunto no vacío. Una familia de elementos de A con índices en un conjunto I, es una función del conjunto I en el conjunto A. Cuando hablamos de una familia nos interesa principalmente las imágenes, por lo que denotamos a las familias por $(x_{i})_{i\in I}.$ (donde x_i es la imagen de i en I por la función que define la familia).
Llamamos sucesión (de elementos) de un conjunto A, a una familia de elementos de A cuyo conjunto de índices es el conjunto de los naturales.
Familias de Subconjuntos
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Sea X un conjunto. Una familia de subconjuntos de X es una familia de elementos del conjunto potencia de X, P(X)---el conjunto formado por los subconjuntos de X.
Resumiremos las propiedades de operaciones generalizadas para familias de subconjuntos.
Sea (A_i), i en I, una familia de subconjuntos de un conjunto X.

Llamamos reunión de la familia al conjunto

$\bigcup _{i\in I}A_{i}:=\{x\in X:x\in A_{i}{\text{ para al menos un }}i\in I\}.$

Si I = ∅ la reunión es, por definición, el conjunto vacío.

Llamamos intersección de la familia al conjunto

$\bigcap _{i\in I}A_{i}:=\{x\in X:x\in A_{i}{\text{ para todos los }}i\in I\}.$

Si I = ∅, la intersección es el conjunto universal

Llamamos producto cartesiano de los A_i, i en I, al conjunto denotado por

$\prod _{i\in I}A_{i}$

y que está formado por todas las familias (x_i) tales que para todo i en I, x_i está en A_i. Cuando uno de los A_i's es vacío, el producto es vacío.

Muchas de las propiedades de las operaciones entre dos conjuntos se extienden a operaciones con familias. Por ejemplo tenemos que

${\begin{array}{lclclcl}\scriptstyle (\bigcup _{i}A_{i})\cap B&=&\scriptstyle \bigcup _{i}(A_{i}\cap B),&\qquad &\qquad \scriptstyle (\bigcap _{i}A_{i})\cup B&=&\scriptstyle \bigcap _{i}(A_{i}\cup B)\end{array}}$
(Leyes de Morgan) ${\begin{array}{lclclcl}\scriptstyle (\bigcup _{i}A_{i})^{c}&=&\scriptstyle \bigcap _{i}A_{i}^{c},&\qquad &\scriptstyle (\bigcap _{i}A_{i})^{c}&=&\scriptstyle \bigcup _{i}A_{i}^{c}\end{array}}$
$\scriptstyle {\text{Para todo i, }}A_{i}\subset B\implies \bigcup _{i}A_{i}\subset B.$
$\scriptstyle {\text{Para todo i,}}A_{i}\supset B\implies \bigcap _{i}A_{i}\supset B.$
Para todo A y familia (B_i) se cumple que $\scriptstyle A\times (\bigcup _{i}B_{i})=\bigcup _{i}(A\times B_{i}),\quad {\text{y}}\quad A\times (\bigcap _{i}B_{i})=\bigcap _{i}(A\times B_{i}).$

Relaciones con Imágenes directas e inversas.
Sean f: X → Y, (A_i) una familia de subconjuntos de X y (B_j) una familia de elementos de Y

$f(\bigcup _{i}A_{i})=\bigcup _{i}f(A_{i})\qquad f(\bigcap _{i}A_{i})\subset \bigcap _{i}f(A_{i}).$
$f^{-1}(\bigcup _{i}B_{i})=\bigcup _{i}f^{-1}(B_{i})\qquad f^{-1}(\bigcap _{i}B_{i})=\bigcap _{i}f^{-1}(B_{i}).$

Descomposición Canónica de una función
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Sea f:A → B una función. La relación en A, x ∼ y <==> f(x) = f(y) es una relación de equivalencia en A. Sea [x] la clase de equivalencia de x y A/f el conjunto cociente de A por dicha relación (ver apéndice Los Conjuntos. Sean (i) ν la función de A en su cociente que asocia a cada x, su clase de equivalencia, y ii) <math}\imath</math> la función de f(A) en B inducida por la inclusión. Entonces, f puede decomponerse como
$f=i\circ f^{*}\circ \nu .$ donde $f^{*}:A/f\rightarrow f(A)::[x]\mapsto f(x)$ es biyectiva.

Se tiene además que $f^{*}\circ \nu$ es suprayectiva y que $\imath \circ f^{*}$ es inyectiva.

Cardinalidad de Conjuntos
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Decimos que dos conjuntos son cardinalmente equivalentes o que tienen el mismo cardinal, ssi, hay una biyección de uno en el otro.
Un conjunto es infinito cuando es cardinalmente equivalente con un subconjunto propio. En caso contrario, es finito.
Un conjunto es enumerable cuando es cardinalmente equivalente con un subconjunto de los Naturales.

Ejemplo. El conjunto de los Naturales es un conjunto infinito. En efecto, la función n ↦ 2n de los Naturales en los Naturales pares es biyecdtiva.
Resultados

Cuando un conjunto A es finito, hay un n natural tal que A es cardinalmente equivalente con I_n ={x ∈ N: 0 < x ≤ n}. En tal situación decimos que A tiene n elementos.
Cuando un conjunto A es infinito, hay una función inyectiva s: N → A. Es decir que hay una sucesión de infinitos puntos de A distintos entre sí.
Los Naturales, los Enteros y los Racionales tienen igual cardinal, por lo que son conjuntos enumerables.
Los Reales no son enumerables, su cardinal es superios al de los Racionales y es referido como continuo o $\scriptstyle \aleph _{1}.$