Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Funciones

Las Funciones

Definiciones y Convenios

Llamamos función de un conjunto A en un conjunto B a la asignación a cada elemento de A de un único elemento de B.

La asignación puede ser una regla, una fórmula, una expresión verbal o cualquier cosa que nos permita dado un elemento de A identificar el correspondiente elemento de B.

Simbolizamos por f: A → B a una función de A en B. Llamamos dominio de la función f al conjunto A, mientras que el conjunto B es el codominio. La flecha representa la regla de la función, o sea lo que asigna a cada elemento de A el correspondiente elemento de B. Finalmente, f es el nombre de la función.

Sea f una función de A en B. Sea x un elemento de A y sea y el correspondiente elemento de B asignado a x por la función. simbolizamos dicha situación por y = f(x) o por x ↦ y. Nos referimos a esa situación diciendo que "y es el valor de f en x" o que "f envía x en y". También podremos decir que "y es la imagen por f de y".

Cuando especifiquemos una función podremos escribir "f: A → B:: x ↦ y", lo que leeremos como "la función f de A en B que envía x en y". Por ejemplo, f: R → R::x ↦ x²"es la función que asigana a cada número real x, su cuadrado x².

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Simbolizamos por F(A,B) al conjunto formado por todas las funciones de A en B.

Llamamos imagen de f al subconjunto de B formado por todos elementos que son imagen de algún elemento de A.

im(f) := { y ∈ B: hay un x en A tal que f(x) = y }.

(Igualdad de Funciones) Decimos que las funciones f y g en F(A,B) son iguales, ssi, para todo a en A se cumple que f(a) = g(a).

Notemos que para que dos funciones sean iguales deberán tener igual dominio e igual condominio y la misma regla de asignación.

(La función identidad) En cualquier conjunto A, la función identidad es aquella que asigna a cada elemento x de A , el mismo elemento x. Notación: 1_A, id_A o simplemente id. (1_A(x) := x)

La Composición de Funciones

Sean f:A → B y g:B → C, la composición de g con f es una función de A en C simbolizada por g ^o f y tal que

$(g\circ f)(x)=g(f(x)).$

La composición de varias funciones, cuando está definida, es asociativa y las correspondientes funciones identidad son un neutro por derecha o izquierda

La Clasificación de las Funciones

Sea f:A → B una función. Dado un elemento b de B consideramos la ecuación f(x)=b (*). Las soluciones de esa ecuación son todos los elementos de A cuyas imágenes son iguales al elemento b de B.

• Decimos que f es suprayectiva o que es una suprayección, ssi, para todo b en B, la ecuación f(x) = b tiene al menos una solución. Es decir que cada elemento de $B$ es imagen de algún elemento de A, o sea que im(f) = B.
• Decimos que f es inyectiva o que es una inyección, ssi, para todo b en B, la ecuación f(x) = b tiene a lo más una solución. Es decir que elementos de A que tienen la misma imagen por f , deben ser iguales,
• Decimos que f es biyectiva o que es una biyección, ssi, para todo b en B, la ecuación f(x)=b tiene exactamente una solución. Claramente esto pasa cuando, y solo cuando, la función es inyectiva y suprayectiva a la vez.

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Ejemplos.

1. La función identidad es una biyección en cualquier conjunto.
2. La función definida por la inclusión de un subconjunto A de B, x ↦ x es inyectiva (inyección canónica). Tal función no es suprayectiva, a menos que el subconjunto coincida con el conjunto.
3. La función de un conjunto A en un conjunto cociente A/~ que asigna a cada elemento x de X su clase de equivalencia [x], es suprayectiva (suprayección canónica).
4. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. La función de A x B en A (resp. en B) que asigna a cada par (a,b) su primera (resp. su segunda) coordenada es una función suprayectiva, llamada la primera (resp. la segunda) proyección.

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La siguiente proposición nos informa acerca de la relación entre la composición de funciones y la ``yectividad de las mismas.

Proposición

1. La composición de dos funciones inyectivas (resp. suprayectivas, biyectivas) es inyectiva (resp. suprayectiva, biyectiva).
2. f es inyectiva, ssi, es cancelable por la izquierda. Es decir que para todo g, h se cumple que
   

   f ^o g = f ^o h implica que g = h.

3. f es suprayectiva, ssi, es cancelable por derecha. Es decir que para todo g, h se cumple que
   

   g ^o f = h ^of implica que g = h.

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La Función Inversa

(Inversa de una Función) Sea f: A → B una función. Decimos que f es invertible con inversa g: B → A, ssi,

g^of = 1_A y f ^og = 1_B.

Proposicion (Propiedades de las inversas)

1. Cuando f tiene inversa, tiene exactamente una única inversa que se simboliza por f^-1.
2. Una función tiene inversa, ssi, es biyectiva.
3. Cuando f tiene inversa, su inversa es invertible con inversa igual a f.
4. La composición de dos funciones invertibles es invertible y la inversa es la composición de las inversas, pero con orden invertido.

   $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.$

   
   

Cuando f:A → B es biyectiva, la inversa es tal que para todo y en B, f^-1(y)=x, donde x es el único elemento de A tal que f(x) =y.

Funciones y Subconjuntos

Sea f : A → B una función, X un subconjunto de A y Y un subconjunto de B.

1. Llamamos imagen (o imagen directa) de X por f al subconjunto de B denotado f(X) y formado por las imágenes de todos los elementos de X. f(X) := { y ∈ B : hay un x en X tal que f(x)=y.}
2. Llamamos preimagen (o imagen inversa) de Y por la función f al subconjunto de A denotado por f^-1(Y) y que está formado por todos los x de A tales que f(x) está en Y. f^-1(Y) := { x ∈ A : f(x) ∈ Y}.

Se cumple que (g ◦ f)(A) = g(f(A)) y (g ◦ f)^-1(B) = f^-1(g^-1(B)).

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Proposicion (Propiedades de las Imágenes Directas).

Sea f : A → B. Entonces, cuando X, Y son subconjuntos de A se cumple que:

1. X ≠ ∅ <==> f(X) ≠ ∅.
2. f({x}) = {f(x)}.
3. X ⊂ Y ==> f(X) ⊂ f(Y).
4. f(X ∩ Y) ⊂ f(x) ∩ f(y).
5. f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y).

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Proposición (Propiedades de las Imágenes Inversas)
Sea f : A → B. Entonces, cuando X', Y' son subconjuntos de B se cumple que:

1. f^-1(∅) = ∅.
2. X' ⊂ Y' ==> f^-1(X) ⊂ f^-1(Y).
3. f^-1(X' ∩ Y') = f^-1(X') ∩ f^-1(Y').
4. f^-1(X' ∪ Y') = f^-1(X') ∪ f^-1(Y').
5. (f^-1(Y'))^c = f^-1(Y' ^c).

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Proposición (Relaciones entre Imágenes Directas e Inversas) Sea f : A → B. Entonces:

1. $\scriptstyle X'\subset B\implies f(f^{-1}(X'))=X'\cap f(A)\subset X'.$ Igual a X' cuando la función es suprayectiva.
2. $\scriptstyle X\subset A\implies f^{-1}(f(X))\supset X.$ Igualdad cuando $f$ es inyectiva.

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Familias

Sea X un conjunto no vacío. Una familia de elementos de A con índices en un conjunto I, es una función del conjunto I en el conjunto A. Cuando hablamos de una familia nos interesa principalmente las imágenes, por lo que denotamos a las familias por $(x_{i})_{i\in I}.$ (donde x_i es la imagen de i en I por la función que define la familia).

Llamamos sucesión (de elementos) de un conjunto A, a una familia de elementos de A cuyo conjunto de índices es el conjunto de los naturales.

Familias de Subconjuntos

Sea X un conjunto. Una familia de subconjuntos de X es una familia de elementos del conjunto potencia de X, P(X)---el conjunto formado por los subconjuntos de X.

Resumiremos las propiedades de operaciones generalizadas para familias de subconjuntos.

Sea (A_i), i en I, una familia de subconjuntos de un conjunto X.

1. Llamamos reunión de la familia al conjunto

   $\bigcup _{i\in I}A_{i}:=\{x\in X:x\in A_{i}{\text{ para al menos un }}i\in I\}.$

   
   Si I = ∅ la reunión es, por definición, el conjunto vacío.

2. Llamamos intersección de la familia al conjunto

   $\bigcap _{i\in I}A_{i}:=\{x\in X:x\in A_{i}{\text{ para todos los }}i\in I\}.$

   
   Si I = ∅, la intersección es el conjunto universal

3. Llamamos producto cartesiano de los A_i, i en I, al conjunto denotado por

   $\prod _{i\in I}A_{i}$

   
   y que está formado por todas las familias (x_i) tales que para todo i en I, x_i está en A_i. Cuando uno de los A_i's es vacío, el producto es vacío.

Muchas de las propiedades de las operaciones entre dos conjuntos se extienden a operaciones con familias. Por ejemplo tenemos que

• ${\begin{array}{lclclcl}\scriptstyle (\bigcup _{i}A_{i})\cap B&=&\scriptstyle \bigcup _{i}(A_{i}\cap B),&\qquad &\qquad \scriptstyle (\bigcap _{i}A_{i})\cup B&=&\scriptstyle \bigcap _{i}(A_{i}\cup B)\end{array}}$
• (Leyes de Morgan) ${\begin{array}{lclclcl}\scriptstyle (\bigcup _{i}A_{i})^{c}&=&\scriptstyle \bigcap _{i}A_{i}^{c},&\qquad &\scriptstyle (\bigcap _{i}A_{i})^{c}&=&\scriptstyle \bigcup _{i}A_{i}^{c}\end{array}}$
• $\scriptstyle {\text{Para todo i, }}A_{i}\subset B\implies \bigcup _{i}A_{i}\subset B.$
  $\scriptstyle {\text{Para todo i,}}A_{i}\supset B\implies \bigcap _{i}A_{i}\supset B.$
• Para todo A y familia (B_i) se cumple que $\scriptstyle A\times (\bigcup _{i}B_{i})=\bigcup _{i}(A\times B_{i}),\quad {\text{y}}\quad A\times (\bigcap _{i}B_{i})=\bigcap _{i}(A\times B_{i}).$

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Relaciones con Imágenes directas e inversas.

Sean f: X → Y, (A_i) una familia de subconjuntos de X y (B_j) una familia de elementos de Y

• $f(\bigcup _{i}A_{i})=\bigcup _{i}f(A_{i})\qquad f(\bigcap _{i}A_{i})\subset \bigcap _{i}f(A_{i}).$
• $f^{-1}(\bigcup _{i}B_{i})=\bigcup _{i}f^{-1}(B_{i})\qquad f^{-1}(\bigcap _{i}B_{i})=\bigcap _{i}f^{-1}(B_{i}).$

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Descomposición Canónica de una función

Sea f:A → B una función. La relación en A, x ∼ y <==> f(x) = f(y) es una relación de equivalencia en A. Sea [x] la clase de equivalencia de x y A/f el conjunto cociente de A por dicha relación (ver apéndice Los Conjuntos. Sean (i) ν la función de A en su cociente que asocia a cada x, su clase de equivalencia, y ii) <math}\imath</math> la función de f(A) en B inducida por la inclusión. Entonces, f puede decomponerse como

$f=i\circ f^{*}\circ \nu .$

donde $f^{*}:A/f\rightarrow f(A)::[x]\mapsto f(x)$ es biyectiva.

Se tiene además que $f^{*}\circ \nu$ es suprayectiva y que $\imath \circ f^{*}$ es inyectiva.

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Cardinalidad de Conjuntos

• Decimos que dos conjuntos son cardinalmente equivalentes o que tienen el mismo cardinal, ssi, hay una biyección de uno en el otro.
• Un conjunto es infinito cuando es cardinalmente equivalente con un subconjunto propio. En caso contrario, es finito.
• Un conjunto es enumerable cuando es cardinalmente equivalente con un subconjunto de los Naturales.

Ejemplo. El conjunto de los Naturales es un conjunto infinito. En efecto, la función n ↦ 2n de los Naturales en los Naturales pares es biyecdtiva.

Resultados

1. Cuando un conjunto A es finito, hay un n natural tal que A es cardinalmente equivalente con I_n ={x ∈ N: 0 < x ≤ n}. En tal situación decimos que A tiene n elementos.
2. Cuando un conjunto A es infinito, hay una función inyectiva s: N → A. Es decir que hay una sucesión de infinitos puntos de A distintos entre sí.
3. Los Naturales, los Enteros y los Racionales tienen igual cardinal, por lo que son conjuntos enumerables.
4. Los Reales no son enumerables, su cardinal es superios al de los Racionales y es referido como continuo o $\scriptstyle \aleph _{1}.$