Números y Operaciones/Números Enteros B

Números Enteros

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los opuestos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

En la matemática moderna el conjunto de los números enteros al abarcar todos los enteros tanto negativos como positivos, representándolos en una recta numérica "llega" hasta el infinito hacia ambos lados, en rigor no existe un comienzo ni un final. La situación no cambiaría en el caso de usar el cero como "origen" para su localización.

Operaciones Básicas en ℤ

Adición: En los números enteros distinguimos dos casos para la adición.

• Enteros de igual signo: si los números tienen igual signo, se suman y se conserva el signo.
  

Ejemplos

$12+9=21$

Ambos números tienen el mismo signo positivo. Se suman y se conserva el signo.

$-12+-9=-21$

Ambos números tienen el mismo signo negativo. Se suman y se conserva el signo.

• Enteros de distinto signo: considerando ambos números como positivos, se hace la resta entre el número mayor y el menor, y al resultado se le mantiene el signo del número mayor.
  

Ejemplos

$5+-13=-8$

Los números enteros son de distintos signos. Al mayor, 13, se le resta el menor, 5, y al resultado, 8, se le conserva el signo del mayor, 13, que tiene signo negativo.

$-3+13=10$

Los números enteros son de distintos signos. Al mayor, 13, se le resta el menor, 3, y al resultado, 10, se le conserva el signo del mayor, 13, que tiene signo positivo.

Ejercicios

1. $5+3=....$
2. $8+-7=....$
3. $-2+-4=....$
4. $-12+9=....$
5. $10+11=....$
6. $15+-9=....$
7. $-25+10=....$
8. $-33+-12=....$

Multiplicación: Para multiplicar dos números enteros es necesario tener presente que el producto de dos enteros de igual signo es siempre positivo, mientras que el producto de dos enteros de distinto signo es siempre negativo.

Signo del N°	Multiplicación	Signo del N°	Signo del resultado
+	x	+	+
+	x	-	-
-	x	+	-
-	x	-	+

Ejemplos

$8\times 7=56\qquad (8\times 7=56;\quad +\times +=+)$

$-5\times -10=50\qquad (5\times 10=50;\quad -\times -=+)$

$12\times -4=-48\qquad (12\times 4=48;\quad +\times -=-)$

$-15\times 5=-45\qquad (15\times 5=45;\quad -\times +=-)$

Ejercicios:

(a) ${\begin{aligned}4\times 6&=.....\\\end{aligned}}$

(b) ${\begin{aligned}-3\times -10&=.....\\\end{aligned}}$

(c) ${\begin{aligned}-15\times -2&=.....\\\end{aligned}}$

(d) ${\begin{aligned}-4\times 10&=.....\\\end{aligned}}$

(e) ${\begin{aligned}15\times 8&=.....\\\end{aligned}}$

(f) ${\begin{aligned}-7\times 15&=.....\\\end{aligned}}$

(g) ${\begin{aligned}5\times -12&=.....\\\end{aligned}}$

(h) ${\begin{aligned}8\times -20&=.....\\\end{aligned}}$

Números Pares

Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, el conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares.

Los números pares están formados por los números enteros múltiplos de 2, es decir, un número entero m es número par si y solo si existe otro número entero n tal que:

$m=2\times n$

Ejemplo 1

Supongamos que $n=2$, entonces $m=2\times 2=4$.

Ejemplo 2

Supongamos que $n=-2$, entonces $m=2\times -2=-4$.

Así tenemos que el conjunto de los números pares es:

$\{...,\;-6,\;-4,\;-2,\;0,\;2,\;4,\;6,\;...\}$

Números Impares

Los números impares está formada por los números enteros que no son múltiplos de 2, es decir, un número entero m es número impar si y solo si existe otro número entero n tal que:

$m=1+2\times n$

Ejemplo 1

Supongamos que $n=1$, entonces $m=1+2\times 1=1+2=3$

Recuerde que si son mas de dos operaciones se respeta la multiplicación y después la adición.

Ejemplo 2

Supongamos que $n=-1$, entonces $m=1+2\times -1=1+-2=-1.$

Así tenemos que el conjunto de los números pares es:

$\{...,\;-7,\;-5,\;-3,\;-1,\;1,\;3,\;5,\;7,\;...\}$

Resta o Sustracción en ℤ

Se define la sustracción de dos enteros como,

$a-b=a+(-b)=(-b)+a$

es decir, la sustracción se transforma en adición, sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo 1

$4-3=4+-3=-3+4=1$

Ejemplo 2

$5-7=5+-7=-7+5=-2$

Ejercicio: Calcule las siguientes sustraciones o restas

1. $6-5=.....$
2. $8-15=.....$
3. $15-2=.....$
4. $21-30=.....$
5. $45-60=.....$
6. $60-45=.....$

División en ℤ

La división en ℤ conserva la misma estructura que la multiplicación. Es decir, la división de dos números de igual signo es siempre positiva, mientras que la división de números de distinto signo es siempre negativa.

Signo del N°	División	Signo del N°	Signo del resultado
+	$\div$	+	+
+	$\div$	-	-
-	$\div$	+	-
-	$\div$	-	+

Ejemplos

${\color {Blue}-10\div -5=2\qquad (10\div 5=2;-\div -=+)}$

${\color {blue}12\div -4=-3\qquad (12\div 4=3;+\div -=-)}$

${\color {blue}-30\div 5=-6\qquad (30\div 5=6;-\div +=-)}$

Ejercicios:

(a) $-15\div -5=....$ (b) $15\div -5=....$ (c) $-15\div 5=....$ (d) $-100\div -20=....$ (e) $100\div -20=....$ (f) $-100\div 20=....$

Propiedades Aritméticas en ℤ

Las Propiedades Aritméticas en ℤ al igual que en los números naturales son expresiones combinadas de todas las operaciones que hemos visto hasta ahora y hay dos cosas importantes para los desarrollos de ejercicios combinados.

• Si el ejercicio no tiene paréntesis, el orden en que se operan los números es siempre: multiplicación y división, suma, resta.

Es importante considerar que se opera en orden de izquierda a derecha.

• Si el ejercicio tiene paréntesis, primero deben ser resueltos éstos, considerando que si el paréntesis está precedido por un signo menos, los signos interiores deben ser cambiados.

Ejemplos

1. Resolver la expresión

$24\cdot (-3)+15+40:(-20)+7$

Solución: Como el ejercicio no presenta paréntesis, primero resolvemos la multiplicación, luego la división, para finalmente resolver las sumas y restas. Entonces tenemos que:

$24\cdot (-3)+15+40:(-20)+7=-72+15+-2+7=-52$

2. Resolver la expresión

$((-19)+7):3-2\cdot ((-10)-7)+1$

Solución: la expresión tiene paréntesis, luego empezamos resolviendo por allí, para después respetar el orden: multiplicación, división, suma, resta. Entonces tenemos que:

$((-19)+7):3-2\cdot ((-10)-7)+1=-12:3-2\cdot (-17)+1=(-4)-(-34)+1=-4+34+1=31$

3. Resolver la expresión

${\frac {(-6)}{3}}((-2)+1)$

Solución: en este caso, al no haber paréntesis que separen las operaciones división y multiplicación, se resuelve de izquierda a derecha, primero resolviendo la división ${\frac {(-6)}{3}}$, y luego se multiplica por ((-2)+1).Entonces tenemos que:

${\frac {(-6)}{3}}((-2)+1)=(-2)((-2)+1)=(-2)(-1)=2$

Valor Absoluto

Considerando una recta (llamada recta Real) como la representación gráfica del conjunto de los números reales, cada punto representa a un número real. El valor Absoluto, se interpreta como la distancia que hay entre un número y el cero.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real $a\,$ es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. Formalmente se define como

$|a|=\left\{{\begin{array}{rcl}a,&{\mbox{si}}&a\geq 0\\-a,&{\mbox{si}}&a<0\end{array}}\right.$

Por definición, el valor absoluto de $a\,$ siempre será mayor o igual que cero y nunca número negativo.

Ejemplos

1. $|-2|=2$
2. $|15|=15$
3. $|2|+(-1)=2-1=1$
4. $|-3|+2=3+2=5$
5. $|36|-|-11|=36-11=25$

Ejercicio: Evaluar

1. $|-21|=.....$
2. $|-7|=.....$
3. $|5|=.....$
4. $|-21|+4=.....$
5. $|7|-2=.....$
6. $|-21|-|2|=.....$
7. $|5|+|-4|=.....$

El valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos ( o mejor dicho la distancia entre los puntos que los representan en la recta Real. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real. Formalmente la distancia entre dos números reales a y b, que se escribe $d(a,b)$, se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

$d(a,b)=|b-a|$

Ejemplo La distancia entre −5 y 4 es:

$(-5,4)=|4-(-5)|=|4+5|=|9|=9$

Ejercicios

1. Calcule la distancia entre -2 y -5.
2. Calcule la distancia entre -2 y 4.
3. Calcule la distancia entre 5 y 10.
4. Calcule la distancia entre -6 y 3.

Propiedades Fundamentales

(a) $|x|\geq 0$ y $|x|=0$ si y solamente si $x=0$.

(b) Si $|a|>0$ y $|x|\leq a$, entonces $-a\leq x\leq a$.

(c) $|x+y|\leq |x|+|y|$ (Esta propiedad es llamada desigualdad triangular).

(d) $||x|-|y||\leq |x-y|$.

(e) $|xy|=|x||y|$.

Podemos chequear estas propiedades

(a) $|2|=2$, $|-3|=3$ y $|0|=0$.

(b) Si $|x|\leq 4$, se cumple $-4\leq -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\leq 4$.

(c) Si $x=1$, $y=3$, es fácil ver que $|1+3|=4=|1|+|3|$. Si $x=3$, $y=-5$, se tiene que $|3-5|=|-2|=2<8=|3|+|-5|$.

(d) Si $x=3$, $y=-5$, se tiene que $||3|-|-5||=|3-5|=|-2|=2<8=|3-(-5)|$.

(e) Si $x=2$, $y=-3$, $|2\cdot (-3)|=|-6|=6=|2|\cdot |-3|=2\cdot 3$.