Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones/Ecuaciones de cuarto grado

[[Archivo:Polynomialdeg4.png|thumb|200px|right|Gráfico de una función polinómica de cuarto grado. Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación algebraica que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^{4}+bx^{3}+{cx^{2}}^{}+dx+e=0$

donde a, b, c, d y e (siendo $a\neq 0$) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales $\mathbb {R}$ o los complejos $\mathbb {C}$.

Caso general

Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas). En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida:

$(a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}\,$.

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Este método es llamado "método de Descartes", pues fue dado por el matemático francés René Descartes (1596-1650) en el año de 1637 en su célebre libro "La Geometría". Aunque existan diferentes métodos para resolver las ecuaciones cuárticas, algunos son: método de Ferrari, método de Descartes, método de Euler, método de Lagrange, método de AlcaláPlantilla:Cr, etcétera.

Ecuación cuártica en cuerpo finito

• Resolver la ecuación en el conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

$x^{4}-x^{2}-240=0$

una raíz en el conjunto finito de los restos de enteros de módulo 11, o sea F[11] es

$x=4$

Mediante la división sintética queda $(x+1)(x^{3}-x^{2})-240=0$

Un caso sencillo

Esta ecuación cuártica

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,$

que es mónica, como polinomio para valores reales nunca se anula.

Por lo tanto sus cuatro raíces son complejas, en pares de conjugados. Precisamente la raíces quintas primitivas de 1.Estructuradas sobre la base de seno y coseno de 72º y sus múltiplos hasta el cuarto.

Método de Descartes

Los pasos de la resolución para el método de Descartes (1637) son:

• Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a. Se obtiene:

$x^{4}+b'x^{3}+c'x^{2}+d'x+e'=0\,$,

donde $b={\frac {b'}{a}}\,$, $c={\frac {c'}{a}}\,$, $d={\frac {d'}{a}}\,$ y $e={\frac {e'}{a}}\,$

• Proceder al cambio de incógnita $z=x+{\frac {b}{4}}\longrightarrow x=z-{\frac {b}{4}}\,$, para suprimir el término cúbico. En efecto, al desarrollar $(z-{\frac {b}{4}})^{4}\,$ con la identidad precedente, vemos aparecer el término $-bz^{3}\,$, compensado exactamente por $bz^{3}\,$, por lo que no aparecerá el término $z^{3}\,$. La nueva ecuación escrita en términos de $z\,$ viene dada por:

$z^{4}+\underbrace {\left(c-{\frac {3b^{2}}{8}}\right)} _{p}z^{2}+\underbrace {\left(d-{\frac {bc}{2}}+{\frac {b^{3}}{8}}\right)} _{q}z+\underbrace {\left(e-{\frac {bd}{4}}+{\frac {b^{2}c}{16}}-{\frac {3b^{4}}{256}}\right)} _{r}\,$

que de acuerdo a las definiciones recién introducidas, escribiremos simplemente como

$z^{4}+pz^{2}+qz+r=0\,$, donde en efecto el término $z^{3}\,$ ha desaparecido.

• Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en $(z^{2}+\alpha z+\beta )(z^{2}-\alpha z+\gamma )\,$, lo que es posible porque no hay $z^{3}$ en el polinomio, y que al desarrollar viene dado explícitamente por

$z^{4}+(\gamma +\beta -\alpha ^{2})z^{2}+\alpha (\gamma -\beta )z+\beta \gamma \,$.

Al identificar lo anterior con los términos $p\,$,$q\,$ y $r\,$, obtenemos las condiciones:

$\beta +\gamma -\alpha ^{2}=p\,$,

$\alpha (\gamma -\beta )=q\,$,

$\beta \gamma =r\,$.

Después de algunos cálculos, hallamos: $\alpha ^{6}+2p\alpha ^{4}+(p^{2}-4r)\alpha ^{2}-q^{2}=0\,$ Es una ecuación de sexto grado, pero si miramos bien, α sólo aparece con potencias pares.

Pongamos $A=\alpha ^{2}$. Entonces:

$A^{3}+2pA^{2}+(p-4r)A-q^{2}=0\,$, que resulta ser una ecuación de tercer grado en la variable $A\,$ y que se puede resolver usando el método de Cardano.

Luego se encuentra α, β y γ, y se resuelven $z^{2}+\alpha z+\beta =0\,$ y $z^{2}-\alpha z+\gamma =0\,$, y para terminar, no olvide que $x=z-{\frac {b}{4}}$.

Ecuaciones bicuadradas

Éstas son un caso particular de las anteriores. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:

$ax^{4}+{bx^{2}}^{}+c=0$

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable ${x^{2}}^{}=u$
Con lo que nos queda: ${au^{2}}^{}+bu+c=0$ El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

$u={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Ahora bien, esto no nos da las cuatro soluciones esperadas. Aún hemos de deshacer el cambio de variable. Así las cuatro soluciones serán:

$x_{1}=+{\sqrt {u_{1}}}$

$x_{2}=-{\sqrt {u_{1}}}$

$x_{3}=+{\sqrt {u_{2}}}$

$x_{4}=-{\sqrt {u_{2}}}$

Obtener una ecuación a partir de una raíz

Sea $x_{0}$ una raíz cuyo valor se conoce:

Demostración: Deshaciendo raíces con potencias:

$x^{2}=2+{\sqrt {2}}$

$x^{2}-2={\sqrt {2}}$

$(x^{2}-2)^{2}=2$

$x^{4}-4x^{2}+2=0$

Las otras raíces son

$x_{2}=-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$, $x_{3}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$ y $x_{4}=-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$.

• Otro caso particular: Ecuaciones casisimétricas Plantilla:Cr

El siguiente tipo de ecuación

$x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+m^{2}=0\,$, donde $m={\frac {a_{3}}{a_{1}}}\,$, puede ser resuelto así:

Al dividir la ecuación por $x^{2}$, se obtiene

$x^{2}+{\frac {m^{2}}{x^{2}}}+a_{1}x+{\frac {a_{3}}{x}}+a_{2}=0$

$(x^{2}+{\frac {m^{2}}{x^{2}}})+a_{1}(x+{\frac {m}{x}})+a_{2}=0$

Haciendo cambio de variable:

$z=x+{\frac {m}{x}}\,$

llegamos a

$z^{2}-2m=x^{2}+{\frac {m^{2}}{x^{2}}}\,$

Así

$(z^{2}-2m)+a_{1}z+a_{2}=0\,$

Esta ecuación da 2 raíces, $z_{1}$ y $z_{2}$

Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes ecuaciones de 2o grado:

$x^{2}-z_{1}x+m=0\,$

y

$x^{2}-z_{2}x+m=0\,$

Si $a_{0}$ no es 1 en $a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{0}m^{2}=0\,$

este método es de todas formas aplicable, luego de dividir la ecuación entre $a_{0}$.

Las ecuaciones cuasi simétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las define: si $x_{1}$, $x_{2}$, y $x_{3}$,$x_{4}$ son las raíces de la ecuación, entonces $x_{1}x_{2}=m$. Dado que el producto de las 4 raíces es $m^{2}$, entonces $x_{3}x_{4}=m$ necesariamente.

Ecuaciones simétricas de cuarto grado

Tienen la forma $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ con a ≠ 0. Todos los coeficientes son números racionales.