Física/Análisis dimensional

El análisis dimensional es una herramienta que nos permite averiguar de forma rápida si estamos cometiendo algún fallo en nuestro cálculo. La forma más fácil de explicarlo es con un ejemplo. Supongamos que queremos hallar la rapidez de un móvil pero en nuestro calculo hemos cometido errores. Lo primero que debemos hacer es reemplazar cada variable y constante por sus unidades (si las tiene) entre corchetes. Recordemos que a una magnitud sin unidades se le llama adimensional.

La rapidez viene dada por:

$v={x \over t}$

Reemplazando por sus magnitudes:

$[rapidez]={[L] \over [T]}$

Donde L es longitud y T es tiempo.

Si en mi cálculo obtengo como resultado algo del tipo:

$v={x_{1}x_{2} \over t}$

Utilizando análisis dimensional me doy cuenta de que:

$[rapidez]={[L]^{2} \over [T]}$

Las unidades no corresponden a las de la rapidez y por tanto esa cantidad carece de significado en este caso.

Averiguando las unidades de una magnitud

Supongamos que queremos averiguar las unidades de la constante gravitatoria G. Sabemos que la formula de Newton para la fuerza de gravedad viene dada por:

$\mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {u}} _{r}$

Despejando la constante G y tomando valores absolutos queda:

$|G|={\frac {{|\mathbf {F} |}|\mathbf {r} |^{2}}{m_{1}m_{2}}}$

Donde $G$ = constante de gravitación universal, $r$ = la distancia entre los centros de las masas, y $m_{1}$ y $m_{2}$ = las masas de los objetos que interactúan.

Utilizando análisis dimensional:

$[G]={\frac {[N][m]^{2}}{[Kg]^{2}}}={\frac {[Kg{m \over s^{2}}][m]^{2}}{[Kg]^{2}}}={\frac {[m]^{3}}{[Kg][s]^{2}}}$

Donde $N$ = Newtons; $m$ = metros; $Kg$ = kilogramos y $s$ = segundos

Como se puede ver, el análisis dimensional es una herramienta básica que nos ahorrará muchos problemas y nos guiará en la resolución de problemas en física.