El momento angular ${\vec {L}}$ de una partícula con función de onda $\psi ({\vec {x}})$ se obtiene como

${\vec {L}}|\psi \rangle \doteq \langle {\vec {x}}|{\vec {L}}|\psi \rangle =-i\hbar {\vec {x}}\times \nabla \psi ({\vec {x}})$

Supongamos una partícula cuyo momento angular orbital es nulo ( $l=0$ ), lo cual se denomina onda s.

$L_{z}|\Psi \rangle =-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi ({\vec {x}})=0$

que es una función de onda que no gira alrededor del eje z.

$\to$ Al medir su momento angular (total) $J_{z}$ se encuentra que puede ser distinto de cero.

$\Longrightarrow$ Las partículas tienen un momento angular intrínsico o spin, ${\vec {S}}$ .

Clásicamente podría asimilarse al giro respecto a un eje interno (rotación), pero como el electrón es puntual "no tiene sentido".

${\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}$

${\vec {L}}$ no conmuta con ${\vec {X}}$ , al contrario que ${\vec {P}}$ .
Se demostrará que $l$ solo puede tomar valores enteros y $s$ semienteros.

En la representación de posiciones tenemos

${\vec {L}}|\psi \rangle \doteq -i\hbar \underbrace {{\vec {x}}\times \nabla \psi ({\vec {x}})} _{\langle {\vec {x}}|{\vec {L}}|\Psi \rangle }$

$L_{i}|\psi \rangle \doteq -i\hbar \epsilon _{ijk}x_{k}{\frac {\partial \psi ({\vec {x}})}{\partial x_{k}}}$

$\langle {\vec {x}}|L_{z}|\psi \rangle =-i\hbar \left(x{\frac {\partial \psi }{\partial y}}-y{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)$

En general es conveniente usar coordenadas esféricas

$\psi ({\vec {x}})=\langle {\vec {x}}|\Psi \rangle$

$\psi (x,y,z)=\langle {\vec {x}}(x,y,z)|\Psi \rangle$

$\psi (r,\theta ,\phi )=\langle {\vec {x}}(r,\theta ,\phi )|\Psi \rangle$

y en esféricas

$\cdots =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial \phi }}$

donde la conversión es

$x=rsen\theta cos\phi$

$y=rsen\theta \sin \phi$

$z=rcos\theta$

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

$\tan \theta ={\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}$

$\tan \phi ={\frac {y}{x}}$

$L_{x}$ , $L_{y}$ , $L_{+}$ , $L_{-}$ y $L^{2}$ dependen de la parte angular de $\psi$ , es decir, de $\theta$ y $\phi$ , no de la parte radial $r$ .

$\langle \psi |L_{z}|\psi \rangle =\int d^{3}\!x\psi ^{*}(x,y,z)(-i\hbar )\left(x{\frac {\partial \Psi }{\partial y}}-y{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\right)$

$=\int _{0}^{\infty }r^{2}dr\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{-1}^{1}d(cos\theta )\psi ^{*}(r,\theta ,\phi )\left(-i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial \phi }}\right)$

$\to \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta$

Armónicos esféricos

Supongamos una partícula sin espín (s=0) sometida a un potencial central $V(|{\vec {x}}|)=V(r)$ (simetría esférica)

$H(V,p^{2})$

$V\to V(r)$

$p^{2}\to -\hbar \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{\hbar ^{2}r^{2}}}L^{2}\right]$

$\Rightarrow [H,L_{z}]=0=[H,L^{2}]$

Puedo obtener una base de vectores propios de $H$ , $L_{z}$ y $L^{2}$ si\-mul\-tá\-neamente:

$\{|n,l,m\rangle \}$

$H|nlm\rangle =E_{n}|nlm\rangle$ $L^{2}|nlm\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|nlm\rangle$ $L_{z}|nlm\rangle =\hbar m|nlm\rangle$

Separando...

$\langle {\vec {x}}|nlm\rangle =R_{nl}(r)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$

e imponiendo normalidad

$\int dr\;r^{2}|R_{nl}|^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \langle nl'm'|nlm\rangle =\delta _{ll'}\delta _{mm'}$

$\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{-1}^{1}d(\cos \theta )Y_{l'}^{m'}Y_{l}^{m}$

Las $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ son funciones propias de $L_{z}$ y $L^{2}$ que se denominan armónicos esféricos.

$-i\hbar {\frac {\partial Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}{\partial \phi }}=m\hbar Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$

$L_{z}|nlm\rangle =m\hbar |nlm\rangle$

$-\hbar \left[{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(sen\theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\right]Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$

Uno encuentra que

Para $m\geq 0$

$Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\frac {(-1)^{l}}{2^{l}l!}}{\sqrt {{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}}}e^{im\phi }{\frac {1}{\sin ^{m}\theta }}{\frac {d\ldots }{\ldots }}$

Resto de casos

$\cdots$

Si la dependencia angular de la función de onda de un estado factoriza $|\Phi \rangle \rightarrow \Phi (r,\theta ,\phi )=f(r)\Psi (\theta ,\phi )$

$\Rightarrow \int _{0}^{\infty }drr^{2}f(r)=1$

Si $\psi (\theta ,\phi )=\sum _{l,m}c_{l}^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ , la probabildad de obtener $m\hbar$ al medir $L_{z}$ es

$|c_{l}^{m}|^{2}\ l(l+1)$

donde $L^{2}$ es $\sum _{l}|c_{l}^{m}|^{2}$

$c_{l}^{m}=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{-1}^{1}d(\cos \theta )\;Y_{l}^{m}\!(\;)\ Y_{l}^{*m}\!(\;).$