Mecánica cuántica/El espacio de Hilbert

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Estados: Bras y Kets[editar]

Postulado 1: En Mecánica Cuántica un estado físico en un instante de tiempo viene descrito por un vector unitario de un espacio de Hilbert complejo. Dicho vector se denomina vector estado o ket, y se denota o .

Espacios de Hilbert[editar]

Si y son vectores de un espacio de Hilbert y y números complejos se cumple que

  • (vector nulo)

Definición: Un vector unitario es aquel de módulo 1.

Base ortonormal[editar]

Definición 1 de base ortonormal (a partir del producto escalar de dos vectores):\\

Se define el producto escalar de por , (), como un número complejo con las siguientes propiedades:

  • Linealidad:
  • No conmutativo:

Una base ortonormal es un conjunto de vectores que son unitarios, ortogonales y forman una base del espacio:

  • Unitarios y ortogonales:
  • Forman base: cualquier se puede desarrollar de manera única como combinación lineal de los vectores del conjunto:

Nota: Se ha eliminado el símbolo de sumatoria en la última igualdad por convención. En adelante se seguirá este mismo criterio: no indicar sumatoria cuando haya factores con un mismo subíndice repetido.

Lo que podemos expresar de la forma

y como el desarrollo es único podemos identificar unívocamente a de la forma

donde hemos usado el símbolo para resaltar el hecho de que dicha representación es relativa a una base particular.

Por la linealidad del producto escalar se obtiene que

donde se observa que la "rompe" la . Podemos observar también que con lo visto hasta ahora

Definición 2 de base ortonormal (basado en bras y kets):\\

Un formalismo equivalente, usual en MC y en particular usado por el Sakurai, es el basado en bras y kets.\\

Dado un espacio de Hilbert donde ``viven" los vectores kets, , se define como el espacio dual de , donde viven los vectores bras, . Un bra o forma de es una aplicación lineal que asigna un número complejo a cada vector de .

donde se dice que actúa sobre .

  • Puede demostrarse que los espacios y son isomorfos, es decir, puede establecerse una relación cruzada uno a uno entre todos los vectores de cada espacio
  • Un producto escalar en describe un espacio dual y viceversa: un espacio y un espacio dual definen un producto escalar.
  • Dado un producto escalar en , se define la forma como aquella cuya acción sobre el vector coincide con el producto escalar de por .

  • Dada , base ortonormal de y base ortonormal de y de igual forma con en la base Si se cumple que debido a la linealidad de las formas bra.

Además

Los realmente coinciden con los conjugados de los

Se define el módulo de como