Postulado 1: En Mecánica Cuántica un estado físico
en un instante de tiempo
viene descrito por un vector unitario de un espacio de Hilbert complejo. Dicho vector se denomina vector estado o ket, y se denota
o
.
Si
y
son vectores de un espacio de Hilbert
y
y
números complejos se cumple que
![{\displaystyle \left|\gamma \right\rangle =a\left|\alpha \right\rangle +b\left|\beta \right\rangle \in \mathbb {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f581f017be8f20e412226576a166b059852a2f92)
(vector nulo)
Definición: Un vector unitario es aquel de módulo 1.
Definición 1 de base ortonormal (a partir del producto escalar de dos vectores):\\
Se define el producto escalar de
por
, (
), como un número complejo con las siguientes propiedades:
- Linealidad:
![{\displaystyle \left\langle \alpha \right|\left(b_{1}\left|\beta _{1}\right\rangle +b_{2}\left|\beta _{2}\right\rangle \right)=b_{1}\left\langle \alpha \right|\left.\beta _{1}\right\rangle +b_{2}\left\langle \alpha \right|\left.\beta _{2}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6820360797e370d3acfeeef9b72b4816963e139)
- No conmutativo:
![{\displaystyle \left\langle \beta \right|\left.\alpha \right\rangle =\left\langle \alpha \right|\left.\beta \right\rangle ^{*}\neq \left\langle \alpha \right|\left.\beta \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e53a682df7b80f1e650ee12a8b280ea6dc0d86)
Una base ortonormal es un conjunto de vectores
que son unitarios, ortogonales y forman una base del espacio:
- Unitarios y ortogonales:
![{\displaystyle \left\langle e_{i}\right|\left.e_{j}\right\rangle =\delta _{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cc3c9019903aaf89ebaae8cbe52dc095ad1fc8)
- Forman base: cualquier
se puede desarrollar de manera única como combinación lineal de los vectores del conjunto: ![{\displaystyle \left|\alpha \right\rangle =\sum _{i}\alpha _{i}\left|e_{i}\right\rangle \equiv \alpha _{i}\left|e_{i}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae0502c416af83380db9969fe75f574e5456231)
Nota: Se ha eliminado el símbolo de sumatoria en la última igualdad por convención. En adelante se seguirá este mismo criterio: no indicar sumatoria cuando haya factores con un mismo subíndice repetido.
Lo que podemos expresar de la forma
y como el desarrollo es único podemos identificar unívocamente a
de la forma
donde hemos usado el símbolo
para resaltar el hecho de que dicha representación es relativa a una base
particular.
Por la linealidad del producto escalar se obtiene que
donde se observa que la
"rompe" la
. Podemos observar también que con lo visto hasta ahora
Definición 2 de base ortonormal (basado en bras y kets):\\
Un formalismo equivalente, usual en MC y en particular usado por el Sakurai, es el basado en bras y kets.\\
Dado un espacio de Hilbert
donde ``viven" los vectores kets,
, se define
como el espacio dual de
, donde viven los vectores bras,
. Un bra o forma de
es una aplicación lineal que asigna un número complejo a cada vector de
.
donde se dice que
actúa sobre
.
- Puede demostrarse que los espacios
y
son isomorfos, es decir, puede establecerse una relación cruzada uno a uno entre todos los vectores de cada espacio ![{\displaystyle \mathbb {H} \ni |\alpha \rangle \leftrightarrow \langle \alpha |\in \mathbb {H} ^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2067d7dbb71f420a7bd036633cea3163aa28d1c)
- Un producto escalar en
describe un espacio dual
y viceversa: un espacio
y un espacio dual
definen un producto escalar.
- Dado un producto escalar en
, se define la forma
como aquella cuya acción sobre el vector
coincide con el producto escalar de
por
.
- Dada
, base ortonormal de
y
base ortonormal de
y de igual forma con
en la base
Si
se cumple que
debido a la linealidad de las formas bra.
Además
Los
realmente coinciden con los conjugados de los
Se define el módulo de
como