Física/Física avanzada/Teoría cuántica de campos/Preliminares

Prerrequisitos

Este libro presume un cierto conocimiento previo de mecánica cuántica a nivel medio, teoría de campos clásicos y relatividad especial. En sucesivas secciones se repasan brevemente los conceptos clave necesarios.

Notación

Las coordenadas del espacio-tiempo se denotan por (t, x, y, z) ≡ (x⁰, x¹, x², x³). La métrica del espacio-tiempo se toma con signatura (+,−,−,−), es decir:

$ds^{2}=dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{3})^{2}-(dx^{4})^{2}\!$

En general, para los cuadrivectores se adopta la notación v = (v^μ) = (v⁰, v), con negrillas para los vectores tridimensionales. El cuadrivector covariante correspondiente (con «índices abajo») es (v⁰, −v), de acuerdo con la convención escogida para los signos de la métrica. Así, la norma cuadridimensional de un cuadrivector v es:

$v^{2}=v_{\mu }v^{\mu }=v_{0}v^{0}+v_{i}v^{i}=(v^{0})^{2}-\mathbf {v} ^{2}\,,$

donde se muestra además el uso de la convención de sumación de índices repetidos:

$a_{\mu }b^{\mu }\equiv \sum _{m=0}^{4}a_{m}b^{m}=a_{0}b^{0}+a_{1}b^{1}+a_{2}b^{2}+a_{3}b^{3}=a^{0}b^{0}-a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}$

La métrica del espacio-tiempo se expresa entonces como ds² = η_μν dx^μdx^ν, donde η_μν es el tensor métrico, con (+1, −1, −1, −1) en la diagonal y 0 en el resto de componentes.

Las derivadas parciales respecto a tiempo y espacio forman, siguiendo esta convención, un cuadrivector covariante:

$(\partial _{\mu })=(\partial _{0},\nabla )=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)$

El operador D'Alembertiano o «laplaciano cuadridimensional» es entonces:

$\square f=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}-\Delta f\,,$

donde Δ = ∂_x² + ∂_y² + ∂_z² es el operador laplaciano tridimensional, también denotado ∇².

Unidades naturales

En todo el texto, salvo excepciones indicadas, se adoptan unidades naturales en las que la velocidad de la luz en el vacío y la constante de Planck valen la unidad:

$c=\hbar =1$

En estas unidades la masa de una partícula y su energía en reposo tienen el mismo valor, E⁰ = m, así como el momento y el número de onda de su onda asociada, p = k. En general:

[E] = [p] = [m] = [ω] = [l]⁻¹ = [t]⁻¹

Además la carga eléctrica puede expresarse como un número adimensional: si Q es una carga en un sistema de unidades cualquiera, la cantidad Q²/(4πε₀) tiene las mismas dimensiones que el producto ℏc. Por lo tanto, el cociente Q²/(4πε₀ℏc) se toma como el cuadrado del valor adimensional de la carga. Por ejemplo, en el caso de la carga elemental del electrón:

$\alpha =e^{2}={\frac {q_{e}^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\simeq 0,007297\simeq {\frac {1}{137,035}}$

A α se la denomina constante de estructura fina.

Relatividad especial

Las ecuaciones de movimiento de un sistema relativista son invariantes bajo rotaciones, translaciones y trasformaciones de Lorentz especiales o boosts, dadas por:

${\begin{aligned}&t'=\gamma (t-vx)\\&x'=\gamma (x-vt)\\&y'=y{\text{ , }}z'=z\,,\end{aligned}}$

donde γ² = 1/(1 - v²) es el factor de Lorentz. En particular, la cantidad Δt² - Δx², el intervalo espacio-temporal entro dos eventos (puntos del espacio-tiempo), es invariante bajo todas estas transformaciones. Es decir, su valor para un par de eventos dados es el mismo, independientemente del sistema de referencia inercial en el que se calcule. En notación cuadridimensional, utilizando el convenio de sumación de índices repetidos, esto se denota como:

$\eta _{\mu \nu }\Delta x'^{\mu }\Delta x'^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }\,,$

donde (η_μν) = diag(+1, −1, −1, −1) es el tensor métrico del espacio-tiempo. El grupo de transformaciones más general que conserva una expresión cuadrática como esa, en el caso de un tensor euclídeo (δ_μν) = diag(+1, ..., +1), es el grupo de movimientos rígidos del espacio, que combinan rotaciones y translaciones. En este caso la combinación de rotaciones tridimensionales, translaciones (en tiempo y espacio) y transformaciones de Lorentz especiales resulta en el grupo de Poincaré:

$x^{\mu }\to \Lambda _{\ \nu }^{\mu }x^{\nu }+a^{\mu }{\text{ , donde }}\Lambda _{\ \sigma }^{\mu }\Lambda _{\ \lambda }^{\nu }\eta _{\mu \nu }=\eta _{\sigma \lambda }$

Λ es una matriz que conserva el tensor métrico η_μν, una matriz «pseudo-ortogonal», y a^μ un cuadrivector constante cualquiera.

Grupo de Lorentz

Dentro de estas transformaciones, el subgrupo de aquellas que son homogéneas (con a^μ = 0) se denomina el grupo de Lorentz, y se denota como O(1, 3) —matrices «ortogonales» en un espacio métrico de signatura (+¹,−³)—. Puede subdividirse en cuatro componentes, dependiendo de como afecten a la paridad del espacio y el tiempo. Las transformaciones de Lorentz propias, denotadas como SO(1, 3) son aquellas con determinante positivo, det Λ = 1 (la definición de Λ implica ya que (det Λ)² = 1), y no cambian la orientación del espacio-tiempo. Las transformaciones de Lorentz ortócronas, denotadas como O⁺(1, 3) son aquellas que no cambian el signo del tiempo, Λ⁰₀ > 0. El conjunto de las transformaciones propias y ortócronas, o restringidas, denotado como SO⁺(1, 3), es el que en ocasiones se denomina simplemente «el grupo de Lorentz».

$SO^{+}(1,3)\subset \left\{{\begin{array}{c}SO(1,3)\\O^{+}(1,3)\end{array}}\right\}\subset O(1,3)$

El resto de transformaciones pueden obtenerse combinando una transformación restringida con una de las transformaciones discretas de paridad P e inversión temporal T, definidas como:

$P=\left({\begin{array}{rrrr}+1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right){\text{ , }}T=\left({\begin{array}{rrrr}-1&0&0&0\\0&+1&0&0\\0&0&+1&0\\0&0&0&+1\end{array}}\right)\,,$

de modo que si Λ es una transformación restringida, P Λ es ortócrona e impropia, T Λ es propia y no ortócrona, y PT Λ es impropia y no ortócrona. Esta distinción es útil, ya que existen fenómenos en la naturaleza invariantes bajo el grupo SO⁺(1, 3), pero no bajo el grupo de Lorentz completo.

Vectores y tensores

La energía y momento de una partícula, E = mγ y p = mγv, se transforman de forma similar a las coordenadas del espacio-tiempo, bajo una transformación de Lorentz especial:

${\begin{aligned}&E'=\gamma (E-vp_{x})\\&p_{x}'=\gamma (p_{x}-vE)\\&p_{y}'=p_{y}{\text{ , }}p'_{z}=p_{z}\,,\end{aligned}}$

lo que significa que la cantidad E² − p² = m², la masa, tiene el mismo valor en todos los sistemas de referencia. Se dice entonces que el cuadrimomento (p^μ) = (E, p) es un vector contravariante, ya que en distintos sistemas de referencia inerciales sus componentes cambian igual que las coordenadas:

$p'^{\mu }=\Lambda _{\ \nu }^{\mu }p^{\nu }$

Existen otras cantidades que se transforman de manera recíproca, como por ejemplo el (cuadri)gradiente de una función numérica, ∂_μf. Sus componentes se transforman como:

${\frac {\partial f}{\partial x'^{\mu }}}=\left(\Lambda ^{-1}\right)_{\ \mu }^{\nu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\nu }}}=\Lambda _{\mu }^{\ \nu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\nu }}}\,,$

donde se ha introducido la notación habitual (Λ−1)αβ = Λβα, y se dice entonces que ∂μf es un vector covariante. En general, un tensor de k índices contravariantes y l índices covariantes es un conjunto de magnitudes organizadas en una «matriz de muchos índices», Tα1...αkβ1...βl, cuyos valores en distintos sistemas de referencia vienen dados por:

${T'}_{\beta _{1}\ldots \beta _{l}}^{\alpha _{1}\ldots \alpha _{k}}=\Lambda _{\ \sigma _{1}}^{\alpha _{1}}\ldots \Lambda _{\ \sigma _{k}}^{\alpha _{k}}\Lambda _{\beta _{1}}^{\ \lambda _{1}}\ldots \Lambda _{\beta _{l}}^{\ \lambda _{l}}T_{\lambda _{1}\ldots \lambda _{l}}^{\sigma _{1}\ldots \sigma _{k}}$

Un ejemplo inmediato de tensor es el tensor métrico, cuyas componentes se definen como constantes para todos los sistemas de referencia inerciales, η'_μν = η_μν , y precisamente por la definición de transformación de Lorentz, esto se corresponde con la ley de transformación anterior:

$\eta '_{\mu \nu }=\Lambda _{\mu }^{\ \alpha }\Lambda _{\nu }^{\ \beta }\eta _{\alpha \beta }=(\Lambda ^{-1})_{\ \mu }^{\alpha }(\Lambda ^{-1})_{\ \nu }^{\beta }\eta _{\alpha \beta }=\eta _{\mu \nu }$

Este razonamiento también es válido para el tensor identidad, cuyas componentes son la delta de Kronecker δ^μ_ν; o el inverso del tensor métrico, η^μν, con idénticas componentes que el original. Las leyes de transformación mostradas aseguran que en un sumatorio sobre las componentes de distintos tensores, donde las sumas sean siempre entre un índice covariante y otro contravariante, la cantidad que queda se transforma como un tensor respecto a los índices restantes; por ejemplo:

${T'}^{\alpha \beta \gamma }\,{S'}_{\gamma }^{\sigma }\,{U'}_{\sigma \lambda }=\Lambda _{\ \kappa }^{\alpha }\,\Lambda _{\rho }^{\beta }\,\Lambda _{\lambda }^{\ \delta }\,{T}^{\kappa \rho \gamma }\,{S}_{\gamma }^{\sigma }\,{U}_{\sigma \delta }$

En particular esto asegura que si en la suma no quedan índices libres, el resultado es un escalar, un número que no depende del sistema de referencia, como por ejemplo:

$A'_{\mu }B'^{\mu }=A_{\mu }B^{\mu }\!$

Este es el caso precisamente del intervalo espacio-temporal η_μνΔx^μΔx^ν o el «cuadrado» del cuadrivector momento, η_μνp^μp^ν. El tensor métrico y su inverso se utilizan para «enganchar» dos índices contravariantes (o covariantes) en un sumatorio, o directamente para subir o bajar índices de acuerdo a la notación:

$\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\equiv A_{\mu }{\text{ , }}\eta ^{\alpha \beta }T_{\beta \sigma }\equiv T_{\ \sigma }^{\alpha }$

Teoría clásica de campos

Una teoría clásica usual, con un número finito de grados de libertad, está determinada por su lagrangiano, una función de sus coordenadas y velocidades generalizadas:

$L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)\,,$

donde q₁, ... , q_n son dichas coordenadas. Esta función permite obtener las ecuaciones de movimiento del sistema mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$

de forma que la acción es estacionaria:

$S=\int _{t_{i}}^{t_{f}}L(q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t),t)\,dt$

Además del formalismo lagrangiano, también es de utilidad el formalismo hamiltoniano. Para cada coordenada q_i se define su correspondiente momento conjugado p_i como:

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

De este modo, cada momento p_i es una función de las coordenadas, sus velocidades y el tiempo. Si se invierte esta dependencia funcional, expresando las velocidades en función de los momentos, las coordenadas y el tiempo, puede escribirse la siguiente función:

$H(q_{i},p_{i},t)=\sum _{j}p_{j}{\dot {q}}_{j}-L\,,$

denominada el hamiltoniano del sistema. El valor del hamiltoniano es la energía total del sistema, y las ecuaciones del sistema pueden obtenerse también a partir de él, mediante las ecuaciones de Hamilton:

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\text{ , }}{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

El formalismo hamiltoniano es especialmente útil en el proceso de encontrar el equivalente cuántico de una cierta teoría clásica, la cuantización.

En teoría clásica de campos, los sistemas estudiados están descritos por campos continuos: funciones φ(x) que evolucionan en el tiempo. Por lo tanto en lugar de N coordenadas q_i, se tienen N campos φ_a(x). La acción del sistema viene dada por una integral en tiempo y espacio, de una densidad lagrangiana, que puede depender tanto de las «velocidades» como del resto de derivadas espaciales de φ, así como de la posición x:

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int d\mathbf {x} \,{\mathcal {L}}(\varphi _{a},\partial _{i}\varphi _{a},{\dot {\varphi }}_{a},\mathbf {x} ,t)$

Las ecuaciones de movimiento del campo pueden obtenerse de nuevo buscando la solución φ(t, x) que hace estacionaria la acción, con lo que se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange para una densidad lagrangiana:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\varphi }}_{a}}}\right)+\partial _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{i}\varphi _{a})}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{a}}}$

En notación tetradimensional, estas ecuaciones se escriben:

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{a})}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{a}}}$

Al igual que en la mecánica de sistemas discretos, se define el momento canónico asociado cada campo del sistema como:

$\pi _{a}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\varphi }}_{a}}}\,,$

y de nuevo, si se invierte su dependencia de la derivada temporal del campo, se puede construir la densidad hamiltoniana:

${\mathcal {H}}(\pi _{a},\partial _{i}\varphi _{a},x)=\sum _{a}\pi _{a}{\dot {\varphi }}_{a}-{\mathcal {L}}$

La integral de esta densidad a todo el espacio tridimensional es el hamiltoniano propiamente dicho, que se corresponde con la energía del campo. La versión continua de las ecuaciones de Hamilton:

${\dot {\varphi }}_{a}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \pi _{a}}}{\text{ , }}{\dot {\pi }}_{a}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \varphi _{a}}}$

Teorema de Noether

El teorema de Noether permite extraer cantidades conservadas de un sistema de campos clásicos invariante bajo alguna simetría continua. Una simetría es cualquier transformación de los campos que no afecta a las ecuaciones de movimiento. En particular, esto siempre ocurre cuando el valor de la acción S no cambia con dicha transformación.

Existen muchas transformaciones de simetría —como las translaciones, las rotaciones, etc.— que forman parte de un grupo continuo, es decir, que dependen de una serie de parámetros reales. Por ejemplo, en el caso de una translación, el campo transformado es:

$\varphi ^{v}(x)=\varphi (x-v)\,,$

donde v es un cuadrivector cualquiera, y por tanto las translaciones son un grupo de transformaciones que depende de cuatro valores reales: las componentes de v en algún sistema de referencia. Otro ejemplo es una rotación para un campo tridimensional:

$\varphi _{\theta ,\mathbf {u} }(\mathbf {x} )=\varphi (R_{\theta ,\mathbf {u} }\mathbf {x} )\,,$

donde R_{θ, u} es la rotación de ańgulo θ (en sentido anti-horario) alrededor del eje señalado por un vector unitario u. Las rotaciones tridimensionales son un grupo que depende de tres parámetros reales: el ángulo θ y los dos ángulos polares necesarios para especificar el vector unitario u. A los grupos de simetría «continuos» se les denomina grupos de Lie.

Supóngase entonces que se tiene una cierta transformación de los campos φ_a que depende de un parámetro continuo s, φ_a^s, donde el valor s = 0 corresponde a la transformación identidad, φ_a⁰(x) = φ_a(x). Para valores infinitesimales de s, la variación infinitesimal de los campos δφ_a se define como:

$\varphi _{a}^{s}(x)=\varphi _{a}(x)+s\cdot \delta \varphi _{a}(x)+\ldots \,,$

donde se desprecian los términos de orden s² y superior. Esta transformación conserva las ecuaciones de movimiento si, en particular, el valor de la integral de la acción S no cambia:

$S=\int d^{4}x{\mathcal {L}}(\varphi _{a},\partial _{\mu }\varphi _{a},x^{\mu })=\int d^{4}x{\mathcal {L}}(\varphi _{a}^{s},\partial _{\mu }\varphi _{a}^{s},\chi _{s}^{\mu }(x))\,,$

transformando las coordenadas x mediante alguna función χ^μ_s que dependerá a su vez del parámetro s. Para esta función puede calcularse también su variación infinitesimal δχ, dada por:

$\chi _{s}^{\mu }(x)=x^{\mu }+s\cdot \delta \chi ^{\mu }+\ldots$

El teorema de Noether asegura entonces que existe una corriente conservada, es decir, un cuadrivector j^μ dado por:

$j^{\mu }=\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{a})}}\,\delta \varphi _{a}-\delta \chi ^{\mu }\cdot {\mathcal {L}}$

el cual, suponiendo que se cumplen las ecuaciones de movimiento, verifica:

$\partial _{\mu }j^{\mu }=\partial _{t}j^{0}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

A partir de una corriente conservada es posible obtener una carga conservada o constante de movimiento, es decir, una cantidad numérica dependiente de los campos, cuyo valor se mantiene constante siempre que se cumplan las ecuaciones de movimiento. Para ello, se integra la componente temporal de la corriente:

$Q=\int d^{3}\mathbf {x} \,j^{0}$

Suponiendo que los campos involucrados decaen lo suficientemente rápido cerca del infinito espacial |x| → ∞, mediante el teorema de la divergencia se demuestra que Q es una constante de movimiento:

${\frac {dQ}{dt}}=\int d^{3}\mathbf {x} \ \partial _{t}j^{0}=-\int d^{3}\mathbf {x} \,\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

Referencias y bibliografía

• Goldstein, Herbert (1998). Mecánica clásica. Editorial Reverté. ISBN 978-84-291-4306-5.