Estadística en Microcomputadores/Cálculos con Funciones de Probabilidad ESTAD
13.1 CALCULOS CON FUNCIONES DE PROBABILIDAD
Este primer proceso permite efectuar cálculos asociados a las funciones de probabilidad de las distribuciones estadísticas abarcadas por el sistema. Los procesos concretos disponibles son:
1) Cálculo de los valores de f(x), p(x) y F(x) para valores específicos de la variable X, considerando una distribución de probabilidad determinada. Dicho cálculo es efectuado mediante el uso de procedimientos que se incluyen en los Cuadros 13.6 y 13.7, para cada distribución considerada en el sistema.
2) Cálculo del valor de X para un valor específico de la función F(x) de un cierta distribución. El criterio utilizado en el sistema ESTAD para realizar este proceso, descripto en el Cuadro 13.1, se basa en aprovechar las expresiones de cálculo de F(x), definidas para el proceso anterior, mediante las cuales se va aproximando iterativamente el valor de x que corresponde al valor especificado de F(x).
En ambos procesos el sistema contempla la posibilidad de definir valores específicos para el cálculo, o utilizar valores contenidos en variables de la memoria de trabajo.
La ejecución de cálculos con funciones de probabilidad utilizando el sistema ESTAD requiere desarrollar los pasos que se enuncian a continuación, a partir de la elección de la opción correspondiente en el menú de Distribuciones:
a) Selección de la opción de proceso específica a considerar, del menú siguiente:
PROCESOS
1 - Cálculo de f(x) y F(x)
2 - Cálculo de x para valores de F(x)
b) Selección de la distribución a considerar, en el siguiente menú:
DISTRIBUCIONES CONTINUAS
1 - Uniforme (a,b) 7 - Chi2 (k)
2 - Normal (Mu,Sig) 8 - t (k)
3 - Exponencial (Mu) 9 - F (k1,k2)
4 - Gamma (Alfa,Beta) 10 - Normal Autocorr.(Mu,Sig,Ro)
5 - Beta (Alfa, Beta) 11 - Normal Bidimens.
6 - LogNormal (Mu',Sig') (Mu1,Sig1,Mu2,Sig2,Ro)
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
12 - Uniforme Discr.(a,b) 14 - Binomial Negat.(r,p)
13 - Binomial (n,p) 15 - Poisson (Mu)
En el menú anterior se indican, junto a cada distribución, los parámetros correspondientes.
c) Ingreso de los valores de los parámetros para la distribución elegida. En este caso, si se ingresa sólo "Enter", se mantiene el valor anterior para el parámetro involucrado (que se presenta entre paréntesis). El valor ingresado es verificado de acuerdo a las siguientes condiciones:
.a Entero para la distribución uniforme discreta
.b Mayor que a. Entero para la distribución anterior
.Mu Mayor que 0 para las distribuciones Exponencial, Gamma, y Poisson
.Sig,Sig'
.Sig1,Sig2 Mayor que 0
.Mu',Alfa,Beta
.Ro,p Mayor que 0, menor que 1 (para la distrib.Normal Bidimens -1 Ro 1).
.k,k1,k2,n,r Entero mayor que 0
d) En el caso de la distribución normal bidimensional se ingresa el valor a considerar de la segunda variable Y.
e) Se define si los valores de x (o de F(x) ) a considerar en el cálculo se toman de una variable de la memoria de trabajo o se ingresan de manera específica, respondiendo a la correspondiente interrogación.
f) Si en el paso anterior se respondió afirmativamente se ingresa la variable de la memoria de trabajo donde se encuentran los valores de x (o de F(x) ) a utilizar. Asimismo, se define la posición de la memoria de trabajo donde se colocarán los resultados corrrespondientes.
e) En caso de respuesta negativa en e) y si en el paso a) se eligió la opción 1, se definen los valores x a considerar. Ello se realiza de la misma manera que la definición de valores de una variable para la clasificación (ver paso de sección ).
Cálculo de f(x) y F(x) para valores de x
f) El computador efectúa los cálculos correspondientes y presenta en pantalla los siguientes resultados, para cada valor x:
. f(x) Para variables continuas
. p(x) Para variables discretas. En el caso de variables continuas mide la probabilidad de ocurrencia entre el valor xi y el xi-1:
p(x) = F(xi) - F(xi-1)
. F(x)
. 1 - F(x)
Se presenta también finalmente la probabilidad de ocurrencia de valores mayores que el máximo valor x definido. Si en f) se definió una posición de la memoria de trabajo el computador coloca en ella los valores de F(x) correspondientes a cada valor x considerado.
g) En el caso de haber ingresado valores específicos de x para el cálculo pueden ejecutarse, como procesos complementarios, la graficación de f(x) o de F(x) y la creación de un archivo con los resultados del cálculo , de acuerdo al siguiente menú:
PROCESOS COMPLEMENTARIOS
1 - Graficación de f(x) o p(x)
2 - Graficación de F(x)
3 - Creación de Archivo con resultados
h) Si se selecciona una de las dos primeras opciones el
computador presenta en pantalla el gráfico correspondiente,
utilizando el esquema de graficación visto en la sección . La
definición de los valores para la rotulación de los ejes
coordenados se efectua automaticamente.
En el caso de f(x) se grafica una barra en correspondencia con cada valor x. Para F(x) se grafica un punto en correspondencia con cada valor x.
Si se desea obtener los gráficos en forma impresa se utiliza la tecla "Print Screen" una ver obtenidos en pantalla.
i) Si en el menú anterior se elige la opción 3 resulta posible crear un archivo en formato ESTAD con los resultados de la clasificación. Las características de dicho archivo son:
- En la descripción del archivo se consigna el nombre de la distribución y los valores de sus parámetros.
- Las variables definidas son:
. Valor x Contiene los valores de x considerados.
. f(x)/p(x) Contiene los valores de f(x) (o de p(x) en el caso de distribuciones discretas), para cada valor de x.
. F(x) Contiene los valores de F(x) para cada valor de x.
- Se graba una osbervación en el archivo por cada valor de x definido en e).
Cálculo de x para valores de F(x)
j) Si en e) se respondió negativamente se ingresan los valores a considerar de F(x), entre 0 y 1, de manera similar al ingreso de valores x en el paso f).
k) Para la misma opción, el computador lleva a cabo el proceso y presenta en pantalla los valores x para cada valor definido de F(x). Si en e) se definió una posición de memoria se ingresan en ella los valores de x calculados.
l) En el caso de que en j) se ingresen valores específicos para el cálculo resulta posible crear un archivo en formato ESTAD con los resultados del cálculo. Las características de dicho arcivo son:
- En su descripción se incluye el nombre de la distribución considerada y los valores de sus parámetros.
- Se definen las siguientes variables:
. F(x) Contiene los valores de F9x) considerados.
. Valor x Contiene los valores x correspondientes a acad valor F(x).
- Se ingresa en el archivo una observación por cada valor de F(x) definido.
A contunuación se presentan dos ejemplos del proceso de Cálculo de Funciones de Probabilidad. En el primero de ellos se considera la obtención de valores de las funciones de probabilidad para una distribución Normal (con parámetros = 5 y = 1) y diversos valores de la variable X. Un resumen del cálculo para x = 3 es:
u= ( 3-5 )/1 = -2
fN(3)=(1/ 1* 6.2832 )*exp(-0.5*(-2)2) = 0.054
z= 1/(1+.2316419* -2 ) = 0.6834
F'(3) = 1-0.054*(.319315*0.6834+...+1.330274*0.6834 5)
= 0.9772
FN(3)=1 - 0.9772 = 0.0228
En el segundo ejemplo se obtienen valores x correspondientes a valores especificados de F(x), para una distribución "Chi2" con parámetro k = . La secuencia iterativa de cálculo resulta, para el caso de F(x) = 0.1: Búsqueda del intervalo donde se encuentra x (Desvío estándar de la distribución = 4.899):
x F(x) y
12 0.5541 0.4541
7.101 0.14848 0.04848
2.202 0.0012 -0.0988
Determinación de x dentro del intervalo anterior:
xa ya xb yb x F(x) y
2.202 -.0988 7.101 .04848 5.4885 .0605 -.0395
6.2125 -.0395 7.101 .04848 6.2988 .09946 -.00054
CUADRO 13.1 OBTENCION DEL VALOR x PARA UN VALOR F(x)
Dado un valor conocido k de F(x) el proceso implica resolver la ecuación:
y = F(x) - k = 0
es decir, encontrar el valor de x que determina la igualdad. Se uitiliza para ello el método iterativo denominado "Regula Falsa", una vez encontrado un intervalo dentro del cual se encuentre el valor x buscado.
a) Búsqueda del intervalo de la variable x dentro del cual se cumple: y = 0
Se parte de x0 = y se toman intervalos d = a uno y otro lado de x0 (según el signo de y0) hasta que se detecta el intervalo dentro del cual se cumple y = 0, obteniendo los valores de xA, xB, yA e yB.
b) Cálculo de un valor estimado de x Suponiendo una recta entre (xAyA) el valor de x para el quey=0 resulta:
x=xA+yA(xB-xA)/(yB-yA)
El valor correspondiente de y se obtiene haciendo: y=F(x)-k c) Para un valor de pequeño especificado, si: y se finaliza el proceso. En caso contrario se hace:
. Si y 0 xB = x ; yB = y
. Si y 0 xA = x ; yA = y
y se vuelve al paso b).