Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Circuitos AC

La era moderna está infestada de objetos que funcionan gracias a las leyes de la Teoría de Circuitos. La física que hay detrás de los celulares, radios, televisores, computadoras y demás sofisticaciones, sienta sus bases en un conjunto compacto de reglas que permiten su estudio posterior y entendimiento óptimo. Las Aplicaciones Tecnificadas de la teoría electromagnética es la cara amigable y bonita que la mayoría de la gente ordinaria conoce y percibe en supermercados, oficinas, tiendas departamentales y el hogar, acerca del trabajo teórico monumental que Maxwell, Ampère, Faraday y compañía elaboraron desde varios años atrás.

Los ideales y la Impedancia

Del cúmulo de posibilidades que a nuestra mente puede venir el trabajar con las ecuaciones de Maxwell, la teoría de circuitos es como si nos encerrásemos en un cubículo y trabajáramos sin calcetines resolviendo crucigramas y juegos de lógica. Literalmente, claro. En particular, la onda de los circuitos es un tipo de especialización práctica acerca de las teorías –algo esotéricas, por no decir fumadas- de las que proviene. Pero aún así no deja de ser interesante, ya que al igual que la electrodinámica en general, plantea retos y problemas acerca de la realidad de la mayoría de aparatos y tecnología de la era moderna. ¿Quién no ha sentido curiosidad acerca de cómo funciona una cámara digital (que hace actualmente mil y un monerías)? ¿Cómo puede funcionar un radio? Pues eso y más se lo debemos a los intrincados circuitos que dentro de dichos aparatos podemos encontrar.

Un circuito eléctrico consiste en una serie de elementos que conectados entre sí y mediante el uso de una fuente, permiten el movimiento de cargas eléctricas. Existe gran diversidad de ellos. Los más básicos son los circuitos de sistemas lineales, en donde voltajes y corrientes fluyen en forma sinusoidal. Claro que podrían hacerlo en formas más caprichosas y arrogantes, pero para fines prácticos, el hecho de que sean sinusoidales –y de que sean alternantes-simplifica la vida ya que tales magnitudes pueden ser descritas en notación matemática como exponenciales con parte imaginaria y que dependan del tiempo, por lo que:

$V(t)=V_{0}e^{\imath \omega t}\;\;\,\,(voltaje)$

(1)

$I(t)=I_{0}e^{\imath \omega t}\;\;\,\,(corriente)$

(2)

${\mathcal {E}}(t)={\mathcal {E}}_{0}e^{\imath \omega t}\;\;\,\,(emf)$

(3)

$E(t)=E_{0}e^{\imath \omega t}\;\;\,\,(campo\;electrico)$

(4)

A estas alturas existirá quizás alguna vaga noción acerca de conceptos tales como resistencia, inductancia y capacitancia. Tales conceptos son las propiedades de los elementos básicos que forman, en mayor parte, a todo tipo de circuito eléctrico: inductores, resistores y capacitores. Pero eso es el mundo ideal. En realidad, la forma como los llaman se ha vuelto flexible, así que inductancia puede referirse tanto al objeto como a la propiedad, etcétera. Lo que conviene ahora es hablar con más detalle acerca de cada uno de ellos.

Archivo:Inductare.PNG

Figura 1

La idea de una inductancia –como objeto- es la de un simple alambre enrollado en forma de bobina cuyas puntas están separadas y a cierta distancia una de otra (ver figura). En la búsqueda de trabajar con objetos simples e ideales, debemos de recurrir a ciertos hechos que se asumen por default para que no interfieran en nuestro objetivo: el de explicar la forma menos complicada de cómo funcionan las cosas. Así pues, para describir una inductancia ideal asumimos que el campo magnético producido por la circulación de la corriente en el arreglo no se desparrama sobre todo el espacio afectando posiblemente a los elementos vecinos, sino que se queda confinado, por lo que el campo magnético externo o cerca de las terminales a y b de la bobina es meramente despreciable. También asumiremos que tanto la resistencia en el alambre al flujo de corriente como la posible producción de un campo eléctrico debido a la acumulación de carga en la bobina, son igual despreciables.

Queremos calcular el potencial debido a una inductancia. Sabemos que cuando una corriente pasa a través de un arreglo de alambre como este, se produce un campo magnético dentro de la bobina. Si cambia la corriente con el tiempo también lo hace el campo. Existe una relación entre el cambio del campo magnético y el campo eléctrico que lo vemos expresado en las ecuaciones de Maxwell –ley de Faraday- en forma integral como:

$\oint _{\Gamma }{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=-{\frac {d}{dt}}\int _{s}{\vec {B}}\cdot d{\vec {a}}$

(5)

Donde la integral cerrada es igual a la suma de dos posibles trayectorias sobre la inductancia como sigue:

$\int {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=\int _{a(\;via\;alambre)}^{b}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}+\int _{b(\;afuera)}^{a}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}$

(6)

En la primera trayectoria comenzamos en a y bajamos hasta b por la bobina, en la segunda regresamos hacia a desde b pero fuera del arreglo, a través del espacio entre las terminales. Claramente, la primera integral es cero ya que asumimos que no hay campos eléctricos dentro de un conductor perfecto, por lo que la entera contribución del campo Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {E}}} viene de la segunda integral. Dado que no existen campos magnéticos fuera de la bobina, esta integral es independiente de la trayectoria a seguir, por lo que podemos definir la diferencia de potencial o voltaje entre los dos puntos a y b como:

$V=-\int _{b}^{a}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}$

(7)

pero a esta igualdad le hemos asociado el cambio de flujo magnético con el tiempo y a la integral de línea la hemos llamado fuerza electromotriz (emf), por lo que tenemos:

$V=-\varepsilon =L{\frac {dI}{dt}}$

(8)

Donde L es la inductancia de la bobina. De la expresión (2) obtenemos $dI/dt=\imath \omega I$, así que

$V=\imath \omega LI$

Esta inocente expresión relaciona el voltaje y la corriente en el caso de la inductancia. Pero se tiene que para todos los elementos de circuitos existe una relación

voltaje=constante (corriente)

que es digna de resaltar. Dicha constante de proporcionalidad suele ser un número imaginario que recibe el nombre de impedancia –que se denota por la letra z- y que físicamente se acopla a toda aquella oposición al paso de corriente alterna. En general es función de la frecuencia $\omega; de la corriente. Así que:

${\frac {V}{I}}=z$

Y para el caso especial de un inductor, se cumple que:

$impedancia=z_{inductancia\;bobina}=z_{L}=\imath \omega L$

(9)

Archivo:Capacit.PNG

Figura 2. Esquema de un capacitor

Ahora veamos otro elemento básico dentro de todo circuito, analizaremos el capacitor de la misma manera que a la inductancia.

Dos objetos conductores cada uno con cierta carga igual el magnitud pero de diferente signo, separados cierta distancia es la idea general de un capacitor. Ahora bien, la forma clásica es que los objetos conductores tengan forma de láminas tal y como se ve en la figura 2. Para este caso, asumiremos que las láminas y los alambres son conductores perfectos; que existe un aislamiento total entre las dos láminas, por lo que no habrá cargas que fluyan de una lámina a otra; que las líneas de campo parten enteramente de una lámina para llegar a la otra y que no hay campos magnéticos cerca del capacitor. Como buscamos la forma del potencial en un capacitor, recordamos la integral de línea del campo E sobre la siguiente trayectoria cerrada: primero, desde el punto a hasta el punto b enteramente sobre el capacitor; segundo, desde b hasta a pero ahora fuera del capacitor –volando a través del espacio-. Obtenemos que esta famosa integral de línea será cero gracias a que no hay campo magnético presente, por lo que también puede ser escrita en partes como el anterior caso:

$\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=\int _{sobre\;los\;alambres}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}+\int _{entre\;los\;platos}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}+\int _{afuera}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}$

(10)

Las dos primeras integrales serán cero, ya que volvemos al ofuscado hecho de que no hay campo eléctrico dentro de conductores perfectos. La diferencia de potencial entre a y b estará dada por la tercera integral entonces. Aunado a esto, la carga en los platos es igual pero opuesta, y ya se ha visto que la diferencia de potencial entre las placas es igual a Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle {\emph {Q/C}}} , donde Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle {\emph {C}}} es una constante que dependerá de la geometría y que se le llama capacitancia, por lo tanto, tenemos que de manera general para un capacitor:

$V={\frac {Q}{C}}$

La corriente que entra por el capacitor es en términos de la carga total igual $dQ/dt$ pero si ahora derivamos toda la expresión anterior con respecto del tiempo, obtenemos:

$V={\frac {I}{\imath \omega C}}$

Notamos la relación voltaje=constante (corriente), con lo cual, es fácil obtener la impedancia del capacitor:

${\frac {V}{I}}=impedancia=z_{C}={\frac {1}{\imath \omega C}}$

Archivo:Resisten.PNG

Figura 3. Esquema de una resistencia

Finalmente, terminamos este análisis considerando al resistor. La imagen descriptiva de la resistencia (figura 3) da una idea acerca de la relación voltaje-corriente, que es precisamente la ley de Ohm:

Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle {\emph {V=IR}}}

Donde Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {R}}} es la resistencia. Un hecho que debe llamar la atención es que para corrientes alternas, el voltaje sobre el resistor esta en fase con la corriente, esto significa que la impedancia del resistor será un número real.

${\frac {V}{I}}=impedancia=z_{R}=R$

Los 3 elementos descritos idealmente forman lo que se llama elementos pasivos, ya que para darnos cuenta de su existencia deben responder a una acción aplicada externa. Por el contrario, los elementos activos vienen a ser las fuentes de oscilaciones tanto de corriente como de voltaje –o sea, los generadores-.

Generadores

Archivo:Generad.PNG

Figura 4. Un generados formado por una bobina fija y un campo magnético rotatorio

Como su nombre lo indica, un generador es una fuente que suministra de corriente y voltaje a un circuito. Pensemos en una inductancia –bobina de alambre- y junto a ella, un barra magnética –fuente de campo magnético variable- que gira sobre su propio eje tal y como se ve en la figura 4. Volveremos al mundo idealizado, por lo que asumimos que dicho campo magnético está confinado a cierta región tal que no tenga influencia sobre los puntos a y b.

Dadas las condiciones, observamos que el potencial entre las terminales es igual a:

$V=-\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}$

Dicha integral es igual a una emf producida en el circuito, que a su vez es igual a la razón de cambio del flujo magnético, o sea:

$V=-{\mathcal {E}}={\frac {d}{dt}}(flujo\;de\;B)$

(11)

En un generador ideal no existirá impedancia ya que el flujo de campo magnético se verá afectado, para este caso, por cuestiones externas –como la velocidad angular de la barra- y no por la corriente a través de la bobina, por ejemplo.

Pero esta no es la única forma que un generador puede tener. Veamos el siguiente caso. Tenemos una fuente constante de campo magnético –que bien puede ser un imán o una bobina con corriente constante- y un arreglo de alambre enrollado que rote sobre un eje, en el cual una terminal esté conectada a un cilindro y la otra no, tal y como se aprecia en la figura 5.

Archivo:Generad2.PNG

Figura 5. Otro tipo de generador, formado ahora por una bobina rotatoria y un campo magnético fijo

Ahora no existe campo magnético cambiante, por lo que la pregunta obvia es qué pasa con el voltaje en las terminales. Sabemos que no existen campos eléctricos dentro del generador y lo respaldamos siguiendo la línea de que como el alambre es un conductor perfecto, entonces no puede haberlo… pero, ¿se sigue aplicando este razonamiento aún cuando tenemos el caso de que un conductor se mueva en un campo magnético? No. No es cierto que el campo eléctrico sea cero en una bobina de alambre conductor cuando ésta se mueva en un campo magnético. Lo que sí es verdad es que la fuerza total sobre cualquier carga dentro de un conductor perfecto debe ser cero . De otro modo habría una infinidad de flujo de cargas libres. Continuando con aquello que dice que la suma total debe ser cero, matemáticamente se representa con la ecuación:

${\vec {F}}={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}=0$

en un conductor perfecto. Nuestra primera tesis acerca de que no hay campo eléctrico dentro de un conductor perfecto es cierta si la velocidad Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {v}}} del conductor es cero, de otro modo corresponde a la ecuación de arriba.

¿Y qué pasó con nuestro nuevo generador? Pues que analizando las trayectorias por ambos lados vemos que:

$V=\int _{a\;(dentro\;del\;conductor)}^{b}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=-\int _{a\;(dentro\;del\;conductor)}^{b}({\vec {v}}\times {\vec {B}})\cdot d{\vec {l}}=0$

(12)

Que debe ser igual a cero, ya que hay campo magnético constante. Otra vez, tenemos que la primera integral de línea es igual a la diferencia de potencial entre las terminales a y b, mientras que la segunda integral de línea es igual al cambio de flujo de B con respecto del tiempo lo que corresponde a una emf inducida. Así que otra vez, la diferencia de potencial entre las terminales es igual a la fuerza electromotriz en el circuito.

Kirchhoff Dice...

Pongamos a trabajar a los ideales. Si bien el estudio de las resistencias, capacitancias e inductancias por separado nos llevó a ciertas expresiones derivadas de las ecuaciones de Maxwell que modelan su trabajo, las cosas se ponen complicadas cuando tratamos de entender el comportamiento masivo de esos componentes y buscar dar una descripción precisa acerca de lo que sucede con los campos e impedancias de los elementos en circuitos complejos, como los de una computadora portátil. ¡Pero que no cunda el pánico! en física mejor que en otras ciencias, idealizar es una herramienta bastante útil. Si se hacen ciertas aproximaciones y si sólo se toman en cuenta los hechos esenciales, es posible analizar circuitos complicados en una forma metódica y correcta.

Archivo:Red1.PNG

Figura 6. La suma de las caídas de potencial sobre cualquier trayectoria cerrada es cero

Supongamos que tenemos un circuito lo más general posible en cuanto a sus elementos: un generador y gran cantidad de impedancias conectadas entre si como muestra la figura. Donde las impedancias pueden ser de capacitores, resistencias e inductores, generalizamos (figura 6). Asumimos la no presencia de cualquier campo magnético. Entonces, definimos una curva cerrada tal que pase por entre cada uno de los elementos. Dicha curva será la que cumpla que

$\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=0$

Dicha integral de línea puede ser llamada la caída de potencial del circuito –ya que toma los puntos antes y después del elemento- y a su vez está hecha de muchas integrales individuales –que corresponden a la caída de potencial de los elementos del circuito-. Con este razonamiento, la integral de línea completa es entonces la suma de las caídas de potencial sobre todos los elementos en el circuito:

$\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=\sum V_{n}=0$

Archivo:Red2.PNG

Figura 7. La suma algebraica de las corrientes en cualquier nodo es cero

Ahora imaginemos un circuito como el de la figura 7. Si establecemos una analogía entre las impedancias del circuito y una serie de botellas que están sobre una repisa, vemos que ambas tienen el mismo potencial –se dice que están conectadas en paralelo-. Pero dado que voltaje y corriente están relacionados, ¿qué pasa con las corrientes en cada uno de los elementos del circuito? Asumiendo no impedancias ni acumulaciones de carga, la conservación de la carga nos dice que cualquier cantidad de ésta que salga de un elemento del circuito debe entrar a otro, o sea, que la suma algebraica de las corrientes que entran en una terminal debe ser cero. Por terminal nos referimos a los puntos a, b, c,…h del circuito, también llamados nodos.

En general se aplica que la suma de las corrientes dentro de cualquier nodo debe ser cero:

$\sum _{dentro\;de\;un\;nodo}I_{n}=0$

(13)

Ésta es la primera regla de Kirchhoff y un ejemplo para el caso del circuito anterior sería que

$I_{1}-I_{2}-I_{3}-I_{4}=0$

La segunda regla de Kirchhoff es la regla de las mallas que relaciona a los voltajes

$\sum _{sobre\;cualquier\;trayctoria\;cerrada}V_{n}=0$

(14)

Y con estas dos sencillas sentencias podemos conocer las corrientes y voltajes de cualquier elemento en cualquier circuito.

¿Cómo? Supongamos tener un circuito como el de la figura 8.

Archivo:Red3.PNG

Figura 8. Analizando un circuito con las Reglas de Kirchhoff

El primer buen paso es observar las diferentes curvas cerradas que se obtienen indirectamente de él. Así para la trayectoria a-b-e-d obtenemos una ecuación que involucre las impedancias y las corrientes igualadas con la fuerza electromotriz:

$z_{1}I_{1}+z_{3}I_{3}+z_{4}I_{4}-{\mathcal {E}}_{1}=0$

Si hacemos lo mismo para las corrientes –utilizando la segunda regla de Kirchhoff- obtenemos:

$I_{1}-I_{3}-I_{2}=0$

Finalmente, tendremos un sistema de ecuaciones lineales, que serán tantas como las incógnitas –para que tenga sentido resolverlas. Cabe señalar que hay que tener especial cuidado con los signos que se manejan, así pues, una caída de potencial será tomada como positiva si va en dirección de la corriente. Claro es, que en principio no sabemos las direcciones de las propias corrientes, por lo que se recomienda iniciar con la ley de nodos más que con la de mallas. Pero técnicas hay muchas.

Un poco de series y paralelos

Un circuito en paralelo es parecido al de la figura 7. Éste se distingue por que los elementos tienen igual voltaje pero diferente corriente. Así pues:

$V_{total}=I_{1}z_{1}+I_{2}z_{2}+I_{3}z_{3}$

Pero dado que la corriente se conserva en, todo caso

$I_{1}+I_{2}+I_{3}=I_{total}$

De la relación ${\frac {V}{I}}=z=impedancia$ obtenemos

$I_{total}={\frac {V_{total}}{Z_{total}}}=V_{total}({\frac {1}{z_{1}}}+{\frac {1}{z_{2}}}+{\frac {1}{z_{3}}})$

Por lo que todo circuito en paralelo puede ser reducido a una impedancia equivalente de la forma

$Z_{equivalente}={\frac {1}{z_{1}}}+{\frac {1}{z_{2}}}+{\frac {1}{z_{3}}}$

Hablemos ahora sobre otro tipo de acomodo de elementos dentro de un circuito. Los circuitos en serie se distinguen por tener una corriente constante que circula sobre todos los elementos del mismo, pero que cuenta con caídas de potencial e impedancias diferentes según cada elemento (ver figura 22-9) Así pues, el voltaje total dado por una emf es:

$V_{total}=Iz_{1}+Iz_{2}+Iz_{3}=I(z_{1}+z_{2}+z_{3})$

Por lo que todo circuito en serie puede ser reducido a una impedancia equivalente de la forma

$Z_{equivalente}=z_{1}+z_{2}+z_{3}$

Energos

Ahora hablaremos de la energía en un circuito, que equivaldría a hablar sobre la energía sobre cada uno de los componentes ideales anteriormente analizados. Cuando una corriente $I$ pasa sobre una inductancia $L$, la energía que se le debe suministrar es del orden de $U={\frac {1}{2}}LI^{2}$. Si la corriente es alterna, la energía viene y va dentro y fuera del circuito, así como un oscilador mecánico, pero se sigue respetando que el valor promedio de la razón de energía que se suministra al circuito sigue siendo cero. Se dice pues que la inductancia es un elemento no-disipativo –que no disipa la energía-. Para el caso de un condensador, su energía propia viene dada por $U={\frac {1}{2}}CV^{2}$ cantidad que entrará al circuito una vez que éste se descargue. Al igual que la inductancia, para corrientes alternas no hay pérdidas de energía por lo que también se le considera un elemento no-disipativo.

Como fuentes de energía, tenemos que la fuerza electromotriz es una de ellas. Así pues, cuando una corriente fluye en dirección de la emf, la energía provista al sistema es ${\frac {dU}{dt}}={\mathcal {E}}I$, en caso de contrario –de que la corriente fluya contra la emf- el cambio de la energía con respecto al tiempo será negativo.

Pero las cosas no son tan amigables cuando entran en escena los resistores. Cuando un generador se conecte a una resistencia, la energía propiamente generada es absorbida por el resistor y se disipa de manera general en forma de calor. Decimos entonces que la energía se disipa en un resistor a razón de ${\frac {dU}{dt}}=RI^{2}$. Pero, ¿qué hay de la energía eléctrica perdida –que se convierte en energía térmica- cuando un generador se conecta a una impedancia arbitraria $z$? Pues se tiene que cualquier impedancia z puede ser escrita como un número complejo:

$z=R+\imath X$

Archivo:Zeta.PNG

Figura 9. Cualquier impedancia es equivalente a una combinación en serie de una resistencia pura y una reactancia pura

Donde $R$ y $X$ son cantidades reales. Cabe mencionar que desde el punto de vista de la equivalencia de circuitos podemos decir que cualquier impedancia es igual a una resistencia conectada en serie con otra impedancia pura, que corresponde a $X$ y se llama reactancia(ver figura 9).

Si un generador con su propia emf se conecta a una impedancia z como la anterior, la propia emf y la corriente se relacionan mediante:

${\mathcal {E}}=I(R+\imath X)$

Para una corriente alterna, tomamos la expresión (2) $I(t)=I_{0}e^{\imath \omega t}$

${\mathcal {E}}=I_{0}e^{\imath \omega t}(R+\imath X)=I_{0}R\cos(\omega t)-I_{0}X\sin(\omega t)$

Los dos términos representan las caídas de potencial sobre R y sobre la reactancia X. Observamos que la caída de potencial sobre la resistencia está en fase con la corriente, mientras que la caída de potencial sobre la reactancia está fuera de fase con la corriente.

Una red infinita

Supongamos tener un inocente arreglo consistente sólo de dos impedancias cuya resultante equivale a su suma, tal y como se ve en la figura.

Archivo:Escalera1.PNG

Figura 10.

Ahora agreguemos un circuito igual al anterior y lo acoplamos al primero. Para estudiarlo con la reglas de Kirchhoff invertiríamos notable tiempo, en cambio, lo podemos simplificar a su equivalente reduciendo términos en serie y en paralelo como explica la figura.

Archivo:Escalera2.PNG

Figura 11.

Ahora, qué pasa si agregamos otro circuito igual al inicial y lo acoplamos al anterior, y luego agregamos otro y lo volvemos a acoplar… y así, hasta la eternidad… hasta formar un circuito formado por impedancias en serie y paralelo infinito. ¿Cómo podríamos resolverlo? Pues pareciera difícil pero en realidad no lo es tanto.

Hagamos una analogía. David Hilbert, matemático alemán eminente, propuso el siguiente ejemplo: él era el dueño de un hotel famoso por tener infinitos cuartos. Un día llegó un autobús del cual se bajaron infinitas personas que buscaban hospedaje. Hilbert se los proporcionó –quién podría despreciar semejante oportunidad-. A la media noche, un vagabundo llegó pidiendo posada, pero el gerente en turno del lugar le objetó que el hotel ya estaba lleno. Sin embargo, esto llego a los oídos de Hilbert y se puso a trabajar. Ordenó que todos los huéspedes se trasladaran a un cuarto adyacente, así, el del cuarto número 1 se cambió al 2, el del 2 se cambió al 3, el del 3 al 4 y así sucesivamente. Al final, el vagabundo tuvo un digno cuarto –el cuarto número 1- y se demostró que infinito más uno, sigue siendo infinito…

Archivo:Escalera3.PNG

Figura 12.

¿Qué pasa si a toda la red le agregamos un circuito básico más? Pues sigue igual. Ahora llamamos z0 a la impedancia de toda la red infinita –esto es, comprimimos todas las infinitas impedancias en una sola- dejando a la red infinita con sólo tres elementos. Simplificamos combinando las propiedades de serie y paralelo a:

$Z_{equivalente}=z_{1}+{\frac {z_{2}z_{0}}{z_{2}+z_{1}}}$

Pero dicha impedancia equivalente es igual a la impedancia $z_{0}$ (propiedades de infnito…) por lo que tenemos

$Z_{0}=z_{1}+{\frac {z_{2}z_{0}}{z_{2}+z_{1}}}$

Si resolvemos para $z_{0}$ encontramos que:

$Z_{0}={\frac {z_{1}}{2}}+{\sqrt {{\frac {z_{1}^{2}}{4}}+z_{1}z_{2}}}$

(15)

Donde $z_{0}$ es llamada la impedancia característica del arreglo infinito hecho de impedancias en serie y en paralelo

Apliquemos éste modelo a un circuito más real hecho enteramente de inductancias y capacitores (ver figura 13).

Archivo:Lowpass.PNG

Figura 13.

Sabemos que la impedancia de una inductancia es $z_{1}=\imath \omega L$ mientras que la de un capacitor es $z_{2}={\frac {1}{\imath \omega C}}$ .Notemos que el término ${\frac {z_{1}}{2}}$ de la expresión (15) corresponde a la mitad de la impedancia del primer elemento. Así que establecemos un diagrama del circuito anterior como lo es en la parte b) de la imagen 12 y si sustituimos los datos de las impedancias de capacitores e inductancias nos damos cuenta de que la impedancia característica viene a ser:

$Z_{0}={\sqrt {{\frac {L}{C}}-{\frac {\omega ^{2}L^{2}}{4}}}}$

(16)

Aquí notamos dos casos interesantes: primero, si la frecuencia $\omega; cuadrada es menor a $4/LC$, el segundo término dentro del radical se hace pequeño a comparación del primero, y obtenemos un número real. Caso contrario, si la frecuencia al cuadrado es mayor que $4/LC$ entonces obtenemos una impedancia imaginaria:

$Z_{0}=i{\sqrt {{\frac {\omega ^{2}L^{2}}{4}}-{\frac {L}{C}}}}$

Pero lógico sería pensar que en un circuito hecho de elementos cuyas impedancias son enteramente imaginarias –como los son la del capacitor y la del inductor- generen circuitos con impedancias también imaginarias. ¿Cómo es posible entonces que para ciertos valores de la frecuencia, en un circuito L-C, la impedancia se comporte como la de una resistencia –que adquiera valores reales-? (caso $\omega <{\sqrt {\frac {4}{LC}}}$) Para altas frecuencias la impedancia es imaginaria en acuerdo con nuestras hipótesis, pero a bajas frecuencias la impedancia es una resistencia que puede absorber energía. ¿Cómo puede pasar esto si el circuito está hecho de capacitores e inductancias y no de resistores? Bien, pues porque existen un número infinito de inductancias y capacitancias. Coloquemos un generador al comienzo de la red. Pensemos en que la energía que salga de dicha fuente alimentará –a razón constante- bobinas y capacitores, que después la almacenarán línea abajo. Podría surgir la idea de que si con ese mismo generador se propaguen efectos a través de toda la red. O sea, tal como la propagación de las ondas que son absorbidas por una antena, esperamos que exista propagación de energía en el circuito cuando la impedancia sea una cantidad real –que ocurre cuando $\omega <{\sqrt {\frac {4}{LC}}}$- mientras que cuando sea imaginaria $\omega >{\sqrt {\frac {4}{LC}}}$) no veremos propagación.

Filtros

La idea de una frecuencia especial necesaria para que una red absorba o no energía continuamente a valores de ${\sqrt {(}}4/LC)$ se le llama frecuencia de corte $\omega _{0}$. El hecho de que absorba puede ser comprendido en términos de un continuo transporte de energía a través de la línea. Por el otro lado, para altas frecuencias no existe una continua absorción de energía, por lo que pudiéramos sugerir que la propia corriente en el circuito no llegue muy lejos.

Veamos cómo explicar esto con más detalle. Supongamos que queremos analizar un elemento de la ya famosa red infinita –digamos, el elemento mil ocho mil 1000 8000-. Por las propiedades de infinito, el voltaje valdrá lo mismo en un elemento de la red que en el siguiente, así pues, definiremos las corrientes y voltajes para el elemento $n+1$ como se aprecia en la figura 14.

Archivo:Escalera4.PNG

Figura 14.

Analizaremos la parte b) de la figura aterior: la diferencia de voltajes está dado por

$V_{n}-V_{n+1}=I_{n}z_{1}=V_{n}{\frac {z_{1}}{z_{0}}}$

La razón de dichos voltajes es igual a:

${\frac {V_{n+1}}{V_{n}}}=1-{\frac {z_{1}}{z_{0}}}={\frac {z_{0}-z_{1}}{z_{0}}}$

Bautizaremos a ésta razón como el 'factor de propagación y le pondremos el seudónimo de alfa $\alpha;:

$\alpha ={\frac {z_{0}-z_{1}}{z_{0}}}$

(17)

Si comprimimos todo, queda que el voltaje para la enésima sección de la red está dada por:

$V_{n}=\alpha ^{n}{\mathcal {E}}$

(18)

¡Ahora ya podemos obtener el voltaje en cualquier elemento del circuito!

Pongamos las impedancias del capacitor y del inductor en el factor de propagación para formar una red infinitos de ellos y ver que pasa:

$\alpha ={\frac {{\sqrt {(L/C)-(\omega ^{2}L^{2}/4)}}-i(\omega L/2)}{{\sqrt {(L/C)-(\omega ^{2}L^{2}/4)}}+i(\omega L/2)}}$

(19)

Hermosa expresión. Notemos que si el $\omega$ de arriba es menor que la frecuencia $\omega _{0}$ de corte, los radicales serán números reales, por lo que numerador y denominador serán iguales y alfa valdrá 1. Podemos escribir

$\alpha =e^{i\delta }$

Lo que significa que la magnitud el voltaje es la misma en cada sección, sólo que cambia su fase. Delta es de hecho un número negativo y representa el retraso del voltaje sobre la red. ¿Qué tal para frecuencias altas? Pues que un w mayor que la frecuencia de corte hace que la expresión para el factor de propagación sea un número real –pero menor que uno-.

$\alpha ={\frac {{\sqrt {(\omega ^{2}L^{2}/4)-(L/C)}}-(\omega L/2)}{{\sqrt {(\omega ^{2}L^{2}/4)-(L/C)}}+(\omega L/2)}}$

(20)

Esto significa que el voltaje en cualquier sección es siempre menor que el voltaje precedente por un factor de alfa. O sea, para cada frecuencia arriba de $\omega _{0}$, el voltaje muere conforme avance por la red. Si bien intuye un comportamiento extraño, permite afirmar que el circuito dejará pasar las bajas frecuencias e impedirá o filtrará las altas frecuencias. Cualquier circuito diseñado para tener tales características de selección según la frecuencia, se le denomina filtro.

Archivo:Highpass.PNG

Figura 15. a) Esquema de un filtro pasa-altos. b)su factor de propagación como función de ${\frac {1}{\omega }}$

El circuito anterior posee las capacitancias en paralelo y las inductancias en serie, por lo que es un filtro pasa-bajos. En caso de intercambiar los elementos, obtendremos un circuito para un filtro pasa-altos.

¿Pero todo esto es posible en realidad? No olvidemos que estamos tratando con series de elementos infinitos. Aunque parezca mentira, las mismas características son encontradas en una red con elementos finitos siempre y cuando acoplemos una impedancia igual a la impedancia característica. Esto es, que para una aproximación algo alejada de nuestro sentido común, los fenómenos de la vida cotidiana se ven en un espejo solamente algo despeinadas. Claro que en el sentido estricto de la palabra, no es posible reproducir los elementos de tal impedancia característica utilizando solamente resistencias, inductancias y capacitancias. Pero lo que sí se puede hacer es aproximar una cierta gama de frecuencias. Los filtros poseen variadas aplicaciones técnicas. Por ejemplo, los filtros pasa- bajos son usados para alisar la corriente en una fuente de poder de corriente directa. Si queremos transformar una fuente de corrientes alterna a una de corriente directa, colocamos un filtro entre un rectificador y la carga. Las bondades del filtro harán que la corriente alterna fluya solo en una dirección.

Los filtros pasa-altos son usados para rechazar ciertas bajas frecuencias. El ejemplo más representativo en que en un fonógrafo –de los del siglo pasado- utilizan un filtro para amplificar las ondas de sonido en lugar de que se escuchen los ruidos procedentes del motor de la tornamesa o el del raspar de la aguja con el disco.

También es posible crear filtros sintonizados que rechacen frecuencias por encima y por debajo de cierta gama, que podrían separar señales que ocupan cierto intervalo de frecuencias, tales como los múltiples canales de voz en un cable telefónico o en la modulación de las transmisiones de radio.